Element regularny półgrupy

Element regularny półgrupy – element półgrupy $(S,\cdot ),$ mający uogólnioną odwrotność, tj. taki element $x\in S,$ że dla pewnego $y\in S$ zachodzi warunek

$xyx=x.$

Jeżeli $x$ jest elementem regularnym $S,$ czyli $xyx=x$ dla pewnego $y\in S,$ to $yxy$ jest elementem odwrotnym do $x.$

Podzbiór półgrupy nazywany jest podzbiorem regularnym, gdy każdy jego element jest regularny. Półgrupa regularna to taka, która jest swoim podzbiorem regularnym.

${\mathcal {D}}$-klasy regularne

Regularność jest cechą ${\mathcal {D}}$-klas półgrupy (zob. relacje Greena), co pokazuje następujące twierdzenie.

Twierdzenie. Jeżeli pewna ${\mathcal {D}}$-klasa $\mathrm {D}$ półgrupy $S$ zawiera element regularny, to każdy element $\mathrm {D}$ jest regularny.

Ważna jest też następująca charakteryzacja ${\mathcal {D}}$-klas regularnych:

Twierdzenie. Niech $\mathrm {D} \in S/{\mathcal {D}}.$ $\mathrm {D}$ jest reglarna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych $\mathrm {L} \in S/{\mathcal {L}}$ i $\mathrm {R} \in S/{\mathcal {R}}$ takich, że $\mathrm {L} \subseteq \mathrm {D}$ i $\mathrm {R} \subseteq \mathrm {D}$ zarówno $\mathrm {L} ,$ jak i $\mathrm {R}$ zawiera przynajmniej jeden idempotent.

Bibliografia

• E.S. Ljapin, Semigroups, Translations of Mathematical Monographs, vol. 3, American Mathematical Society, 1963.