Snop (matematyka)

obiekt matematyczny

Snop (fr. faisceau) – trójka uporządkowana składająca się z przestrzeni topologicznej przestrzeni Hausdorffa oraz lokalnie homeomorficznej surjekcji [1].

Zamiast często pisze się albo albo [2].

Przestrzeń nazywana jest bazą snopa, a przekształcenie projekcją snopa. Dla każdego zbiór jest nazywany włóknem snopa nad punktem [1].

Jeśli to sekcją snopa nad nazywa się taką funkcję ciągłą że Zbiór wszystkich sekcji snopa nad jest oznaczany przez [1].

Włókna snopa są często wyposażane w struktury algebraiczne: grupy, pierścienia lub modułu[1].

Snopy umożliwiają połączenie w jednym własności lokalnych z własnościami globalnymi obiektów matematycznych (np. funkcji). Własności lokalne są formułowane w języku elementów zbiorów gdzie zbiór jest małym otoczeniem punktu bazy, a własności globalne są wyrażane w języku elementów zbioru [1].

PrzykładyEdytuj

 
Przekształcanie kwadratu na torus.
  • Torus można sobie wyobrażać jako przestrzeń ilorazową płaszczyzny   przez grupę izometrii płaszczyzny   generowaną przez przesunięcia o wektory   i   Przestrzeń ilorazowa powstaje przez utożsamienie punktów płaszczyzny, których współrzędne różnią się o liczby całkowite. W taki sposób każdy punkt jest utożsamiony z wnętrzem kwadratu jednostkowego, początkiem układu współrzędnych, albo z punktami należącymi do wnętrza boków kwadratu jednostkowego leżących na osiach współrzędnych. Zatem utożsamiane są punkty przeciwległych boków kwadratu jednostkowego (ten ostatni etap ilustruje animacja zamieszczona obok). Przekształcenie przyporządkowujące punktowi płaszczyzny jego obraz na torusie jest lokalnym homeomorfizmem, a trójka (płaszczyzna, torus, przekształcenie) realizuje snop grup.
  • Przestrzeń   kiełków funkcji gładkiej na parazwartej rozmaitości gładkiej   z projekcją   gdzie   i   tworzy snop.

Kategoria snopów nad ustaloną baząEdytuj

Niech   i   będą dwoma snopami nad tą samą przestrzenią   Niech   będzie takim odwzorowaniem ciągłym, że   Wtedy przekształcenie   nazywa się odwzorowaniem snopów[2].

Odwzorowanie snopów przekształca każde włókno   snopa   we włókno   snopa   nad tym samym punktem przestrzeni   Odwzorowanie snopów jest lokalnym homeomorfizmem[2].

Dla odwzorowań snopów   i   odwzorowanie   jest także odwzorowaniem snopów. Ponadto odwzorowanie identycznościowe   jest odwzorowaniem snopów. Dlatego snopy nad ustaloną przestrzenią   (obiekty) z odwzorowaniami snopów (morfizmy) tworzą kategorię[2].

PrzypisyEdytuj

  1. a b c d e Steven G. Kranz: Teoria funkcji wielu zmiennych zespolonych. Warszawa: PWN, 1991, s. 203, 204. ISBN 83-01-10048-6.
  2. a b c d H. Grauert, R. Remmert: Theorie der Steinschen Räume (tłum ros.). Moskwa: Nauka, 1989, s. 18, 19. (ros.)