Rząd macierzy

(Przekierowano z Rząd (algebra liniowa))

Rząd – w algebrze liniowej dla danego przekształcenia liniowego między przestrzeniami liniowymi nad ciałem wymiar obrazu tego przekształcenia, tzn. liczba wektorów bazowych podprzestrzeni liniowej przestrzeni w literaturze polskojęzycznej oznacza się go m.in. symbolami lub w literaturze anglojęzycznej można spotkać oznaczenia czy [1].

Wszystkie opisane niżej własności dotyczące skończeniewymiarowych przestrzeni liniowych nad ciałami przenoszą się wprost na skończeniegenerowane moduły wolne nad pierścieniami przemiennymi (które można opisywać za pomocą macierzy nad tymi pierścieniami), dla których istnieje izomorfizm między danym modułem a modułem dualnym do niego; w ogólności może się zdarzyć, że rzędy tych przekształceń będą różne albo nawet nie możliwe do poprawnego zdefiniowania. W analizie funkcjonalnej, gdzie bada się przekształcenia liniowe między nieskończeniewymiarowymi przestrzeniami liniowymi (z dodatkowymi strukturami), przekształcenia mające skończony rząd nazywa się operatorami skończonego rzędu.

MacierzeEdytuj

Jeżeli   są skończonego wymiaru odpowiednio   to rząd   również jest skończony i jest nie większy niż   (gdyż wymiar dowolnej podprzestrzeni skończonego wymiaru jest skończony). Wybierając w   i   bazy, odpowiednio   oraz   wprowadza się izomorfizmy   i   W ten sposób przekształcenie   można zapisać we współrzędnych (w bazach  ) w postaci przekształcenia   korzystając z przestrzeni współrzędnych macierzowych zapisuje się je zwykle w postaci macierzy   typu   nazywanej macierzą przekształcenia liniowego   w bazach   Jeśli dana własność będzie odnosić się tak do przekształcenia   jak i jego macierzy   to obiekty te zbiorczo będą oznaczane  

Przekształcenia liniowe i ich macierze

Ponieważ kolumny macierzy   są obrazami wektorów bazy   w przekształceniu   to rozpinają one w   podprzestrzeń izomorficzną z obrazem   dlatego rząd macierzy   można definiować jako rząd tego przekształcenia liniowego, zwykle jednak czyni się na odwrót: definiuje się rząd macierzy i dowodzi, iż rzędy macierzy podobnych są równe, tzn. że rząd przekształcenia opisanego we współrzędnych nie zależy od ich wyboru (zob. Własności). W szczególności operacje elementarne zachowują rząd, co oznacza, że do jego obliczenia można wykorzystać metodę eliminacji Gaussa (lub metodę eliminacji Gaussa-Jordana): wówczas rząd jest równy liczbie niezerowych wierszy macierzy wynikowej mającej postać schodkową (zwykłą lub zredukowaną).

Przekształcenia dualne i macierze transponowane

Jeśli   są skończeniewymiarowe, to istnieje wtedy izomorfizm między tymi przestrzeniami a przestrzeniami dualnymi   przekształceniu   odpowiada wtedy przekształcenie dualne   któremu odpowiada z kolei macierz transponowana   W związku z tym, że dualizacja jest izomorfizmem, przekształcenie   ma rząd równy rzędowi   a rząd macierzy   jest równy rzędowi macierzy   Wprost stąd wynika, że rząd   nie może również przekraczać   w połączeniu z obserwacją z pierwszego akapitu oznacza to więc, iż rzędy te są nie większe niż mniejsza z liczb  

Ponieważ transpozycja macierzy zamienia rolami jej wiersze i kolumny, to rząd macierzy   zwykło nazywać się rzędem kolumnowym, a z kolei rząd macierzy  rzędem wierszowym macierzy   Tłumaczy to, dlaczego zazwyczaj pojęcia te definiuje się odpowiednio jako maksymalną liczbę liniowo niezależnych wektorów kolumnowych bądź wierszowych danej macierzy bądź inaczej: wymiar powłoki liniowej rozpiętej na wektorach będących kolumnami lub wierszami danej macierzy.

Wyznacznik
Zobacz też: wyznacznik.

Ponieważ do określenia liniowej niezależności wektorów, kolumnowych bądź wierszowych, macierzy można wykorzystać wyznacznik, to rząd macierzy można wyznaczyć jako największy stopniem niezerowy minor tej macierzy; czasami własność ta wykorzystywana jest jako definicja tzw. rzędu wyznacznikowego macierzy. W interpretacji geometrycznej oznacza to, że rząd układu wektorów kolumnowych bądź wierszowych danej macierzy jest równy największemu wymiarowi wielowymiarowego równoległościanu rozpinanego przez te wektory.

Własności

Rząd   jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy przekształcenie jest trywialne (tzn. odwzorowujące wszystkie wektory w wektor zerowy), bądź macierz jest zerowa. Przekształcenie   jest różnowartościowe (monomorifzmem) wtedy i tylko wtedy, gdy rząd   tzn. ma „pełny rząd kolumnowy”, oraz na (epimorfizmem) wtedy i tylko wtedy, gdy rząd   tzn. ma „pełny rząd wierszowy”. Ponadto jeśli   z macierzą   typu   to rząd   rząd   rząd   Jeśli zaś   są przestrzeniami liniowymi nad   odpowiednio wymiaru   i dane są przekształcenia   z macierzą   typu   rzędu   oraz   z macierzą   typu   rzędu   to rzędy   oraz   są równe rzędowi  

Niech   będą endomorfizmami, a   oznaczają ich kwadratowe macierze stopnia   Wówczas z połączenia powyższych stwierdzeń o różnowartościowości i byciu „na” wynika, że endomorfizm   jest odwracalny (izomorfizmem) bądź jego macierz   jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy rząd   tzn. ma „pełny rząd”. Zachodzi również tzw. nierówność Sylvestera o rzędzie: rząd   rząd   rząd  

PrzypisyEdytuj

  1. Ang. rank, „rząd, szereg”, z norm. renc, reng; poch. germ., spokr. z swn. hring, „pierścień” (spokr. ze scs. krǫgŭ, „krąg”).

BibliografiaEdytuj