Rozdzielność działania

relacja między dwoma działaniami w algebrze

Rozdzielność działania, dystrybutywność działania[potrzebny przypis] – własność działania dwuargumentowego względem innego działania dwuargumentowego, zdefiniowana równaniem; inaczej relacja dwuargumentowa między działaniami.

Ilustracja rozdzielności mnożenia liczb dodatnich względem dodawania liczb dodatnich.

Niech oraz oznaczają działania dwuargumentowe określone na ustalonym zbiorze [a]. Działanie jest względem [1]:

  • rozdzielne lewostronnie, gdy dla dowolnych
  • rozdzielne prawostronnie, gdy dla dowolnych
  • rozdzielne obustronnie lub krótko rozdzielne, gdy zachodzą oba powyższe warunki.

Jeśli działanie jest przemienne, to powyższe warunki są równoważne logicznie i wynikają one wszystkie z jednego z nich.

Pojęcie to pojawiło się najpóźniej w XIX wieku; w 1814 roku użył go François Joseph Servois[2].

Wprowadzenie

edytuj

Zależność między mnożeniem a dodawaniem liczb postaci

 

i podobnie z przestawioną kolejnością czynników,

 

wykorzystuje się, niekiedy nieświadomie, podczas prowadzenia obliczeń w pamięci:

 

czyli (w tym przypadku) mnożenia przez ustaloną liczbę osobno dziesiątek i jedności danej liczby.

Można też uzupełnić jeden z czynników do „okrągłej” liczby, której iloczyn łatwo obliczyć, a następnie zrównoważyć obliczenia osobno odliczając dodaną nadwyżkę:

 

Role mnożenia i dodawania/odejmowania w powyższych przykładach są dokładnie określone i nie można ich zamienić bez szkody dla poprawności obliczeń:

 

W przypadku dzielenia regułę zaobserwowaną dla mnożenia można stosować tylko częściowo: choć

 

to jednak

 

Zapisując dzielenie w postaci ułamka, obliczenia można przeprowadzić zgodnie z następującym przykładem:

 

ale mimo wszystko, podobnie jak wyżej:

 

Przykłady

edytuj

Arytmetyka elementarna

edytuj

Dla dowolnych liczb rzeczywistych  

  • mnożenie jest rozdzielne względem dodawania[3] i odejmowania:
     
     
  • dzielenie jest prawostronnie rozdzielne względem dodawania i odejmowania:
     
  • minimum i maksimum są rozdzielne względem siebie nawzajem[potrzebny przypis]:
     
     
  • dodawanie jest rozdzielne względem maksimum i minimum[potrzebny przypis]:
     
     

Podane własności mnożenia i dzielenia uogólnia się na liczby zespolone, hiperzespolone oraz inne algebry jak liczby podwójne czy dualne. Na tych strukturach nie rozważa się funkcji minimum i maksimum, ponieważ nie da się na nich określić porządku o pożądanych własnościach.

W dodatku dla liczb dodatnich potęgowanie jest prawostronnie rozdzielne względem mnożenia i dzielenia[4]:

 
 

Te własności trudno uogólnić na inne liczby; zero do potęgi zerowej   bywa uznawane za nieokreślone, za to przy dopuszczeniu ujemnych argumentów potęgowanie przestaje być ściśle rozumianym działaniem – wynikiem potęgowania liczb ujemnych może być liczba zespolona. Na zbiorze niezerowych liczb zespolonych można określić potęgowanie, jednak ono również nie jest ściśle określonym działaniem, ponieważ jego wyniki nie są pojedynczymi liczbami – jest to multifunkcja.

Teoria liczb

edytuj
  • największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność są wzajemnie rozdzielne[potrzebny przypis]:
     
     

Rachunek zdań

edytuj

Definicję rozdzielności można poszerzyć; dla działań na zdaniach logicznych oznacza ona równoważność odpowiednich wyrażeń. Dla jakkolwiek  

  • koniunkcja i alternatywa są wzajemnie rozdzielne[potrzebny przypis]:
     
     

Teoria mnogości

edytuj

Dla dowolnie wybranych zbiorów  

  • część wspólna i suma zbiorów są rozdzielne względem siebie nawzajem[5]:
     
     
  • przekrój zbiorów jest też rozdzielny względem różnicy symetrycznej[6]:
     
  • iloczyn kartezjański jest rozdzielny względem sumy, różnicy i przekroju zbiorów[7]:
     
     
     

Algebra liniowa

edytuj
  • iloczyn wektorowy jest rozdzielny względem dodawania i odejmowania wektorów[8]:
     
  • iloczyn Cauchy’ego macierzy – odpowiadający składaniu przekształceń liniowych – jest rozdzielny względem dodawania i odejmowania tych macierzy oraz przekształceń:
     
     

Teoria kategorii

edytuj

Dla dowolnie wybranych obiektów   kategorii dwukartezjańsko domkniętej[b][c]

Własności

edytuj

Rozdzielność działań jako relacja dwuargumentowa w ogólności:

  • nie jest zwrotna – są działania nierozdzielne względem siebie samego, np. dodawanie: a+(b+c) ≠ (a+b)+(a+c);
  • nie jest przeciwzwrotna – są działania rozdzielne względem siebie samego, np. suma zbiorów:  
  • nie jest symetrycznamnożenie jest rozdzielne względem dodawania, ale dodawanie względem mnożenia już nie: a+bc ≠ (a+b)(a+c);
  • nie jest asymetryczna – są działania rozdzielne wzajemnie, np. suma i przekrój zbiorów.

Uogólnienia

edytuj

Rozdzielność działań, przynajmniej jednostronną, zakłada się w aksjomatycznych definicjach struktur algebraicznych takich jak:

Mnożenie przez ustalony element – z lewej lub prawej strony – można traktować jako operator. Jest to w istocie funkcja addytywna w danym pierścieniu[d]. Takie spojrzenie na mnożenie umożliwiło rozpatrywanie działań zewnętrznych względem ustalonej grupy addytywnej, co doprowadziło do rozwinięcia teorii m.in. działań grup na zbiorach, modułów nad pierścieniami (przestrzeni liniowych nad ciałami; w tym modułów/przestrzeni sprzężonych), czy grup z operatorami[potrzebny przypis].

Zobacz też

edytuj
  1. Innymi słowy: niech dane będą funkcje   oraz  
  2. Kategoria dwukartezjańsko domknięta to kategoria kartezjańsko domknięta (tj. mająca obiekt końcowy oraz produkty i eksponenty dowolnych dwóch obiektów) wyposażona dodatkowo w obiekt początkowy i koprodukt wraz z podanym tu warunkiem rozdzielności produktu względem koproduktu.
  3. Kanonicznym przykładem takiej kategorii jest kategoria   zbiorów z iloczynem kartezjańskim i sumą rozłączną pełniących role produktu i koproduktu.
  4. Obserwację tę można przyjąć jako aksjomat w definicji pierścieni, z którego wynikać będzie rozdzielność mnożenia względem dodawania.

Przypisy

edytuj
  1. rozdzielność, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-10-15].
  2.   Jeff Miller, Commutative and distributive, [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (C) (ang.), MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2023-07-07].
  3. rozdzielność mnożenia względem dodawania, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-10-15].
  4.   Własności działań, Wrocławski Portal Matematyczny, matematyka.wroc.pl, 14 września 2018 [dostęp 2024-06-21].
  5.   Distributivity (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-07-07].
  6.   Symmetric difference of sets (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-07-07].
  7.   Logika i teoria mnogości, Wykład 5: Para uporządkowana, iloczyn kartezjański, relacje, domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów, wazniak.mimuw.edu.pl, 28 września 2020 [dostęp 2023-07-06].
  8. Iloczyn wektorowy, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2023-07-06].

Bibliografia

edytuj