Otwórz menu główne
Sferę Riemanna można zobrazować jako rzut stereograficzny płaszczyzny zespolonej

Sfera Riemanna lub płaszczyzna zespolona domkniętasfera otrzymana z płaszczyzny zespolonej przez dodanie punktu w nieskończoności. Sfera jest geometryczną prezentacją rozszerzonego zbioru liczb zespolonych który zawiera wszystkie liczby zespolone oraz obiekt reprezentujący nieskończoność i oznaczany symbolem Nazwa pochodzi od matematyka z XIX wieku Bernharda Riemanna.

Rozszerzony zbiór liczb zespolonych jest przydatny w analizie zespolonej, ponieważ pozwala w pewnych przypadkach na dzielenie przez zero, tzn. wyrażenia takie jak mają „wartość” w zbiorze Na przykład każda funkcja wymierna na płaszczyźnie zespolonej może być określona jako funkcja ciągła na sferze Riemanna, jeśli biegunom tej funkcji przypiszemy wartość Bardziej ogólnie, każdą funkcję meromorficzną można traktować jako funkcję ciągłą, której przeciwdziedziną jest sfera Riemanna.

W geometrii sfera Riemanna jest przykładem powierzchni Riemanna i jedną z najprostszych rozmaitości zespolonych.

Płaszczyzna zespolona domkniętaEdytuj

Płaszczyznę zespoloną domkniętą   można uzyskać, uzupełniając płaszczyznę zespoloną punktem oznaczanym przez  [1]. W tak zdefiniowanym zbiorze określa się topologię, której bazą zbiorów otwartych jest suma zbioru kół otwartych w płaszczyźnie zespolonej i sum dopełnień kół domkniętych w płaszczyźnie zespolonej i zbioru  

 

Zgodnie z tak zwanym twierdzeniem Aleksandrowa tak określona przestrzeń topologiczna jest przestrzenią zwartą (bo płaszczyzna zespolona jest lokalnie zwarta)[2] Tak określona przestrzeń topologiczna jest homeomorficzna ze sferą w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej   określoną wzorem:

 

Jest to sfera o środku   i promieniu   Należą do niej zarówno punkt   jak i   Płaszczyzna rozpięta na osiach   i   jest do tej sfery styczna w punkcie   Po utożsamieniu osi   i   odpowiednio z osiami   i   można zastosować rzut stereograficzny płaszczyzny zespolonej domkniętej na tę sferę, który:

  • punktowi   przyporządkowuje punkt  
  • każdemu punktowi   przyporządkowuje punkt przecięcia powierzchni sfery z prostą łączącą punkty   i  

Rzut ten ustala homeomorfizm między płaszczyzną zespoloną domkniętą a sferą[3].

Płaszczyzna zespolona domknięta jest pojęciem często używanym w analizie zespolonej.

Przykłady zastosowaniaEdytuj

  • Funkcja homograficzna   gdzie   jest homeomorfizmem przestrzeni   na siebie. Przekształcenie to jest konforemne we wszystkich punktach  [4].
  • Każda funkcja meromorficzna w   jest funkcją wymierną[5].
  • Niech   będzie krzywą gładką, a   funkcją ciągłą na   Wtedy funkcja
 
jest funkcją holomorficzną na zbiorze   równą zero w  [6].

Rozszerzony zbiór liczb zespolonychEdytuj

Rozszerzony zbiór liczb zespolonych zawiera wszystkie liczby zespolone oraz ∞. Zbiór ten można zapisać jako   i często jest oznaczany przez ozdobienie litery   jakimś symbolem np.:

 

Rozszerzony zbiór liczb zespolonych jest utożsamiany geometrycznie ze sferą Riemanna.

Operacje arytmetyczneEdytuj

Dodawanie liczb zespolonych można rozszerzyć przez zdefiniowanie

 

dla dowolnej liczby zespolonej  

Mnożenie można rozszerzyć przez zdefiniowanie

 

dla wszystkich liczb zespolonych oprócz zera. Należy jednak zauważyć, że operacje   i   pozostają nieokreślone.

W przeciwieństwie do liczb zespolonych, rozszerzony zbiór liczb zespolonych nie jest ciałem ponieważ ∞ nie ma liczby odwrotnej. Niemniej jednak zwyczajowo definiuje się w zbiorze   dzielenie jako

 

dla wszystkich liczb zespolonych   oprócz zera.

Funkcje wymierneEdytuj

Na sferze Riemanna każda funkcja wymierna   może być rozszerzona do funkcji ciągłej. W szczególności, jeśli   jest liczbą zespoloną taką, że mianownik   natomiast licznik   to można zdefiniować, że   Ponadto   można zdefiniować jako granicę  

Przykład: mając daną funkcję

 

można zdefiniować   ponieważ mianownik wynosi zero dla   i   ponieważ   Dzięki tym definicjom, funkcja   staje się funkcją ciągłą odwzorowującą sferę Riemanna na sferę Riemanna.

Gdy rozpatrujemy sferę Riemanna jako rozmaitość zespoloną okazuje się, że funkcje wymierne są funkcjami holomorficznymi odwzorowującymi ją na siebie.

Rozmaitość zespolonaEdytuj

Sferę Riemanna można uznać za jednowymiarową rozmaitość zespoloną, którą można opisać za pomocą dwóch map o przekształceniach w płaszczyznę zespoloną   Niech   i   są zespolonymi współrzędnymi na   Można utożsamiać niezerowe wartości   z niezerowymi wartościami   korzystając z przekształceń przejścia

 

Ponieważ przekształcenia przejściaholomorficzne, definiują one rozmaitość zespoloną nazywaną sferą Riemanna.

Intuicyjnie, przekształcenia przejścia wskazują jak skleić razem dwie płaszczyzny aby utworzyć sferę Riemanna. Płaszczyzny są sklejone w sposób „wewnątrz-na-zewnątrz”, czyli nakładają się na siebie niemalże całkowicie, jedynie środki płaszczyzn (tj. punkty zerowe) są indywidualnym wkładem dopełniającym braki jednej względem drugiej. Innymi słowy (prawie) każdy punkt na sferze Riemanna ma przypisane dwie wartości, \zeta i \xi, które łączy relacja   Punkt, w którym   powinien mieć wartość „1/0”; w tym znaczeniu środek płaszczyzny będącej mapą \xi pełni rolę „ ” na mapie \zeta i odwrotnie.

Od strony topologicznej uzyskana przestrzeń jest uzwarceniem jednopunktowym płaszczyzny. Jednakże sfera Riemanna to nie tylko sfera topologiczna. Ta sfera ma dobrze zdefiniowaną strukturę zespoloną, tj. dla każdego punktu na sferze istnieje otoczenie które może być utożsamione za pomocą bijekcji holomorficznej z  

Z drugiej strony, twierdzenie o ujednoliceniu (centralny wynik klasyfikacji powierzchni Riemanna) stanowi, że jednospójnymi jednowymiarowymi rozmaitościami zespolonymi są tylko płaszczyzna zespolona, płaszczyzna hiperboliczna i sfera Riemanna. Z tego zbioru jedynie sfera Riemanna jest rozmaitością zamknietą (zwartą i bez brzegu). Stąd dwuwymiarowa sfera uzyskuje jednoznaczną strukturę zespoloną, przekształcając się w jednowymiarową rozmaitość zespoloną.

SferaEdytuj

 
Rzut stereograficzny liczby zespolonej   na punkt α sfery Riemanna

Sferę Riemanna można przedstawić jako sferę jednostkową   w trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej   Aby to osiągnąć należy zastosować rzut stereograficzny sfery jednostkowej bez punktu   na płaszczyznę   którą utożsamia się z płaszczyzną zespoloną za pomocą   Współrzędne kartezjańskie   i sferyczne   na sferze (gdzie   to odległość zenitalna, a   to długość azymutalna) opisuje równanie

 

Podobnie, rzut stereograficzny od   na płaszczyznę   utożsamiany z inną kopią płaszczyzny jako   opisuje równanie

 

Aby pokryć całą sferę jednostkową potrzebne są dwa odwzorowania: pierwsze przekształca całą sferę z wyjątkiem punktu   a drugie podobnie z wyjątkiem punktu   Stąd wynika potrzeba zastosowania dwóch płaszczyzn zespolonych, po jednej dla każdego rzutu, które intuicyjnie można skleić „tyłem do siebie” dla   Należy zauważyć, że obie płaszczyzny zespolone są odmiennie identyfikowane z płaszczyzną   Odwrócona orientacja jest niezbędna aby utrzymać jednoznaczną orientację na sferze, w szczególności sprzężenie zespolone powoduje, że przekształcenia przejścia są holomorficzne.

Przekształcenia przejścia między współrzędnymi   i   można uzyskać przez złożenie jednego przekształcenia z odwrotnym do drugiego. Okazuje się, że wynoszą one   i   co jest opisane wyżej. Tym samym sfera jednostkowa jest dyfeomorficzna ze sferą Riemanna.

W tym dyfeomorfizmie, okrąg jednostkowy na mapie   oraz okrąg jednostkowy na mapie   są tożsame z równikiem sfery jednostkowej. Koło jednostkowe   jest tożsame z półsferą południową   a koło jednostkowe   jest tożsame z półsferą północną  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • Jan Krzyż, Julian Ławrynowicz: Elementy analizy zespolonej. Warszawa: WNT, 1981. ISBN 83-204-0239-5.
  • П.С. Александров, П.С. Урысон: Мемуар о компактных топологических пространствах. Москва: Наука, 1971.
  • Борис Шабат: Введение в комплексный анализ. T. 1. Москва: Наука, 1985.

Linki zewnętrzneEdytuj