Rozkład geometryczny

Rozkład geometryczny – dyskretny rozkład prawdopodobieństwa opisujący prawdopodobieństwo zdarzenia, że proces Bernoulliego odniesie pierwszy sukces dokładnie w -tej próbie. musi być liczbą naturalną dodatnią. Rozkład ten oznacza się zwykle symbolem Geo(p).

Rozkład geometryczny
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa
Ilustracja
Dystrybuanta
Ilustracja
Parametry


prawdopodobieństwo sukcesu (liczba rzeczywista)

Nośnik

Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa

Dystrybuanta

Wartość oczekiwana (średnia)

Mediana


niejednoznaczna gdy

Moda

Wariancja

Współczynnik skośności

Kurtoza

Entropia

Funkcja tworząca momenty

Funkcja charakterystyczna

Odkrywca

William Feller (1950)

Zmienna losowa X ma więc rozkład Geo(p) jeśli

Zauważmy, że jeśli X ma rozkład Geo(p), to Zatem jej dystrybuanta jest zadana wzorem dla liczb naturalnych k.

Uwaga: Niekiedy zamiast badać w której próbie odniesiemy pierwszy sukces, badamy ile prób z rzędu kończy się porażką. Wówczas tak zdefiniowane jest o jeden mniejsze, więc we wszystkich wzorach należy dodać do niego 1.

Rozkład geometryczny to szczególny przypadek ujemnego rozkładu dwumianowego dla

Ciągłym odpowiednikiem rozkładu geometrycznego jest rozkład wykładniczy.

MomentyEdytuj

Funkcja tworząca prawdopodobieństwo zmiennej losowej X o rozkładzie Geo(p) jest zadana wzorem

 

Z tego otrzymujemy

 

oraz

 

z czego otrzymujemy

 

Wyższe momenty główne   rozkładów Geo(p) mogą być wyznaczone za pomocą funkcji generującej momenty. Spełniają one następującą zależność rekurencyjną:

 

Momenty centalne   rozkładów Geo(p) mogą być wyznaczone za pomocą funkcji generującej momenty centralne. Spełniają one następującą zależność rekurencyjną:

 

Inne własnościEdytuj

Rozkład geometryczny jest bezpamięciowym: jeśli   ma rozkład Geo(p) i   są liczbami naturalnymi, to

 
 

Związki z innymi rozkładamiEdytuj

  1. Jeśli   są niezależne i mają rozkład Geo(p), to ich suma   ma ujemny rozkład dwumianowy NB(r,p)
  2. Jeśli   są niezależne i mają rozkład Geo(p) to zmienna losowa   ma rozkład geometryczny z parametrem  

Zobacz teżEdytuj