Otwórz menu główne
Ten artykuł dotyczy operatora różniczkowego. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Rotacja lub wirowośćoperator różniczkowy działający na pole wektorowe tworzy pole wektorowe wskazujące wirowanie (gęstość cyrkulacji) pola wyjściowego. Oznaczana jest przez lub (z ang. rotacja), czasami również zapisywana jako

Jeżeli rotacja danego pola wektorowego jest równa zero (wektorem zerowym), to pole to jest bezwirowe. Pole bezwirowe posiada potencjał (i odwrotnie: pole nie posiadające potencjału jest polem wirowym).

Definicja formalnaEdytuj

Rotację definiuje się jako iloczyn wektorowy operatora nabla   i wektora  :

 

W sensie geometrii różniczkowej rotację pola wektorowego na trójwymiarowej rozmaitości zorientowanej z metryką definiuje się w sposób:

 

gdzie:

 
g – tensor metryczny,
  – zwężenie formy objętości   z rot(F).

Rotacja w układzie współrzędnych kartezjańskichEdytuj

W kartezjańskim układzie współrzędnych   mamy więc

 
Notacja macierzowa

W notacji macierzowej rotację otrzymujemy jako wyznacznik macierzy:

 

gdzie  wersorami osi   układu współrzędnych.

Całość rozpisujemy w następujący sposób:

 

Rotacja w innych układach współrzędnychEdytuj

W układzie współrzędnych walcowych[1]:

 

W układzie współrzędnych sferycznych[1]:

 

Notacja EinsteinaEdytuj

W notacji Einsteina, z użyciem symbolu Leviego-Civity, jest zapisywana jako:

 

Własności rotacjiEdytuj

Oznaczając przez   pola wektorowe, przez   pole skalarne dla   zachodzą następujące własności:

 
 
  • rotacja z pola wektorowego, które jest iloczynem pola skalarnego i wektorowego:
 
 
  • rotacja z rotacji pola wektorowego  :
 
  • każde pole o zerowej rotacji   można przedstawić jako gradient pola skalarnego (istnieje takie pole skalarne V, że  ); zob. twierdzenie Helmholtza.

PrzypisyEdytuj

  1. a b I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny. Wyd. XIX. Warszawa: PWN, 2002, s. 676–677. ISBN 83-01-11658-7.