Otwórz menu główne

Spis treści

Rodzina indeksowana, układ indeksowany lub po prostu układ – zbiór elementów powiązanych z indeksami; uogólnienie pojęcia ciągu na funkcje określone na dowolnych zbiorach indeksów. Formalnie funkcja traktowana koncepcyjnie jak zbiór (zob. dalej).

Przykładowo:

DefinicjaEdytuj

Układem lub rodziną elementów zbioru   indeksowaną przez (o indeksach/wskaźnikach ze zbioru)   nazywa się funkcję  [1] oznaczaną symbolami   bądź po prostu   obrazy   oznacza się zwyczajowo  [1].

Dowolny zbiór   można w naturalny sposób przekształcić w rodzinę   indeksowaną elementami tego zbioru. W szczególności: gdy   to można wyróżnić związany z tym zbiorem układ elementów  [1].

Elementy zbioru   same mogą być zbiorami, wówczas mówi się o rodzinach zbiorów indeksowanych przez   Wtedy funkcja   odwzorowuje zbiór indeksów w zbiór potęgowy pewnego zbioru  

Rodzinę/układ   nazywa się podrodziną/podukładem rodziny/układu   gdy   oraz   dla każdego  [1].

PrzykładyEdytuj

Niech   oznacza zbiór skończony   (  oznacza dodatnią liczbę całkowitą). Wówczas:

Rodzina a zbiórEdytuj

Funkcje „na” (surjektywne) i rodziny indeksowane są formalnie równoważne – każda funkcja   zadaje rodzinę   Ponadto rodzina indeksowana zawiera element dokładnie raz wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadająca jej funkcja jest różnowartościowa (iniektywna).

Ponieważ przynależność elementu do rodziny indeksowanej jest równoważna przynależności elementu do obrazu odpowiadającej jej funkcji, to w praktyce rodzinę indeksowaną niejednokrotnie traktuje się nie jako funkcję, lecz jako zbiór   czyli obraz   w którym elementy   dla   utożsamiane są z elementami zbioru   Gleichgewicht obrazuje to następująco: gdy układ jest ciągiem, to podukład jest podciągiem; a gdy jest zbiorem, podukład jest podzbiorem[1].

Podejście takie może jednak prowadzić do niejasności: utożsamienie rodziny indeksowanej zbiorów z jej obrazem powoduje, że oddzielne koncepcyjnie od siebie pojęcia rodziny zbiorów (będącej synonimem „zbioru zbiorów”) i rodziny indeksowanej zbiorów są tożsame; w ten sposób zostaje utracona informacja o wielokrotnym występowaniu zbiorów, czy strukturze  

Notacja wskaźnikowa

Jeżeli tylko stosowana notacja wskaźnikowa, indeksowane obiekty tworzą rodzinę. Niech dane będzie zdanie:

Wektory  liniowo niezależne.

Tutaj   oznacza rodzinę wektorów. Wskazanie na  -ty wektor   ma sens wyłącznie w odniesieniu do tej rodziny, ponieważ zbiory są nieuporządkowane i nie istnieje  -ty wektor zbioru. Co więcej liniowa niezależność definiowana jest wyłącznie jako własność zbioru; istotne jest więc, czy wektory są liniowo niezależne jako zbiór, czy jako rodzina.

Dla   oraz   zbiór złożony z wyłącznie jednego elementu jest liniowo niezależny, jednak rodzina zawierająca ten sam element dwukrotnie jest liniowo zależna.

Macierze

Jeżeli tekst zawiera następujące stwierdzenie:

Macierz kwadratowa   jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy wiersze   są liniowo niezależne;

to podobnie jak wyżej istotne jest, że wiersze   są liniowo niezależne jako rodzina, a nie jako zbiór. Jeśli dana jest macierz

 

to zbiór jej wierszy składa się tylko z jednego elementu   co oznacza, że jest on liniowo niezależny – mimo wszystko macierz nie jest odwracalna; z kolei rodzina wierszy zawiera dwa elementy, które są liniowo zależne. Tak wiec zdanie jest prawdziwe, gdy odnosi się do rodziny wierszy i fałszywe, gdy odnosi się do zbioru wierszy.

DziałaniaEdytuj

Ze zbiorów indeksowanych korzysta się często do zapisu sumowania i innych, podobnych działań. Przykładowo, jeżeli   jest rodziną liczb, to sumę wszystkich tych liczb oznacza się symbolem

 

Sumę rodziny zbiorów   oznacza się analogicznie:

 

Podobnie ma się rzecz z przekrojami i iloczynami kartezjańskimi.

UogólnieniaEdytuj

Osobny artykuł: diagram (teoria kategorii).

Analogiczny pomysł z teorii kategorii nazywa się diagramem: diagram to funktor uogólniający rodzinę indeksowaną obiektów kategorii   indeksowany przez inną kategorię  

Zobacz teżEdytuj

LiteraturaEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. a b c d e Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s. 86–87.