Rotacja

Rotacja lub wirowość – operator różniczkowy działający na pole wektorowe $\mathbf {F} ,$ tworzy pole wektorowe wskazujące wirowanie (gęstość cyrkulacji) pola wyjściowego. Oznaczana jest przez $\operatorname {rot}$ lub $\operatorname {curl}$ (z ang. rotacja), czasami również zapisywana jako $dF.$

Jeżeli rotacja danego pola wektorowego jest równa zero (wektorem zerowym), to pole to jest bezwirowe. Pole bezwirowe ma potencjał (i odwrotnie: pole dla którego nie można określić potencjału jest polem wirowym).

Definicja formalna

Rotację definiuje się jako iloczyn wektorowy operatora nabla $\nabla$ i wektora $\mathbf {F} {:}$

$\mathbf {B} =\operatorname {rot} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F} .$

W sensie geometrii różniczkowej rotację pola wektorowego na trójwymiarowej rozmaitości zorientowanej z metryką definiuje się w sposób:

$d(G\circ F)=i_{rot(F)}\Omega ,$

gdzie:

$(G\circ F)=g(F,\bullet ),$

$g$ – tensor metryczny,

$i_{rot(F)}\Omega$ – zwężenie formy objętości $\Omega$ z rot(F).

Rotacja w układzie współrzędnych kartezjańskich

W kartezjańskim układzie współrzędnych $F=[F_{x},F_{y},F_{z}]$ mamy więc

${\begin{bmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}\\[.5em]{\frac {\partial }{\partial y}}\\[.5em]{\frac {\partial }{\partial z}}\end{bmatrix}}\times F={\begin{bmatrix}{\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\\[.5em]{\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\\[.5em]{\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\end{bmatrix}}.$

Notacja macierzowa

W notacji macierzowej rotację otrzymujemy jako wyznacznik macierzy:

${\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}},$

gdzie $\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k}$ są wersorami osi $x,y,z$ układu współrzędnych.

Całość rozpisujemy w następujący sposób:

$\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} .$

Rotacja w innych układach współrzędnych

W układzie współrzędnych walcowych:

$\nabla \times \mathbf {F} (\rho ,\varphi ,z)=\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{\rho }+\left({\frac {\partial F_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial \rho }}\right)\mathbf {e} _{\varphi }+\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \rho F_{\varphi }}{\partial \rho }}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{\rho }}{\partial \varphi }}\right)\mathbf {e} _{z}$

W układzie współrzędnych sferycznych:

$\nabla \times \mathbf {F} (r,\varphi ,\theta )=\left[{\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta F_{\varphi })-{\frac {\partial F_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)\right]\mathbf {e} _{r}+\left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial (rF_{\theta })}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial F_{r}}{\partial \theta }}\right]\mathbf {e} _{\varphi }+\left[{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial F_{r}}{\partial \varphi }}-{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}(rF_{\varphi })\right)\right]\mathbf {e} _{\theta }$

Notacja Einsteina

W notacji Einsteina, z użyciem symbolu Leviego-Civity, jest zapisywana jako:

$\nabla \times {\vec {F}}={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}\varepsilon ^{ijk}({\frac {\partial F_{j}}{\partial \xi ^{i}}}-{\Gamma ^{\ell }}_{ij}F_{\ell }){\vec {e}}_{k}.$

Własności rotacji

Oznaczając przez $F,G$ pola wektorowe, przez $f$ pole skalarne dla $a,b\in \mathbb {R}$ zachodzą następujące własności:

• rotacja jest operatorem liniowym dla liczb rzeczywistych

$\nabla \times (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\nabla \times \mathbf {F} +b\nabla \times \mathbf {G} ,$

• rotacja gradientu jest zerowa

$\nabla \times \nabla f=\mathbf {0} ,$

• rotacja z pola wektorowego, które jest iloczynem pola skalarnego i wektorowego:

$\nabla \times (f\mathbf {F} )=\nabla f\times \mathbf {F} +f\nabla \times \mathbf {F} ,$

• rotacja z iloczynu wektorowego dwóch pól wektorowych:

$\nabla \times (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\mathbf {G} \cdot \nabla )\mathbf {F} -(\mathbf {F} \cdot \nabla )\mathbf {G} +\mathbf {F} (\nabla \cdot \mathbf {G} )-\mathbf {G} (\nabla \cdot \mathbf {F} ),$

• rotacja z rotacji pola wektorowego $F{:}$

$\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\Delta \mathbf {F} ,$

• każde pole o zerowej rotacji $(\nabla \times F=0)$ można przedstawić jako gradient pola skalarnego (istnieje takie pole skalarne V, że $F=-\nabla V$); zob. twierdzenie Helmholtza.