Baza (przestrzeń liniowa)

Baza – pojęcie będące przeniesieniem oraz rozwinięciem idei układu współrzędnych kartezjańskich w przestrzeniach euklidesowych na abstrakcyjne przestrzenie liniowe.

Uwaga: Bazy w nieskończenie wymiarowych przestrzeniach nazywane są czasami bazami Hamela (jest to częsty zwyczaj w analizie funkcjonalnej). Z drugiej strony niektórzy matematycy rezerwują nazwę baza Hamela dla dowolnej bazy przestrzeni liczb rzeczywistych jako przestrzeni liniowej nad ciałem liczb wymiernych.

Definicja

Niech $V$ będzie przestrzenią wektorową. Zbiór wektorów $B\subseteq V$ nazywany jest bazą przestrzeni $V,$ gdy

• jest on liniowo niezależny,
• generuje on przestrzeń $V,$ tj. każdy wektor z przestrzeni $V$ może być zapisany jako kombinacja liniowa wektorów ze zbioru $B$.

Twierdzenie o warunkach równoważnych na bazę przestrzeni wektorowej

Niech $\mathbb {V}$ będzie przestrzenią wektorową. Niech wektory $x_{1},\dots ,x_{n}$ należą do tej przestrzeni.

Następujące warunki są równoważne:

1. $x_{1},\dots ,x_{n}$ to baza przestrzeni $\mathbb {V} ;$
2. $\forall _{y\in \mathbb {V} }\ y$ ma jednoznaczne przedstawienie jako kombinacja liniowa wektorów $x_{1},\dots ,x_{n};$
3. $x_{1},\dots ,x_{n}$ to minimalny układ wektorów generujących $\mathbb {V} ;$
4. $x_{1},\dots ,x_{n}$ to maksymalny układ liniowo niezależny.

Dowód

Aby udowodnić twierdzenie, wystarczy pokazać, że z warunku 1 wynika 2, z 2 wynika 3, z 3 wynika 4 i z 4 wynika 1.

1 ⇒ 2

Przeprowadźmy dowód nie wprost. Załóżmy prawdziwość 1 i postawmy hipotezę, że przedstawienie pewnego wektora jako kombinacji liniowej wektorów bazy nie musi być jednoznaczne. Zatem istnieje $y_{0},$ taki że:

$y_{0}=\xi _{1}x_{1}+\ldots +\xi _{n}x_{n},$

$y_{0}=\Phi _{1}x_{1}+\ldots +\Phi _{n}x_{n}.$

Zatem odejmując powyższe równania stronami i grupując współczynniki, korzystając z własności przestrzeni wektorowej, otrzymamy, że:

$0=y_{0}-y_{0}=(\xi _{1}-\Phi _{1})x_{1}+\ldots (\xi _{n}-\Phi _{n})x_{n}.$

Stąd jasno wynika, że $\xi _{1}=\Phi _{1},\dots ,\xi _{n}=\Phi _{n}$ (ponieważ układ $x_{1},\dots ,x_{n}$ jest liniowo niezależny z definicji bazy), co doprowadza do sprzeczności.

2 ⇒ 3

Przeprowadźmy dowód nie wprost. Załóżmy prawdziwość 2 i postawmy hipotezę, że istnieje mniejszy układ wektorów, który generuje przestrzeń i oznaczmy go: $x_{1},\dots ,x_{n-1}.$

Skoro jest to układ generujący całą przestrzeń, to dowolny wektor tej przestrzeni może być zapisany jako kombinacja liniowa wektorów bazy. W szczególności:

$x_{n}=\lambda _{1}x_{1}+\ldots +\lambda _{n-1}x_{n-1}+0\cdot x_{n}.$

Możemy jednak również wektor $x_{n}$ zapisać jako:

$x_{n}=0\cdot x_{1}+\ldots +0\cdot x_{n-1}+1\cdot x_{n}.$

Zauważmy jednak, że $0\neq 1.$ Zatem wektor $x_{n}$ został przedstawiony na 2 sposoby jako kombinacja wektorów $x_{1},\dots ,x_{n},$ co stoi w sprzeczności z jednoznacznością przedstawienia wektora $x_{n}.$

3 ⇒ 4

Przeprowadźmy dowód nie wprost. Załóżmy prawdziwość 3 i postawmy hipotezę, że układ $x_{1},\dots ,x_{n}$ jest liniowo zależny.

Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że $x_{1}=\beta _{2}x_{2}+\ldots +\beta _{n}x_{n}.$

Weźmy dowolny wektor $y\in \mathbb {V} .$ Wtedy:

$y=\alpha _{1}x_{1}+\ldots +\alpha _{n}x_{n}=\alpha _{1}(\beta _{2}x_{2}+\ldots +\beta _{n}x_{n})+\alpha _{2}x_{2}+\ldots +\alpha _{n}x_{n}=(\alpha _{1}\beta _{2}+\alpha _{2})x_{2}+\ldots +(\alpha _{1}\beta _{n}+\alpha _{n})x_{n}.$

Zatem otrzymaliśmy mniejszy układ generujący od $x_{1},\dots ,x_{n}$ co jest sprzeczne z 3. Stąd wynika, że minimalny układ generujący przestrzeń jest liniowo niezależny. Trzeba jeszcze wykazać jego maksymalność.

Przeprowadźmy dowód nie wprost. Postawmy hipotezę, że istnieje większy układ liniowo niezależny. Ustalmy, że układ $v,x_{1},\dots ,x_{n}$ jest liniowo niezależny. Ponieważ układ $x_{1},\dots ,x_{n}$ generuje całą przestrzeń $\mathbb {V}$ oraz $v\in \mathbb {V} ,$ to:

$v=\zeta _{1}x_{1}+\ldots +\zeta _{n}x_{n}.$

Stąd wynika, że:

$1\cdot v-\zeta _{1}x_{1}-\ldots -\zeta _{n}x_{n}=0,$

a to jest sprzeczne z liniową niezależnością układu $v,x_{1},\dots ,x_{n}.$

4 ⇒ 1

Przeprowadźmy dowód nie wprost. Załóżmy prawdziwość 4 i postawmy hipotezę, że układ $x_{1},\dots ,x_{n}$ nie generuje przestrzeni wektorowej $\mathbb {V} .$

Zatem istnieje taki wektor $v,$ który nie jest kombinacją liniową wektorów wspomnianego układu.

Rozważmy przypadek:

$\varsigma v+\varsigma _{1}x_{1}+\ldots +\varsigma _{n}x_{n}=0.$

Gdyby $\varsigma \neq 0,$ to $v$ byłby kombinacją liniową pozostałych wektorów, co jest sprzecznością z hipotezą.

Gdyby $\varsigma =0,$ to równanie uprościłoby się do postaci

$\varsigma _{1}x_{1}+\ldots +\varsigma _{n}x_{n}=0,$

co z liniowej niezależności wektorów $x_{1},\dots ,x_{n},$ spowoduje, że $\varsigma _{1}=0,\dots ,\varsigma _{n}=0,$ a ponieważ $\varsigma =0,$ to układ $v,x_{1},\dots ,x_{n}$ byłby liniowo niezależny, co jest sprzeczne z 4.

Definicja ogólna

Baza przestrzeni $\mathbb {V}$ to maksymalny, liniowo niezależny, podzbiór wektorów tej przestrzeni, tzn. jeśli nie można do niego dołączyć żadnego wektora przestrzeni $\mathbb {V}$ w taki sposób, aby otrzymany zbiór był liniowo niezależny.

Przykłady

• Zbiór pusty jest bazą jednoelementowej przestrzeni {0}.
• Dany jest zbiór $A=\{(0,1),(1,1),(1,0)\}$ wektorów w przestrzeni euklidesowej $\mathbf {R} ^{2}.$ Wektor $(1,1)$ można przedstawić jako:

$(1,1)=1\cdot (1,0)+1\cdot (0,1).$

Wynika stąd, że $A$ nie jest bazą przestrzeni $\mathbf {R} ^{2}.$

Z drugiej strony, niech $B=\{(1,1),(1,0)\}$ i niech $(x,y)$ będzie dowolnym wektorem $\mathbf {R} ^{2}.$ Szukając przedstawienia wektora $(x,y)$ jako kombinacji liniowej wektorów zbioru $B,$ mamy:

$(x,y)=\alpha \cdot (1,1)+\beta \cdot (1,0)=(\alpha +\beta ,\alpha )$ skąd $\alpha =y$ i $\beta =x-y.$

Zatem przedstawienie wektora $(x,y)$ jako kombinacji liniowej elementów zbioru $B$ jest jednoznaczne, co oznacza, że zbiór $B$ jest bazą przestrzeni $\mathbf {R} ^{2}.$

• Niech $c_{00}$ oznacza przestrzeń liniową złożoną ze wszystkich ciągów o wyrazach rzeczywistych, których co najwyżej skończenie wiele wyrazów jest niezerowych. Wówczas zbiór $B=\{e_{1},e_{2},e_{3},\dots \}$ jest bazą przestrzeni $c_{00},$ przy czym $e_{n}$ jest wektorem, który na $n$-tej współrzędnej przyjmuje wartość 1 oraz 0 na pozostałych.

Współrzędne wektora w bazie. Funkcjonały stowarzyszone z bazą

Niech $B$ będzie bazą przestrzeni liniowej $V.$ Ponieważ każdy element $v\in V$ może być przedstawiony jednoznacznie w postaci kombinacji liniowej elementów bazy $B,$

$v=f_{1}(x_{1})x_{1}+\ldots +f_{n}(x_{n})x_{n},$

gdzie:

$f_{1}(x_{1}),\dots ,f_{n}(x_{n})\in F$ oraz $x_{1},\dots ,x_{n}\in B,$ więc dla każdego $x\in B$ odwzorowanie $f_{x}\colon V\to F$

$f_{x}(v)$ – współczynnik stojący przy $x$ w zapisie $v$ jako kombinacji liniowej elementów z $B$

jest liniowe (formalnie, $f_{x}(v)=0,$ gdy $x$ nie pojawia się w zapisie). W szczególności, odwzorowania $f_{x}(x\in B)$ są elementami przestrzeni sprzężonej $V^{*}$ i nazywane są funkcjonałami stowarzyszonymi z bazą $B.$ Funkcjonały te tworzą bazą przestrzeni $V^{*}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $V$ jest skończeniewymiarowa, tj. wtedy i tylko wtedy, gdy $B$ jest zbiorem skończonym.

Przykład

Współrzędnymi wektora $v=(-3,4)$ w bazie $B=\{(1,1),(1,0)\}$ przestrzeni $V=\mathbf {R} ^{2}$ są liczby $f_{(1,1)}(v)=4$ oraz $f_{(1,0)}(v)=-7.$

Ciągłość funkcjonałów stowarzyszonych z bazą w przestrzeniach Banacha

Niech $V$ będzie przestrzenią Banacha oraz niech $B$ będzie jej bazą (Hamela). W przypadku, gdy $V$ jest skończeniewymiarowa, to funkcjonały stowarzyszone z bazą $B$ są ciągłe i tworzą bazę przestrzeni $V^{*}.$ Gdy $V$ jest nieskończeniewymiarowa, to sytuacja zmienia się diametralnie i zachodzi następujące twierdzenie: co najwyżej skończenie wiele spośród funkcjonałów stowarzyszonych z $B$ jest ciągłych.

Dowód. Niech $B$ będzie bazą nieskończeniewymiarowej przestrzeni Banacha $V.$ Wówczas zbiór $B_{0}=\{x\cdot ||x||^{-}1:x\in B\}$ też jest bazą oraz funkcjonały stowarzyszone z bazami $B_{0}$ i $B$ różnią się odpowiednio między sobą tylko o stałą – bez straty ogólności można więc założyć, że każdy wektor z $B$ ma normę równą 1. Załóżmy nie wprost, że funkcjonały $f_{x_{n}}$ są ciągłe dla pewnego różnowartościowego ciągu $(x_{n})$ z $B.$ Z zupełności przestrzeni $V$ wynika, że suma szeregu

$v=\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}2^{-k}$

należy do $V.$ Niech $(y_{n})$ będzie ciągiem sum częściowych szeregu $v,$ tj.

$y_{n}=\sum _{k=1}^{n}x_{k}2^{-k}\;\;(n\in \mathbb {N} ).$

Z ciągłości $f_{x_{n}}$ wynika, że

$f_{x_{n}}(v)=f_{x_{n}}(\lim _{n\to \infty }y_{n})=\lim _{n\to \infty }f_{x_{n}}(y_{n})=2^{-n}\;\;(n\in \mathbb {N} )$

co prowadzi do sprzeczności bo $v$ ma tylko skończenie wiele niezerowych współczynników w bazie $V,$ tj. zbiór $\{f_{x}(v)\colon x\in B\}$ jest skończony. □

Istnienie bazy

Każda przestrzeń liniowa ma bazę. Dowód tego faktu przebiega różnie w zależności od tego, czy w danej przestrzeni istnieje skończony zbiór generujący tę przestrzeń, czy nie. W tym drugim przypadku należy odwołać się do lematu Kuratowskiego-Zorna. Dowód istnienia bazy nie jest konstruktywny, tzn. nie daje żadnego algorytmu na otrzymanie wektorów tworzących bazę.

Każdy zbiór liniowo niezależnych wektorów można uzupełnić tak, by otrzymać bazę przestrzeni (twierdzenie Steinitza). Na odwrót, z każdego zbioru wektorów generującego przestrzeń, można wybrać podzbiór, który jest jej bazą.

Andreas Blass udowodnił w 1984, że powyższe twierdzenie (każda przestrzeń liniowa ma bazę) jest równoważne z aksjomatem wyboru.

Dowód istnienia bazy

Nietrudno zauważyć, że liniowo niezależny zbiór $A$ jest bazą przestrzeni $V$ wtedy i tylko wtedy, gdy dodanie do zbioru $A$ dowolnego nowego elementu powoduje utratę liniowej niezależności. A zatem baza to element maksymalny rodziny

$Z=\{A\subseteq V\ |\ A\ {\text{jest liniowo niezależny}}\}$

uporządkowanej przez inkluzję. Użyjemy więc Lematu Kuratowskiego-Zorna, aby wykazać istnienie elementu maksymalnego zbioru $Z.$ W tym celu wystarczy stwierdzić, że każdy łańcuch jest w $Z$ ograniczony z góry. Niech więc $L$ będzie łańcuchem w $Z$ i niech $B=\bigcup L.$ Pokażemy, że zbiór $B$ jest liniowo niezależny.

Istotnie, przypuśćmy, że $k_{1}v_{1}+\ldots +k_{n}v_{n}=0,$ gdzie $v_{1},\dots ,v_{n}\in B.$ Skoro wektory $v_{1},\dots ,v_{n}$ należą do łańcucha $L,$ to każdy z nich należy do pewnego składnika. Stąd wynika, że $v_{1}\in A_{1},\dots ,v_{n}\in A_{n}$ dla pewnych $A_{1},\dots ,A_{n}\in L.$ Rodzina zbiorów $\{A_{1},\dots ,A_{n}\}$ jest skończona i liniowo uporządkowana przez inkluzję, ma więc element największy. To znaczy, że dla pewnego $i$ mamy $v_{1},\dots ,v_{n}\in A_{i},$ a przecież zbiór $A_{i}$ jest liniowo niezależny. Stąd kombinacja liniowa $k_{1}v_{1}+\ldots +k_{n}v_{n}=0$ musi być trywialna i mamy $k_{1}=\ldots =k_{n}=0.$

Ponieważ $B$ jest liniowo niezależny, więc $B\in Z,$ a przy tym oczywiście $B$ zawiera wszystkie elementy $L,$ jest więc ograniczeniem górnym naszego łańcucha w zbiorze $Z.$ Spełnione jest więc założenie Lematu Kuratowskiego-Zorna i musi istnieć element maksymalny.

Wymiar przestrzeni liniowej

H. Löwig jako pierwszy udowodnił, że wszystkie bazy danej przestrzeni liniowej są równoliczne (krótszy dowód został podany przez H.E. Laceya). Fakt ten pozwala określić wymiar przestrzeni liniowej jako moc jej dowolnej bazy. Tak określony wymiar przestrzeni liniowej nazywa się często wymiarem Hamela, w odróżnieniu od innych pojęć wymiaru stosowanych w matematyce.

Przestrzeń, która ma bazę skończoną nazywana jest przestrzenią skończeniewymiarową, w przeciwnym wypadku mówimy o przestrzeni nieskończenie wymiarowej. Nieskończenie wymiarowe przestrzenie Banacha mają wymiar Hamela co najmniej continuum

Przestrzenie euklidesowe

Dowolna przestrzeń kartezjańska jest z określenia skończenie wymiarowa. Jej baza złożona z wektorów $(1,0,0,\dots ,0),(0,1,0,\dots ,0),\dots ,(0,0,0,\dots ,1)$ nazywana jest bazą kanoniczną lub standardową. Układ współrzędnych dowolnego wektora $v=(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})$ w bazie kanonicznej pokrywa się z jego współrzędnymi w sensie przestrzeni euklidesowej.

Orientacja bazy

Dwie bazy uporządkowane w rzeczywistej przestrzeni liniowej są nazywane zgodnie zorientowanymi, jeśli macierz przejścia między od jednej bazy do drugiej ma dodatni wyznacznik. Bazy które nie są zgodnie zorientowane, nazywane są bazami o przeciwnej orientacji.

Zobacz też

• baza przestrzeni topologicznej