Otwórz menu główne

Rozszerzenie abelowe – w algebrze abstrakcyjnej jest to rozszerzenie Galois, którego grupa Galois jest grupą abelową. Gdy grupa Galois jest grupą cykliczną, mówimy, że jest to rozszerzenie cykliczne. Jeśli grupa Galois jest grupą rozwiązalną to rozszerzenie Galois jest również rozwiązalne tj. jest zbudowana z szeregu grup abelowych, które odpowiadają rozszerzeniu pośredniemu.

Każde skończone rozszerzenie ciała skończonego jest rozszerzeniem cyklicznym. Rozwój teorii ciał dostarczył szczegółowych informacji na temat rozszerzeń abelowych ciał liczbowych, ciał funkcji krzywych algebraicznych ponad ciałami skończonymi i ciałami lokalnymi.

Istnieją dwa nieco różne koncepcje rozszerzeń cyklotomicznych: albo są to rozszerzenia tworzone przez sąsiednie pierwiastki z jedynki, albo pod-rozszerzenia takich rozszerzeń. Przykładem są ciała cyklotomiczne. Każde rozszerzenie cyklotomiczne (dla obu definicji) jest abelowe.

Jeśli ciało K zawiera pierwotny n-ty pierwiastek jedności i n-ty pierwiastek elementu ciała K przylega, to tzw. rozszerzenie Kummera jest rozszerzeniem abelowym (jeśli K ma charakterystykę p, to możemy powiedzieć, że p nie dzieli n, ponieważ w przeciwnym razie może to nie być nawet rozszerzenie rozkładalne). Na ogół jednak, grupy Galois pierwiastków n-tych elementów działają zarówno na n-tych pierwiastkach elementów ciała K i na pierwiastkach z jedynki, dając nieabelową grupę Galois jako iloczyn półprosty. Teoria Kummera daje pełny opis rozszerzeń abelowych, a twierdzenie Kroneckera-Webera mówi, że jeśli K jest ciałem liczb wymiernych, to rozszerzenie jest abelowe wtedy i tylko wtedy, gdy jest podciałem ciała uzyskanego przez przylegający pierwiastek z jedynki.

Istnieje ważna analogia z grupą podstawową w topologii, która klasyfikuje wszystkie przestrzenie pokrywające przestrzeń: pokrycia abelowe klasyfikowane są przez jego abelianizację, która odnosi się bezpośrednio do pierwszej grupy homologii.

BibliografiaEdytuj