Otwórz menu główne

Rozmaitość różniczkowa

(1) Przykład wprowadzenia rozmaitości różniczkowej klasy na sferze: mapy tworzące tę rozmaitość zawierają linie współrzędnych, które są krzywymi w ogólności niegładkimi (na mapie środkowej i z prawej strony Zwrotnik Raka jest krzywą gładką, ale na mapie z lewej ma ostre zagięcie – ta ostatnia krzywa nie ma pochodnej w punkcie zagięcia). (2) Aby rozmaitość różniczkowa była klasy (lub wyższej) trzeba wprowadzić na mapach współrzędne krzywoliniowe, których krzywe współrzędnych są krzywymi gładkim.

Rozmaitość różniczkowalna to rozmaitość, którą można przedstawić w postaci sumy otwartych podzbiorów (niekoniecznie rozłącznych) tak, że wszystkim punktom poszczególnych podzbiorów da się przyporządkować współrzędne krzywoliniowe.

Rozmaitość różniczkowa to rozmaitość różniczkowalna, w której zdefiniowano konkretny rodzaj współrzędnych krzywoliniowych. Przy tym, jeżeli funkcje definiujące współrzędne są klasy co najmniej tj. posiadające ciągłe pochodne w każdym punkcie, to w rozmaitości można wykonywać operacje różniczkowe. Dzięki temu możliwe jest wprowadzenie kanonicznych lokalnych baz wektorów (tj. baz wektorów stycznych do linii współrzędnych) i obliczanie gradientu, dywergencji, rotacji na polach tensorowychskalarnych, wektorowych itd.

Funkcje definiujące współrzędne uogólnione na poszczególnych częściach rozmaitości dokonują jej odwzorowania w przestrzeń rzeczywistą o wymiarze równym wymiarowi rozmaitości. Każde z tych odwzorowań wraz z podzbiorem, na którym jest określone, nazywa się mapą (w analogii do map powierzchni Ziemi). Zbiór map nazywa się atlasem.

Dopuszczenie istnienia wielu map dla danej rozmaitości wynika stąd, że wielu rozmaitości nie da się opisać za pomocą jednej mapy. Np. dla sfery nie istnieje globalny układ współrzędnych, ale można ją odwzorować za pomocą dwóch częściowo pokrywających się map (np. dwóch map nieco większych niż półsfery, zachodzących na siebie), na których wprowadza się współrzędne sferyczne (linie współrzędnych są wtedy funkcjami klasy ).

Wprowadzenie struktury rozmaitości różniczkowej ma duże znaczenie np. w fizyce: w szczególnej i ogólnej teorii względności czas i przestrzeń modeluje się za pomocą 4-wymiarowej czasoprzestrzeni, która jest rozmaitością różniczkową (przy czym dodatkowo określa się geometrię czasoprzestrzeni definiując tzw. fundamentalny tensor metryczny).

Definicja rozmaitości różniczkowejEdytuj

Przestrzeń topologiczną   nazywamy rozmaitością różniczkową  -wymiarową, jeśli

  • dla każdego punktu   istnieje zawierające go otwarte i spójne otoczenie  
  • dla każdego otoczenia   został zdefiniowany homeomorfizm   na otwarty zbiór   przestrzeni wektorowej  -wymiarowej   nad ciałem   liczb rzeczywistych (tj. każdemu punktowi tego otoczenia przyporządkowany został w sposób wzajemnie jednoznaczny jeden punkt przestrzeni  -wymiarowej  ).

Mapa, atlas, klasa rozmaitości, atlas zupełnyEdytuj

Definicje:

(a) Homeomorfizm   nazywa się mapą na rozmaitości  

(b) Rodzina   map nazywa się atlasem rozmaitości   gdy dziedziny   homeomorfizmów   pokrywają rozmaitość   tj.

 
(1)

(c) Jeżeli homeomorfizmy są klasy   to rozmaitość nazywa się rozmaitością różniczkową klasy  

(d) Atlasem zupełnym (maksymalnym) klasy   lub   – strukturą na rozmaitości   nazywa się największy spośród atlasów klasy   na   tzn. zawierający w sensie mnogościowym wszystkie atlasy klasy  

Rozmaitości różniczkowe klasy oraz Edytuj

W definicji rozmaitości można zażądać odpowiednio wysokiej gładkości poprzez żądanie, by funkcje tworzące mapy były odpowiednio wysokiej klasy. Wprowadza się przy tym definicje:

  • Rozmaitością różniczkową klasy   nazywa się rozmaitość topologiczną, która nie posiada map klasy  
  • Rozmaitością różniczkową klasy   nazywa się rozmaitość, której mapa jest funkcją klasy   gdzie  
  • Rozmaitością klasy   nazywa się rozmaitość analityczną.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj