Rotację definiuje się jako iloczyn wektorowy operatora nabla
∇
{\displaystyle \nabla }
i wektora
F
:
{\displaystyle \mathbf {F} {:}}
B
=
rot
(
F
)
=
∇
×
F
.
{\displaystyle \mathbf {B} =\operatorname {rot} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F} .}
W sensie geometrii różniczkowej rotację pola wektorowego na trójwymiarowej rozmaitości zorientowanej z metryką definiuje się w sposób:
d
(
G
∘
F
)
=
i
r
o
t
(
F
)
Ω
,
{\displaystyle d(G\circ F)=i_{rot(F)}\Omega ,}
gdzie:
(
G
∘
F
)
=
g
(
F
,
∙
)
,
{\displaystyle (G\circ F)=g(F,\bullet ),}
g
{\displaystyle g}
– tensor metryczny,
i
r
o
t
(
F
)
Ω
{\displaystyle i_{rot(F)}\Omega }
– zwężenie formy objętości
Ω
{\displaystyle \Omega }
z rot(F).Rotacja w układzie współrzędnych kartezjańskich Edytuj
W kartezjańskim układzie współrzędnych
F
=
[
F
x
,
F
y
,
F
z
]
{\displaystyle F=[F_{x},F_{y},F_{z}]}
mamy więc
[
∂
∂
x
∂
∂
y
∂
∂
z
]
×
F
=
[
∂
F
z
∂
y
−
∂
F
y
∂
z
∂
F
x
∂
z
−
∂
F
z
∂
x
∂
F
y
∂
x
−
∂
F
x
∂
y
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}\\[.5em]{\frac {\partial }{\partial y}}\\[.5em]{\frac {\partial }{\partial z}}\end{bmatrix}}\times F={\begin{bmatrix}{\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\\[.5em]{\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\\[.5em]{\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\end{bmatrix}}.}
Notacja macierzowa W notacji macierzowej rotację otrzymujemy jako wyznacznik macierzy:
|
i
j
k
∂
∂
x
∂
∂
y
∂
∂
z
F
x
F
y
F
z
|
,
{\displaystyle {\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}},}
gdzie
i
,
j
,
k
{\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} }
są wersorami osi
x
,
y
,
z
{\displaystyle x,y,z}
układu współrzędnych.
Całość rozpisujemy w następujący sposób:
(
∂
F
z
∂
y
−
∂
F
y
∂
z
)
i
+
(
∂
F
x
∂
z
−
∂
F
z
∂
x
)
j
+
(
∂
F
y
∂
x
−
∂
F
x
∂
y
)
k
.
{\displaystyle \left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} .}
Rotacja w innych układach współrzędnych Edytuj
W układzie współrzędnych walcowych [2] :
∇
×
F
(
ρ
,
φ
,
z
)
=
(
1
ρ
∂
F
z
∂
φ
−
∂
F
φ
∂
z
)
e
ρ
+
(
∂
F
ρ
∂
z
−
∂
F
z
∂
ρ
)
e
φ
+
(
1
ρ
∂
ρ
F
φ
∂
ρ
−
1
ρ
∂
F
ρ
∂
φ
)
e
z
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} (\rho ,\varphi ,z)=\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{\rho }+\left({\frac {\partial F_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial \rho }}\right)\mathbf {e} _{\varphi }+\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \rho F_{\varphi }}{\partial \rho }}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{\rho }}{\partial \varphi }}\right)\mathbf {e} _{z}}
W układzie współrzędnych sferycznych [2] :
∇
×
F
(
r
,
φ
,
θ
)
=
[
1
r
sin
θ
(
∂
∂
θ
(
sin
θ
F
φ
)
−
∂
F
θ
∂
φ
)
]
e
r
+
[
1
r
∂
(
r
F
θ
)
∂
r
−
1
r
∂
F
r
∂
θ
]
e
φ
+
[
1
r
sin
θ
∂
F
r
∂
φ
−
1
r
(
∂
∂
r
(
r
F
φ
)
)
]
e
θ
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} (r,\varphi ,\theta )=\left[{\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta F_{\varphi })-{\frac {\partial F_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)\right]\mathbf {e} _{r}+\left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial (rF_{\theta })}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial F_{r}}{\partial \theta }}\right]\mathbf {e} _{\varphi }+\left[{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial F_{r}}{\partial \varphi }}-{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}(rF_{\varphi })\right)\right]\mathbf {e} _{\theta }}
Notacja Einsteina Edytuj
W notacji Einsteina , z użyciem symbolu Leviego-Civity , jest zapisywana jako:
∇
×
F
→
=
1
det
g
ε
i
j
k
(
∂
F
j
∂
ξ
i
−
Γ
ℓ
i
j
F
ℓ
)
e
→
k
.
{\displaystyle \nabla \times {\vec {F}}={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}\varepsilon ^{ijk}({\frac {\partial F_{j}}{\partial \xi ^{i}}}-{\Gamma ^{\ell }}_{ij}F_{\ell }){\vec {e}}_{k}.}