Ciąg Fareya

Ciąg ułamków Fareya rzędu $n$ – rosnący ciąg ${\mathcal {F}}_{n}$ wszystkich nieskracalnych ułamków ${\frac {h}{k}}$ takich, że $1\leqslant k\leqslant n\wedge 0\leqslant h\leqslant k$.

Przykład

${\mathcal {F}}_{5}=\left({\frac {0}{1}},{\frac {1}{5}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}},{\frac {2}{5}},{\frac {1}{2}},{\frac {3}{5}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {4}{5}},{\frac {1}{1}}\right)$.

Własności

• Twierdzenie Cauchy’ego-Fareya.
• Dla $N\geqslant 1$ nie ma dwóch kolejnych ułamków o tym samym mianowniku.
• Jeśli ${\frac {h_{1}}{k_{1}}},{\frac {h_{2}}{k_{2}}},{\frac {h_{3}}{k_{3}}}$ są kolejnymi ułamkami ciągu ułamków Fareya ${\mathcal {F}}_{n},$ to ${\frac {h_{2}}{k_{2}}}={\frac {h_{1}+h_{3}}{k_{1}+k_{3}}}$.
• Jeśli ${\frac {h_{1}}{k_{1}}},{\frac {h_{2}}{k_{2}}}$ są kolejnymi ułamkami ciągu ułamków Fareya ${\mathcal {F}}_{n},$ to $k_{1}+k_{2}\geqslant n+1$.

Przykład zastosowania

Znaleźć liczby $m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d$ najbliższe ${\sqrt {\frac {1}{2}}},$ których mianowniki są mniejsze od 50.

Mamy:

${\frac {0}{1}}<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<{\frac {1}{1}},$

czyli

${\frac {0}{1}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {1}{1}},$

zachodzi nierówność:

${\frac {0+1}{1+1}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}},$

więc:

${\frac {1}{2}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {1}{1}}.$

Zauważamy, że skrajne wartości są najlepszymi oszacowaniami spośród liczb o mianowniku nie większym niż 2.

Stwierdzamy, że ${\frac {1+1}{2+1}}={\frac {2}{3}}<{\sqrt {\frac {1}{2}}},$

czyli:

${\frac {1}{2}}<{\frac {2}{3}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {1}{1}},$

a zatem:

${\frac {2}{3}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {1}{1}}.$

W kolejnych krokach dostajemy:

${\frac {2}{3}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {3}{4}}$

${\frac {2}{3}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {5}{7}}$

${\frac {7}{10}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {5}{7}}$

${\frac {12}{17}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {5}{7}}$

${\frac {12}{17}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {17}{24}}$

${\frac {12}{17}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {29}{41}}$

Liczby ${\frac {12}{17}}$ oraz ${\frac {29}{41}}$ są kolejnymi liczbami w pięćdziesiątym ciągu Fareya, więc nie ma pomiędzy nimi liczby o mianowniku mniejszym niż 58, czyli są to poszukiwane liczby.

Zobacz też

• drzewo Sterna-Brocota

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Farey Sequence, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).