Rozkład macierzy

Do wielu zastosowań (zarówno numerycznych, jak i teoretycznych) warto przedstawić daną macierz w postaci iloczynu kilku macierzy o określonych własnościach. Niektóre z poniższych rozkładów uogólniają się na operatory liniowe.

DiagonalizacjaEdytuj

Osobny artykuł: Diagonalizacja.

Diagonalizacja to przedstawienie macierzy   w postaci diagonalnej, czyli

 

gdzie:

 macierz diagonalna składająca się z wartości własnych,
 macierz odwracalna składająca się z wektorów własnych odpowiadających kolejnym wartościom własnym.

Diagonalizacja działa tylko dla niektórych macierzy kwadratowych (np. symetrycznych i hermitowskich).

Macierz, którą można zdiagonalizować nazywamy macierzą diagonalizowalną.

Rozkład JordanaEdytuj

Osobny artykuł: Postać Jordana.

Rozkład Jordana to przedstawienie macierzy   w postaci Jordana, czyli

 

gdzie:

  – macierz składająca się z klatek Jordana odpowiadającym kolejnym wartościom własnym,
 macierz odwracalna; zawiera jeden wektor własny dla każdej klatki Jordana.

Jeśli macierz   jest diagonalizowalna, to jej postać Jordana jest równa postaci diagonalnej.

Rozkład wartości osobliwychEdytuj

Rozkład wartości osobliwych (nad  ) to przedstawienie macierzy   w postaci

 

gdzie:

 macierz diagonalna zawierająca kolejne wartości osobliwe,
  i  macierze ortogonalne.

Rozkład wartości osobliwych macierzy symetrycznej pokrywa się z rozkładem diagonalnym.

Jeśli mamy do czynienia z macierzą nad ciałem liczb zespolonych   to

 

gdzie:

 macierz diagonalna zawierająca kolejne wartości osobliwe,
  i  macierze unitarne.

Zaś rozkład wartości osobliwych macierzy hermitowskiej pokrywa się z rozkładem diagonalnym.

Rozkład LUEdytuj

Osobny artykuł: Metoda LU.

Rozkład LU to przedstawienie macierzy   w postaci

 

gdzie:

  – dolna macierz trójkątna,
  – górna macierz trójkątna.

Rozkład CholeskiegoEdytuj

Osobny artykuł: Rozkład Choleskiego.

Rozkład Choleskiego (nad  ) to przedstawienie dodatniej macierzy symetrycznej   w postaci

 

gdzie:

  – dolna macierz trójkątna.

Rozkład Choleskiego (nad  ) to przedstawienie dodatniej macierzy hermitowskiej   w postaci

 

gdzie:

  – dolna macierz trójkątna.

Rozkład biegunowyEdytuj

Rozkład biegunowy to przedstawienie macierzy   w postaci

 

gdzie:

 częściowa izometria,
 macierz dodatnio określona.

Zobacz teżEdytuj