Rozkład Poissona

Rozkład Poissona (czytaj [pwasɔ̃], także prawo Poissona małych liczb[1]) – dyskretny rozkład prawdopodobieństwa, wyrażający prawdopodobieństwo szeregu wydarzeń mających miejsce w określonym czasie, gdy te wydarzenia występują ze znaną średnią częstotliwością i w sposób niezależny od czasu jaki upłynął od ostatniego zajścia takiego zdarzenia. Rozkład Poissona można również stosować w odniesieniu do liczby zdarzeń w innych określonych przedziałach, takich jak odległość, powierzchnia lub objętość.

Rozkład Poissona
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa
Ilustracja
Na osi poziomej jest indeks Funkcja jest zdefiniowana tylko dla całkowitych wartości Linie łączące te punkty są jedynie konwencją wykresu i nie oznaczają ciągłości.
Dystrybuanta
Ilustracja
Na osi poziomej jest indeks
Parametry
Nośnik
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa
Dystrybuanta

(gdzie to niekompletna funkcja gamma)

Wartość oczekiwana (średnia)
Mediana
Moda i gdzie jest całkowite
Wariancja
Współczynnik skośności
Kurtoza
Entropia


dla dużych

Funkcja tworząca momenty
Funkcja charakterystyczna
Odkrywca Siméon Denis Poisson
(rozkład pierwszy raz pod tą nazwą wystąpił u H.E. Sopera)

Rozkład został wprowadzony i opublikowany przez Siméona-Denisa Poissona (1781–1840) wraz z jego teorią prawdopodobieństwa, w 1838 roku w jego pracy Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile („Badania nad prawdopodobieństwem orzeczeń sądowych w sprawach cywilnych i karnych”). Praca skupiała się na niektórych zmiennych losowych wyrażających, między innymi, liczbę dyskretnych zdarzeń, które odbywają się w przedziale czasu, o określonej długości.

Jeśli oczekiwaną liczbą zdarzeń w tym przedziale jest to prawdopodobieństwo, że jest dokładnie wystąpień, gdzie jest nieujemną liczbą całkowitą, jest równe

gdzie:

– podstawa logarytmu naturalnego
– liczba wystąpień zdarzenia, prawdopodobieństwo dane funkcją,
silnia
dodatnia liczba rzeczywista, równa oczekiwanej liczbie zdarzeń w danym przedziale czasu. Na przykład jeżeli zdarzenia występują średnio 4 razy na minutę, a ktoś jest zainteresowany prawdopodobieństwem zdarzenia razy występującego w 10 minut, może użyć rozkładu Poissona jako model z

Jako funkcja jest to funkcja masy prawdopodobieństwa. Rozkład Poissona można wyprowadzić jako graniczny przypadek rozkładu dwumianowego.

Rozkład Poissona może być stosowany do systemów z dużą liczbą możliwych zdarzeń, z których każde jest bardzo rzadkie. Klasycznym przykładem jest rozpad jąder atomowych.

Rozkład Poissona jest czasami nazywany Poissonianem.

Charakterystyka szumu Poissona i małych zdarzeńEdytuj

Parametr   jest nie tylko średnią liczbą wystąpień   ale także ich wariancją   (patrz tabela). Tym samym liczba zaobserwowanych zdarzeń oscyluje wokół średniej   z odchyleniem standardowym   Wahania te są oznaczone jako szum Poissona lub (zwłaszcza w elektronice) jako szum śrutowy.

Korelacja średniej i odchylenie standardowe w liczeniu niezależnych zdarzeń dyskretnych jest przydatna naukowo. Dzięki monitorowaniu jak wahania różnią się od średniej sygnału, można oszacować wkład jednego zdarzenia, nawet jeśli ten wkład jest zbyt mały do wykrycia bezpośrednio. Na przykład ładunek e elektronu może być określony poprzez skorelowanie wielkości prądu elektrycznego z jego szumem śrutowym. Jeżeli przez punkt przechodzi w czasie   średnio   elektronów, średni prąd jest równy   ponieważ wahania prądu powinny być rzędu   (tj. standardowe odchylenie procesu Poissona), ładunek   może być oszacowany ze współczynnika   Codziennym przykładem jest ziarnistość, która pojawia się przy powiększeniach fotografii, ziarnistość ta pojawia się w związku z wahaniami Poissona w ograniczonej liczbie ziaren srebra, a nie w związku z pojedynczymi ziarnami. Korelując ziarnistość ze stopniem powiększenia, można oszacować udział indywidualnych ziaren (które są zbyt małe, aby je inaczej postrzegać samodzielnie). Opracowano wiele innych zastosowań molekularnych szumu Poissona, np. szacowanie gęstości liczby cząsteczek receptora w błonie komórkowej

 

Rozkłady powiązaneEdytuj

  • Jeśli   i   to różnica   ma rozkład Skellama.
  • Jeśli   i   są niezależne, a   to rozkład   pod warunkiem   jest dwumianowy. W szczególności,   Ogólnie rzecz biorąc, jeśli   są niezależnymi zmiennymi losowymi Poissona z parametrami   wtedy
 
  • Rozkład Poissona może zostać wyprowadzony jako graniczny przypadek rozkładu dwumianowego gdy liczba prób dąży do nieskończoności a oczekiwana liczba sukcesów jest stała – patrz prawo rzadkich zdarzeń poniżej. Może być on zatem stosowany jako przybliżenie rozkład dwumianowego gdy liczba   jest wystarczająco duża i   jest dostatecznie małe. Istnieje praktyczna reguła, stwierdzająca, że rozkład Poissona jest dobrym przybliżeniem rozkładu dwumianowego, jeśli   jest co najmniej 20 i   jest mniejsza lub równa 0,05, oraz bardzo dobrym przybliżeniem, jeśli   i  [2].
  • Dla dostatecznie dużych wartości   (powiedzmy  ), rozkład normalny ze średnią   i wariancją   (odchylenie standardowe  ), jest znakomitym przybliżeniem rozkładu Poissona. Jeśli   jest większe niż około 10 wtedy rozkład normalny jest dobrym przybliżeniem, jeżeli są wykonywane odpowiednie korekty ciągłości, tj.   gdzie (małą literą)   jest liczbą całkowitą nieujemną, otrzymuje  
 
  • Transformacja stabilizująca wariancję: gdy zmienna ma rozkład Poissona, jej pierwiastek kwadratowy ma w przybliżeniu rozkład normalny z wartością oczekiwaną około   i wariancją około 1/4[3]. W ramach tej transformacji, zbieżność do normalności jest znacznie szybsza niż zmiennej przed transformacją. Są dostępne inne, nieco bardziej skomplikowane transformacje stabilizujące wariancję[4] z których jedna jest transformacja Anscombe'a. Zobacz transformacja danych (statystyka) do bardziej ogólnego zastosowania przekształceń.
  • Jeśli liczba zajść zdarzenia w danym przedziale czasu   jest zgodna z rozkładem Poissona, ze średnią   wtedy długość okresu oczekiwania pomiędzy zajściami zdarzenia ma rozkład wykładniczy ze średnią  

WystępowanieEdytuj

Rozkład Poissona powstaje w związku z procesami Poissona. Ma on zastosowanie do różnych zjawisk dyskretnych właściwości (czyli tych, które mogą się zdarzyć   razy w danym przedziale czasu lub w danym obszarze), gdy prawdopodobieństwo wystąpienia zjawiska jest stałe w czasie lub przestrzeni. Przykłady zdarzeń, które mogą być modelowane rozkładem Poissona to:

  • Liczba zabitych przez kopnięcie konia każdego roku w korpusie kawalerii w Prusach. Ten przykład zasłynął z książki Władysława Józefowicza Bortkiewicza (1868–1931).
  • Liczba połączeń telefonów przychodzących do centrali na minutę.
  • Przy założeniu jednorodności, ile razy serwer jest dostępny na minutę.
  • Liczba mutacji w danym odcinku DNA po ekspozycji na pewną dawkę promieniowania.
  • Odsetek komórek, które zostaną zakażone dla danej liczności zakażeń.

W jaki sposób powstają takie rozkłady? – Prawo rzadkich zdarzeńEdytuj

 
Porównanie rozkładu Poissona (czarne słupki) i rozkładu dwumianowego dla   (czerwone kółka),   (niebieskie kółka),   (zielone kółka). Wszystkie rozkłady mają wartość oczekiwaną równą 5. Oś pozioma pokazuje liczbę zdarzeń   Należy zauważyć, że gdy   rośnie, rozkład Poissona staje się coraz lepszym przybliżeniem rozkładu dwumianowego o tej samej wartości oczekiwanej.

W kilku z powyższych przykładów – takich jak liczba mutacji w danej sekwencji DNA – zdarzenia które są liczone są w wynikami pojedynczych prób, a dokładniej są modelowane przy użyciu rozkładu dwumianowego, to jest

 

W takich przypadkach   jest bardzo duże, a   jest bardzo małe (i tak oczekiwane   jest pośrednich rozmiarów). Rozkład może być wtedy przybliżany przez mniej uciążliwy rachunkowo rozkład Poissona

 

To jest znane jako prawo rzadkich zdarzeń, gdyż każde z poszczególnych zdarzeń Bernoulliego   rzadko występuje. Nazwa może być myląca, ponieważ całkowita liczba zajścia sukcesu w procesie Poissona nie musi być mała, jeśli parametr np nie jest mały. Na przykład liczba telefonów do zajętej centrali w ciągu jednej godziny stosuje się do rozkładu Poissona ze zdarzeniami pojawiającymi się często u operatora, ale są one rzadkie z punktu widzenia przeciętnego członka społeczeństwa, u którego jest bardzo mało prawdopodobne, by dzwonił do centrali w tej godzinie.

DowódEdytuj

Będziemy dowodzić, że dla stałych   jeśli

 

to dla każdego ustalonego k

 

Aby zobaczyć związek z powyższym uzasadnieniem, dla każdej zmiennej losowej o rozkładzie dwumianowym z dużych   i małych   ustalmy   Należy zauważyć, że wartość oczekiwania   jest stała względem  

Po pierwsze, przypomnijmy, że

 

wtedy ponieważ   w tym przypadku mamy

 

Dalej, należy pamiętać, że

 

gdzie rozpatrujemy granicę każdego z członów niezależnie, co można zrobić, ponieważ liczba członów zależnych od   jest stała (jest ich  ). W związku z tym, musimy wykazać, że

 

UogólnienieEdytuj

Wykazaliśmy, że jeżeli

 

gdzie   a następnie   w rozkładzie. Odnosi się to w bardziej ogólnej sytuacji, że   jest dowolny ciąg taki, że

 

2-wymiarowy proces PoissonaEdytuj

Osobny artykuł: Proces Poissona.
 

gdzie:

 podstawa logarytmu naturalnego  
  – liczba wystąpień zdarzenia – prawdopodobieństwo, dane funkcją,
 silnia  
  – 2-wymiarowy obszar,
  – pole obszaru,
  – liczba punktów w procesie rozwoju w obszarze.

WłasnościEdytuj

  • Wartość oczekiwana rozkładu Poissona zmiennej losowej jest równa   i jest też ona równa jego wariancji. Wyższe momenty rozkładu Poissona są wielomianami Toucharda z parametrem   których współczynniki mają kombinatoryczne znaczenie. W rzeczywistości, gdy wartość oczekiwana rozkładu Poissona jest 1, to wzór Dobińskiego mówi, że  -ty moment jest równy liczbie podziałów zbioru  -elementowego.
  • Dominanta zmiennej losowej o rozkładzie Poissona z niecałkowitą   jest równa   która jest największą liczbę całkowitą mniejszą lub równą   To jest również zapisane jako podłoga   Gdy   jest liczbą całkowitą, mody są równe   i  
  • Sumy zmiennych losowych o rozkładach Poissona:
Jeśli   mają rozkład Poissona z parametrem   i  niezależne, to
 
również ma rozkład Poissona o parametrze będącym sumą parametrów składowych. Odwrotne jest twierdzenie Rajkowa, które mówi, że jeśli suma dwóch niezależnych zmiennych losowych ma rozkład Poissona, to ma go również każda z tych dwóch niezależnych zmiennych losowych.
  • Suma znormalizowanych odchyleń kwadratowych ma w przybliżeniu rozkład chi kwadrat, jeśli średnia jest umiarkowanej wielkości (zalecana jest  )[5]. Jeśli   są obserwacjami z niezależnych rozkładów Poissona ze średnimi   wtedy  
  • Funkcją generującą momenty rozkładu Poissona z oczekiwaną wartość   jest
 
  • Wszystkie kumulanty rozkładu Poissona są równe wartości oczekiwanej    -ty moment silni rozkładu Poissona jest równy  
  • Rozkład Poissona jest nieskończenie podzielnym rozkładem prawdopodobieństwa.
  • Bezpośrednia dywergencja Kullbacka-Leiblera pomiędzy POI   i POI   jest dana przez
 
  • Wartość oczekiwana policzona z definicji:
 

Ocena rozkładu PoissonaEdytuj

Chociaż rozkład Poissona jest ograniczony przez   licznik i mianownik   może osiągnąć skrajne wartości dla dużych wartości   lub  

Jeżeli rozkład Poissona jest szacowany na komputerze z ograniczoną dokładnością, najpierw wyliczając jego licznik i mianownik, a następnie dzieląc je, to może wystąpić znaczna utrata precyzji.

Na przykład dla typowej podwójnej precyzji zdarzy się całkowita utrata dokładności jeśli   jest obliczana w ten sposób.

Pewniejszą metodą liczenia jest:

 

Generowanie zmiennych losowych o rozkładzie PoissonaEdytuj

Prosty sposób na generowanie losowych liczb o rozkładzie Poissona, jest podany przez Knutha, zobacz odniesienia poniżej.

algorytm poisson random number (Knuth):
 init:
  Let L ← e^-λ, k ← 0 i p ← 1.
 do:
  k ← k + 1.
  Wygeneruj losową liczbę u z przedziału [0,1] i przypisz p ← p × u.
 while p > L.
 return k - 1.

Podczas gdy jest prosty, złożoność jest liniowa względem   Istnieje wiele innych algorytmów na przezwyciężenie tego. Niektóre z nich są podane w Ahrens & Dieter, patrz odniesienia poniżej. Ponadto dla dużych wartości   mogą być problemy ze stabilnością numeryczną ze względu na człon   Jednym z rozwiązań dla dużych wartości   jest Pobieranie z odrzuceniem, innym jest wykorzystanie przybliżenia Poissona przez Gaussa.

Metoda odwrotnej transformacji jest prosta i skuteczna dla małych wartości   i wymaga tylko jednej jednolitej losowej liczby   na próbkę. Skumulowane prawdopodobieństwa badane są z kolei, aż jedno przekracza  

Estymacja parametrówEdytuj

Największa wiarygodnośćEdytuj

Dana jest próbka   mierzonych wartości ki i chcemy oszacować wartość parametru   populacji Poissona z której próbka została zaczerpnięta. Aby obliczyć wartość największej wiarygodności, tworzymy funkcję log-prawdopodobieństwo

 

Weź pochodną   względem   i przyrównaj ją do zera:

 

Rozwiązanie dla   daje punkt stacjonarny, który, jeśli druga pochodna jest ujemna, jest oszacowaniem maksymalnego prawdopodobieństwa  

 

Sprawdzając drugą pochodną, okazuje się, że jest negatywna dla wszystkich   i   większych od zera, dlatego ten stacjonarny punkt jest rzeczywiście maksimum początkowej funkcji prawdopodobieństwa:

 

Ponieważ każda obserwacja ma oczekiwane   więc tak samo średnią tej próbki. Dlatego jest nieobciążonym estymatorem   Jest to również efektywny estymator, tj. jego oszacowanie wariancji osiąga dolne ograniczenie nierówności Rao-Craméra. Stąd MVUE – estymator nieobciążony o minimalnej wariancji. Ponadto można udowodnić, że średnia próbki jest kompletna i wystarczająca statystycznie dla  

Statystyka bayesowskaEdytuj

W statystyce bayesowskiej, sprzężony rozkład a priori dla parametru skali   rozkładu Poissona jest rozkładem gamma. Niech

 

oznacza, że   ma rozkład zgodnie z gęstością Gamma   parametryzowaną ze względu na parametr kształtu   i odwrotny parametrem skali:  

 

Następnie biorąc tę samą próbkę   zmierzonych wartości ki jak poprzednio, i a priori Gamma   rozkład a posteriori jest

 

Średnia a posteriori   zbliża się do oszacowania maksymalnego prawdopodobieństwa   w granicy, jako  

Przewidujący rozkład a posteriori dodatkowych danych jest rozkładem Gamma-Poissona (tj. ujemnym dwumianowym).

Przedział ufnościEdytuj

Prosta i szybka metoda obliczania przybliżonego przedziału ufności dla oszacowania   jest zaproponowana w Guerriero et al. (2009). Metoda ta zapewnia dobre przybliżenie granic przedziału ufności dla próbek zawierających co najmniej 15–20 elementów. Oznaczając przez   liczbę próbkowanych punktów lub zdarzeń, a przez   długość linii próbek (lub przedział czasowy), górna i dolna granica 95% przedziału ufności dane są przez:

 
 

Prawo małych liczbEdytuj

Słowo prawo jest czasami używane jako synonim rozkładu prawdopodobieństwa i konwergencja tu oznacza konwergencję w rozkładzie. W związku z tym rozkład Poissona jest czasami nazywany prawem małych liczb, ponieważ jest to rozkład prawdopodobieństwa ilości wystąpień zdarzenia, które zdarza się rzadko, ale ma bardzo wiele możliwości, aby się zdarzyć. Prawo małych liczb to książka Władysława Bortkiewicza o rozkładzie Poissona opublikowana w 1898 roku. Niektórzy historycy matematyki twierdzili, że rozkład Poissona powinien być nazywany rozkładem Bortkiewicza[6].

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Jan Gullberg: Mathematics from the birth of numbers. New York: W.W. Norton, 1997, s. 963–965. ISBN 0-393-04002-X.
  2. NIST/SEMATECH, '6.3.3.1. Counts Control Charts', e-Handbook of Statistical Methods, accessed 25 October 2006.
  3. Peter McCullagh: Generalized Linear Models. Nelder, John. London: Chapman and Hall, 1989. ISBN 0-412-31760-5. page 196 gives the approximation and the subsequent terms.
  4. N.L. Johnson, S. Kotz, A.W. Kemp, Univariate Discrete distributions (2nd edition), Wiley, 1993, ​ISBN 0-471-54897-9​, s. 163.
  5. Box, Hunter and Hunter: Statistics for experimenters. Wiley, s. 57.
  6. I.J. Good. Some statistical applications of Poisson’s work. „Statistical Science”. 1 (2), s. 157–180, 1986. DOI: 10.1214/ss/1177013690. 

BibliografiaEdytuj

  • Rozkład po raz pierwszy tak nazwany w pracy:
Herbert Edward Soper. Tables of Poisson’s exponential binomial limit. „Biometrika”. 10, s. 25–35, 1914. 

ReferencjeEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj