Skręcanie

Skręcanie – w wytrzymałości materiałów stan obciążenia pręta, w którym działa na niego moment, nazywany momentem skręcającym, działający w płaszczyźnie przekroju poprzecznego pręta[1][2]. Powoduje on występowanie naprężeń ścinających w płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny działania momentu. Skręcanie występuje w prętach, którymi najczęściej są wały. Wyróżniamy 2 podstawowe przypadki skręcania:

Skręcanie czyste
  • Skręcanie czyste[2] – w którym do ścianek poprzecznych jednorodnego i izotropowego pręta pryzmatycznego przyłożone jest obciążenie o gęstości które redukuje się do dwóch przeciwnie skierowanych momentów działających w płaszczyźnie ścianek poprzecznych. Rozwiązanie tego przypadku jest możliwe tylko w przypadku, gdy uda nam się znaleźć funkcję spaczenia ф, charakterystyczną dla danego przekroju pręta, która jest rozwiązaniem układu równań (zagadnienie Neumanna):

gdzie i są współrzędnymi wektora normalnego do pobocznicy pręta.

Skręcanie proste
  • Skręcanie proste[2] pręta, które różni się od skręcania „czystego” tym, że obciążenie zastępujemy dwójką przeciwnie skierowanych, równych co do wartości skupionych momentów skręcających. Analityczne rozwiązanie tego przypadku jest praktycznie niemożliwe, dlatego stosujemy zgodnie z zasadą de Saint-Venanta rozwiązanie zagadnienia czystego skręcania.

Rozwiązanie zagadnienia czystego skręcaniaEdytuj

Rozwiązanie zagadnienia liniowej teorii sprężystości w przypadku czystego skręcania jest następujące[2]:

Tensor naprężeń

 

Tensor odkształceń

 

gdzie:

 moduł Kirchhoffa,
  – funkcja spaczenia, charakterystyczna dla przekroju,
  – jednostkowy kąt skręcenia,
 
  – kąt skręcenia.

Wektor przemieszczeń  

  • wzdłuż osi pręta
 
  • w kierunkach prostopadłych
 
 

Proste skręcanieEdytuj

Dla skręcania prostego[2] przyjmujemy, że jednostkowy kąt skręcenia jest równy  

gdzie:

  – moment bezwładności na skręcanie, wyznaczany na podstawie rozwiązania równań skręcania czystego,
 moment skręcający,
Iloczyn   zwany jest sztywnością na skręcanie.

Proste skręcanie pręta o przekroju kołowymEdytuj

 
Stan naprężeń w przekroju poprzecznym skręcanego preta i rury

Dla przekroju kołowego funkcja spaczenia ф=0.

Dla koła  

gdzie   – średnica przekroju, a   to biegunowy moment bezwładności  

gdzie  

Naprężenia rozkładają się w przekrojach tak jak widać to na rysunku. Naprężenia wyrażają się wtedy wzorem:

 

gdzie   – odległość punktu od środka przekroju.

Naprężenia maksymalne występują więc na samym brzegu przekroju i są równe  

Możemy więc określić wielkość zwaną wskaźnikiem wytrzymałości przekroju na skręcanie  

 
Stan naprężeń w przekroju cienkościennym

Dla przekrojów cienkościennych stosuje się uproszczony wzór na maksymalne naprężenia styczne. Zakłada się przy nim, że naprężenia rozkładają się równomiernie na całej grubości ścianki.

 

gdzie:

  – minimalna grubość ścianki,
  – pole obszaru ograniczonego linią środkową przekroju.

Proste skręcanie pręta o przekroju prostokątnymEdytuj

 
Rozkład naprężeń w przekroju prostokątnym
 
Rozkład naprężenia – skręcanie przekroju prostokątnego

Rzeczywiste rozwiązanie tego problemu nie jest znane, możemy posługiwać się tylko rozwiązaniami przybliżonymi. Dzieje się tak, ponieważ, w przeciwieństwie do przekroju kołowego, przekrój prostokątny ulega deplanacji. Wyprowadzono przybliżone wzory na maksymalne naprężenia styczne i jednostkowy kąt skręcenia, przy czym występują w nich współczynniki   (niemający nic wspólnego z kątem skręcenia  ) i   zależne od stosunku dłuższego boku przekroju do krótszego (h/b). Współczynniki te zostały obliczone dla niektórych wartości h/b oraz zostały stablicowane. Niektóre wartości pokazuje tabelka:

h/b 1,0 1,5 1,75 2,0 2,5 3,0 4,0 6,0 8,0 10,0  
α 0,208 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 0,333
β 0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 0,333
Maksymalne naprężenia styczne – występują zawsze w połowie dłuższego boku przekroju
 
Jednostkowy kąt skręcenia
 

Warunki projektowaniaEdytuj

Pręty skręcane projektuje się ze względu na możliwość wystąpienia dwóch stanów niebezpiecznych:

  • graniczny stan użytkowania – skręcenie nie może przekroczyć wartości dopuszczalnej  

lub gdy moment skręcający   nie jest stały w całym pręcie (jest funkcją zmiennej  ):  

(l – długość pręta),

  • graniczny stan nośności – naprężenia nie mogą przekroczyć wytrzymałości na ścinanie  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Andrzej Gawęcki, Podstawy mechaniki konstrukcji prętowych, Poznań: Wyd. Politechniki Poznańskiej, 1985.
  2. a b c d e Stefan Piechnik, Wytrzymałość materiałów, Warszawa-Kraków: PWN, 1980.