Relacja odwrotna

relacja z odwróconą kolejnością członów

Relacja odwrotna, konwers relacji[2] – przekształcenie relacji, zwłaszcza dwuargumentowej (binarnej), polegające na zamianie kolejności jej argumentów. Symbolicznie: niech Wtedy relacją odwrotną do nazywa się[3][4]:

Pojęcia męża i żony to w niektórych krajach relacje odwrotne – można być mężem tylko dla żony i odwrotnie.
Pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej oraz funkcja kwadratu z taką samą dziedziną to relacje odwrotne[1].

Innymi słowy między dwoma elementami zachodzi relacja odwrotna wtedy i tylko wtedy, gdy relacja wyjściowa zachodzi dla nich w odwrotnej kolejności[5][6][1]: Inne oznaczenie to [2].

Odwracanie relacji jest inwolucją[7]: Przykłady relacji wzajemnie odwrotnych to przed i po, nad i pod[6], przodek i potomek, rodzic i dziecko, przełożony i podwładny, następca i poprzednik, język ojczysty i native speaker, a w matematycepodzbiór i nadzbiór oraz dzielnik i wielokrotność. Relacja symetryczna jest nadzbiorem swojej odwrotności[3][7].

Szczególnym przypadkiem odwracania relacji jest odwracanie funkcji[1].

Własności algebraiczne edytuj

Dla zbioru relacji dwuargumentowych z działaniem sumy zbiorów   odwracanie jest endomorfizmem[7]:

 

Podobne własności zachodzą dla przekroju[7] i różnicy zbiorów[8]:

 
 

Konwers dopełnienia relacji jest dopełnieniem jej konwersu[8]:

 

Dla złożenia relacji odwracanie jest już antyhomomorfizmem[7][9]:

 

Relacja odwrotna nie jest jednak elementem odwrotnym w półgrupie relacji binarnych; w ogólności   Inkluzja zachodzi tylko dla funkcji częściowych (relacji funkcyjnych), a równość – dla bijekcji[3][10].

Przypisy edytuj

  1. a b c Grzegorczyk 1969 ↓, s. 19.
  2. a b Stanosz 2012 ↓, s. 111.
  3. a b c   Binary relation (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-08-05].
  4. Wrzosek 2016 ↓, s. 43.
  5.   Converse (ang.), Encyklopedia Britannica, britannica.com [dostęp 2023-08-05].
  6. a b   Fraser MacBride, Relations, 1. Preliminary Distinctions (ang.), plato.stanford.edu, 28 października 2020 [dostęp 2023-08-05].
  7. a b c d e   Marek Zaionc, Jakub Kozik i Marcin Kozik, Logika i teoria mnogości. Wykład 5: Para uporządkowana, iloczyn kartezjański, relacje, domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów, 3.1. Operacje na relacjach, wazniak.mimuw.edu.pl, 28 września 2020 [dostęp 2023-08-05].
  8. a b Stanosz 2012 ↓, s. 112.
  9. Smoluk 2017 ↓, s. 34.
  10.   Functional relation (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-08-05].

Bibliografia edytuj