Twierdzenie Hahna o rozkładzie

(Przekierowano z Rozkład Hahna)

Twierdzenie Hahna o rozkładzie – twierdzenie teorii funkcji rzeczywistych, mówiące o możliwości rozbicia przestrzeni mierzalnej, na której określona jest przeliczalnie addytywna funkcja zbiorów na dwa zbiory o pewnych szczególnych własnościach. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska austriackiego matematyka, Hansa Hahna.

TwierdzenieEdytuj

Jeśli   jest σ-ciałem podzbiorów zbioru   oraz   jest przeliczalnie addytywną funkcją zbiorów, to istnieje rozkład nazywany rozkładem Hahna dla funkcji   tzn. istnieją takie zbiory   rozłączne, że

 

oraz, gdy   to   a ponadto

 

Kanoniczny rozkład JordanaEdytuj

Ważnym zastosowaniem istnienia rozkładu Hahna dla przeliczalnie addytywnych funkcji zbiorów jest tzw. twierdzenie o kanonicznym rozkładzie Jordana, mówiące o tym, że każda funkcja   taka jak w sformułowaniu twierdzenia o rozkładzie Hahna, daje się zapisać w postaci

 

gdzie funkcje   nazywane odpowiednio wahaniem górnym i dolnym funkcji   określone są wzorami:

 
 

dla  

Funkcję   daną wzorem

 

nazywamy wahaniem całkowitym funkcji   Każde z wahań   jest miarą i przynajmniej jedno z wahań (górne lub dolne) jest miarą skończoną.

Jeżeli zbiory   tworzą rozkład Hahna zbioru   względem   to dla każdego  

 
 

Jeśli   jest funkcją skończoną (σ-skończoną), to każde z wahań jest miarą skończoną (σ-skończoną). Kanoniczny rozkład Jordana funkcji   jest w pewnym sensie minimalny. Dokładniej, jeśli   daje się przedstawić w postaci różnicy dwóch funkcji   i   tzn.   dla pewnych   i   to

  oraz  

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj