Algebra Banacha

Algebra Banacha – przestrzeń Banacha z określonym dodatkowym działaniem mnożenia wraz z którym tworzy ona algebrę nad ciałem liczb rzeczywistych (algebrę rzeczywistą) bądź zespolonych (algebrę zespoloną) i w której norma jest podmultiplikatywna, tj.

$\|a\cdot b\|\leqslant \|a\|\,\|b\|\quad (a,b\in A).$

Definicja ta ma również sens dla przestrzeni unormowanych, które niekoniecznie są zupełne – w takim przypadku mówi się o algebrach unormowanych. Jeżeli działanie mnożenia jest przemienne, to mówi się odpowiednio o przemiennych algebrach unormowanych i przemiennych algebrach Banacha.

Istnieją zasadnicze różnice w teorii zespolonych i rzeczywistych algebr Banacha wynikające z gorszych własności spektralnych tych drugich, skąd klasyczna teoria algebr Banacha dotyczy głównie zespolonych algebr Banacha. W analizie $p$-adycznej rozważa się również zdefiniowane podobnie jak wyżej algebry Banacha nad ciałem liczb $p$-adycznych (bądź innym ciałem z waluacją), jednak zwykle teorii tej nie zalicza się do teorii algebr Banacha. W niniejszym artykule rozważane będą głównie zespolone algebry Banacha.

Nazwa algebra Banacha została wprowadzona w 1945 przez Warrena Ambrose’a.

Jedynka w algebrze Banacha

Definicja algebry Banacha nie wymaga by miała ona jedynkę, tj. element neutralny względem mnożenia. Skrajnym przykładem algebry Banacha bez jedynki jest dowolna przestrzeń Banacha $A$ z trywialnym mnożeniem, tj. $a\cdot b=0(a,b\in A).$ Każdą algebrę Banacha $A$ można jednak rozszerzyć o jedynkę do większej algebry Banacha (tj. zbudować jej ujedynkowienie) w taki sposób by $A$ była izometryczna z ideałem o kowymiarze 1 w ujedynkowieniu. Dokładniej, w sumie prostej $A\oplus \mathbb {C}$ wprowadza się działanie mnożenia wzorem

$(a,\lambda )\cdot (b,\mu )=(ab+\lambda b+\mu a,\lambda \mu )\quad (a,b\in A,\lambda ,\mu \in \mathbb {C} ),$

wraz z którą jest ona algebrą. Algebra ta jest algebrą Banacha z normą

$\|(a,\lambda )|=\|a\|+|\lambda |\;(a\in A,\lambda \in \mathbb {C} )$.

Powyższe konstrukcje mają również sens dla rzeczywistych algebr Banacha; należy jedynie zastąpić wszędzie $\mathbb {C}$ przez $\mathbb {R} .$

Ciągłość mnożenia w algebrze Banacha

W algebrze Banacha operacja mnożenia jest ciągła. Jest to warunek charakteryzujący algebry będące jednocześnie przestrzeniami Banacha co do przenormowania. Dokładniej, jeżeli $A$ jest taką algebrą, która jest przestrzenią Banacha z normą $|{\cdot }|$ oraz mnożenie w niej jest ciągłe ze względu na każdą ze zmiennych, to istnieje norma równoważna na $A$ wraz z którą $A$ jest algebrą Banacha. Na przykład funkcja

$\|a\|=\sup\{|ab|\colon b\in A,|b|=1\}\;(a\in A).$

jest normą równoważną normie $|{\cdot }|$ oraz jest podmultiplikatywna, tj. $A$ wyposażona w tę normę jest algebrą Banacha.

Przykłady

• Niech $X$ lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa oraz niech $C_{0}(X)$ oznacza algebrę funkcji ciągłych o wartościach skalarnych, które znikają w nieskończoności, tj. takich funkcji ciągłych $f,$ że dla każdego $\varepsilon >0$ zbiór

$\{x\in X\colon |f(x)|\geqslant \varepsilon \}$

jest zwarty. W przypadku, gdy przestrzeń $X$ jest zwarta, każda funkcja ciągła na $X$ spełnia ten warunek, skąd przyjmuje się oznaczenie $C(X).$ Algebra $C_{0}(X)$ z normą supremum:

$\|f\|=\sup\{|f(x)|\colon x\in X\}\quad (f\in C_{0}(X))$

jest przemienną algebrą Banacha, która ma jedynkę wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń $X$ jest zwarta (jedynką jest wówczas funkcja stale równa 1).

• Przykładem skończenie wymiarowej algebry Banacha jest przestrzeń $M_{n}$ macierzy kwadratowych stopnia $n$ z działaniem zwykłego mnożenia macierzy i dowolną normą macierzową.
• Niech $E$ będzie przestrzenią Banacha oraz niech $B(E)$ oznacza algebrę wszystkich operatorów ograniczonych $T\colon E\to E$ ze składaniem jako mnożeniem. Wówczas $B(E)$ z normą operatorową

$\|T\|=\sup\{\|Tx\|\colon x\in E,\|x\|\leqslant 1\}\quad (T\in B(E))$

jest algebrą Banacha z jedynką (jedynką jest w tym wypadku operator identycznościowy). Algebra ta jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy $\dim E\leqslant 1.$

• Niech $L_{1}(\mathbb {R} )$ oznacza przestrzeń funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a na prostej z mnożeniem określonym przez splot, tj.

  $(f*g)(x)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)g(x-t)\mathrm {d} t\;(f,g\in L_{1}(\mathbb {R} )).$

Jest to przykład algebry Banacha bez jedynki, którą jednak można aproksymować w takim sensie, iż istnieje ciąg $(e_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ o wyrazach z przestrzeni $L_{1}(\mathbb {R} )$ o tej własności, że $\|e_{n}\|=1$ dla każdej liczby naturalnej $n$ oraz

$\lim _{n\to \infty }~\|e_{n}*f-f\|=\lim _{n\to \infty }~\|f*e_{n}-f\|=0$

dla każdej funkcji $f\in L_{1}(\mathbb {R} ).$ Ogólniej, dla każdej lokalnie zwartej grupy topologicznej Hausdorffa z określoną na niej miarą Haara $\mu ,$ przestrzeń $L_{1}(G)$ funkcji $\mu$-całkowalnych na $G$ z działaniem mnożenia splotowego określonego niżej jest algebrą Banacha:

$(xy)(g)=\int \limits _{G}x(h)y\left(h^{-1}g\right)\mu (\mathrm {d} h),\;x,y\in L^{1}(G).$

Algebra $L_{1}(G)$ ma jedynkę wtedy i tylko wtedy, gdy grupa $G$ jest dyskretna.

• Kwaterniony tworzą 4-wymiarową algebrę Banacha z normą daną przez ich moduł.
• Algebra Wienera.

Otwartość grupy elementów odwracalnych a ciągłość operacji brania elementu odwrotnego

Niech $A$ będzie (rzeczywistą bądź zespoloną) algebrą Banacha z jedynką 1. Zbiór $\mathrm {GL} (A)$ złożony ze wszystkich elementów odwracalnych w $A$ jest niepusty, gdyż zawiera 1 oraz jest grupą z mnożeniem dziedziczonym z $A.$ Jeżeli $a\in A$ oraz

$\delta :=\|1-a\|<1,$

to $a\in \mathrm {GL} (A).$ Ponadto

$\|a^{-1}\|\leqslant {\frac {1}{1-\|1-a\|}}$.

Dowód. Niech $M<N$ będą liczbami naturalnymi. Wówczas

${\Big \|}\sum _{k=0}^{N}(1-a)^{k}-\sum _{k=0}^{M}(1-a)^{k}{\Big |}={\Big \|}\sum _{k=M+1}^{N}(1-a)^{k}{\Big \|}\leqslant \sum _{k=M+1}^{N}\|1-a\|^{k}\leqslant {\frac {\delta ^{M}}{1-\delta }}.$

Ponieważ prawa strona powyższej nierówności jest zbieżna do 0, ciąg sum częściowych ciągu $(1-a)^{k}$ jest ciągiem Cauchy’ego, a więc jest on zbieżny do pewnego elementu $b\in A$ (z zupełności $A$), tj.

$b=\sum _{k=0}^{\infty }(1-a)^{k}.$

Ponadto

${\begin{aligned}ab&=(1-(1-a))\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }(1-a)^{k}\\&=lim_{n\to \infty }(1-(1-a))\textstyle \sum _{k=0}^{n}(1-a)^{k}\\&=\lim _{n\to \infty }(1-(1-a)^{n+1})\\&=1\end{aligned}}$

oraz

${\begin{aligned}ba&=\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }(1-a)^{k}(1-(1-a))\\&=\lim _{n\to \infty }\textstyle \sum _{k=0}^{n}(1-a)^{k}(1-(1-a))\\&=\lim _{n\to \infty }(1-(1-a)^{n+1})\\&=1,\end{aligned}}$

ponieważ $\delta <1.$ Pokazuje to, że $b=a^{-}1.$ Co więcej,

$\|b\|=\lim _{n\to \infty }{\Big \|}\sum _{k=0}^{n}(1-a)^{k}{\Big \|}\leqslant \sum _{k=0}^{n}{\big \|}(1-a){\big \|}^{k}={\frac {1}{1-\|1-a\|}}.$

Z powyższego wynika, że grupa $\mathrm {GL} (A)$ jest otwarta (w topologii pochodzącej od normy $A$).

Dowód. Niech $u\in A$ będzie elementem odwracalnym oraz niech $a\in A$ będzie dowolne. Wówczas $a=u(1-(1-u^{-1}a)).$ W przypadku gdy $\|a-u\|<\|u^{-1}\|^{-1},$ element $a$ jest również odwracalny ponieważ

$\|1-u^{-1}a\|\leqslant \|u^{-1}\|\,\|a-u\|<1,$

więc element $u^{-1}a$ (a więc i samo $a$) jest odwracalny.

Ostatecznie, funkcja

$a\mapsto a^{-1}\quad (a\in \mathrm {GL} (A))$

jest ciągła, tj. $\mathrm {GL} (A)$ jest grupą topologiczną.

Dowód. Niech $a,b\in \mathrm {GL} (A).$ Jeżeli $\|a-b\|<(2\|a^{-1}\|)^{-1},$ to $\|1-a^{-1}b\|<2^{-1}.$

Stąd

$\|b^{-1}\|\leqslant \|b^{-1}a\|\|a\|=\|(a^{-1}b)^{-1}\|\|a\|\leqslant 2\|a^{-1}\|.$

Ostatecznie

$\|a^{-1}-b^{-1}\|\leqslant \|a^{-1}(a-b)b^{-1}\|\leqslant 2\|a^{-1}\|^{2}\ \|a-b\|,$

co dowodzi ciągłości operacji brania elementu odwrotnego.

Ideały i ilorazowe algebry Banacha

Niech $A$ będzie algebrą Banacha oraz niech $I$ będzie domkniętym ideałem dwustronnym. W szczególności, $I$ jest domkniętą podprzestrzenią liniową, więc przestrzeń ilorazowa $A/I$ jest przestrzenią Banacha. Ponieważ $I$ jest ideałem dwustronnym, $A/I$ jest również algebrą. Algebra ta jest algebrą Banacha, tj. norma ilorazowa jest podmultiplikatywna.

Dowód. Niech $a,b\in A.$ Wówczas

${\begin{aligned}\|ab+I\|&=\textstyle \inf _{c\in ab+I}\|c\|\\&=\textstyle \inf _{c_{1}\in a+I,c_{2}\in b+I}\|c_{1}c_{2}\|\\&\leqslant \textstyle \inf _{c_{1}\in a+I,c_{2}\in b+I}\|c_{1}\|\cdot \|c_{2}\|\\&\leqslant \textstyle \inf _{c_{1}\in a+I}\|c_{1}\|\cdot \inf _{c_{2}\in b+I}\|c_{2}\|\\&=\|a+I\|\cdot \|b+I\|.\end{aligned}}$

Powyższa nierówność kończy dowód, ponieważ każdy element $A/I$ jest postaci $a+I$ dla pewnego $a\in A$.

Z ciągłości działań w algebrze Banacha wynika, że jeżeli $I$ jest dowolnym ideałem w $A,$ to jego domknięcie też jest ideałem w $A.$

Przykłady

• Niech $X$ będzie zwartą przestrzenią Hausdorffa. Wówczas każdy domknięty ideał $I$ w $C(X)$ jest postaci

$I=\{f\in C(X)\colon f|_{K}=0\}$

dla pewnego zwartego podzbioru $K\subseteq X.$ Algebra ilorazowa $C(X)/I$ jest wówczas izometrycznie izomorficzna jako algebra Banacha z $C_{0}(X\setminus K)$.

• Dla każdej przestrzeni Banacha $E,$ zbiór $K(E)$ złożony ze wszystkich operatorów zwartych na $E$ jest domkniętym ideałem w $B(E).$ Algebra ilorazowa $B(E)/K(E)$ bywa nazywana algebrą Calkina przestrzeni $E$ (czasami nazwa ta jest rezerwowana dla przypadku, gdy $E$ jest ośrodkową przestrzenią Hilberta).

Przemienne algebry Banacha

Podstawowym przykładem przemiennej algebry Banacha jest algebra $C_{0}(X)$ funkcji ciągłych o własnościach skalarnych na lokalnie zwartej przestrzeni Hausdorffa $X,$ które znikają w nieskończoności. Jeżeli $A$ jest przemienną algebrą Banacha, to rodzina jej maksymalnych ideałów modularnych $\Delta _{A}$ z topologią Gelfanda jest (możliwie pustą) przestrzenią lokalnie zwartą Hausdorffa. Transformata Gelfanda

$\Phi \colon A\to C_{0}(\Delta _{A})$

jest ciągłym homomorfizmem, który jest różnowartościowy i ma gęsty obraz w przypadku, gdy $A$ jest pół-prosta w sensie Jacobsona, tj. gdy niezerowe funkcjonały liniowo-multiplikatywne oddzielają punkty w $A.$

Zobacz też

• C*-algebra
• sprzężona algebra Banacha

Bibliografia

• Ronald G. Douglas: Banach Algebra Techniques in Operator Theory. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1998.
• Eberhard Kaniuth: A Course in Commutative Banach Algebras. Nowy Jork: Springer-Verlag, 2009, seria: Grad. Texts in Math., vol. 246.
• Richard V. Kadison, John. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Elementary Theory. Nowy Jork: Academic Press, 1983.

Literatura dodatkowa

• William Arveson: A Short Course on Spectral Theory. Nowy Jork: Springer-Verlag, 2001.brak strony w książce