Gaz Fermiego

Gaz Fermiego (gaz elektronowy Fermiego, gaz fermionów) – model opisujący idealny gaz kwantowy nieoddziałujących fermionów. Jest kwantowomechanicznym odpowiednikiem klasycznego gazu doskonałego dla cząstek podlegających statystyce Fermiego-Diraca. Zachowanie elektronów w metalach i półprzewodnikach, neutronów w gwiazdach neutronowych może być z pewnym przybliżeniem w niektórych sytuacjach opisywane przez idealny gaz Fermiego.

Opis matematyczny

Cząsteczki gazu są w takiej sytuacji opisywane przez statystykę Fermiego-Diraca. Najprostszy hamiltonian dla takich nieoddziałujących fermionów w przestrzeni Foka można zapisać, wykorzystując operatory kreacji i anihilacji:

${\hat {H}}=\sum _{n}\epsilon _{n}a_{n}^{\dagger }a_{n}=\sum _{n}(E_{n}+\mu )a_{n}^{\dagger }a_{n},$

gdzie:

$E_{n}$ – energia $n$-tego stanu,

$\mu$ – potencjał chemiczny.

Energia wewnętrzna gazu Fermiego

Do dalszych obliczeń przyjmiemy $\mu =0.$

Średnia liczba fermionów w gazie Fermiego:

$N=\int \limits _{0}^{\infty }dE\rho (E){\frac {1}{\exp(\beta E)+1}},$

gdzie:

$\rho (E)={\frac {2\pi V(2m)^{\frac {3}{2}}}{h^{3}}}{\sqrt {E}}$ – gęstość stanów,

$m$ – masa fermionów,

$h$ – stała Plancka,

$V$ – objętość, w której znajdują się fermiony,

${\frac {1}{\exp(\beta E)+1}}$ – rozkład Fermiego-Diraca,

$\beta ={\frac {1}{k_{B}T}}$ – czynnik Boltzmanna,

$N={\frac {2\pi V(2m)^{\frac {3}{2}}}{h^{3}}}\int \limits _{0}^{\infty }dE{\sqrt {E}}{\frac {1}{\exp(\beta E)+1}}.$

Stosując proste podstawienie otrzymujemy:

$N={\frac {2\pi V(2m)^{\frac {3}{2}}}{h^{3}}}\beta ^{-{\frac {3}{2}}}\int \limits _{0}^{\infty }dx{\frac {x^{\frac {1}{2}}}{\exp(x)+1}}.$

Wartością powyższej całki jest funkcja eta Dirichleta od 3/2 razy gamma Eulera od 3/2 $\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)\eta \left({\frac {3}{2}}\right).$ Ostatecznie otrzymujemy:

$N={\frac {2\pi V(2m)^{\frac {3}{2}}}{h^{3}}}(k_{B}T)^{\frac {3}{2}}\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)\eta \left({\frac {3}{2}}\right).$

Prowadząc analogiczne rozumowanie dla średniej wartości energii gazu Fermiego:

$U={\frac {2\pi V(2m)^{\frac {3}{2}}}{h^{3}}}\int \limits _{0}^{\infty }dE{\frac {E^{\frac {3}{2}}}{\exp(\beta E)+1}},$

otrzymujemy:

$U={\frac {2\pi V(2m)^{\frac {3}{2}}}{h^{3}}}(k_{B}T)^{\frac {5}{2}}\Gamma \left({\frac {5}{2}}\right)\eta \left({\frac {5}{2}}\right).$

Podstawiając do powyższego równania wartość N, otrzymujemy:

$U={\frac {5}{2}}{\frac {\eta \left({\frac {5}{2}}\right)}{\eta \left({\frac {3}{2}}\right)}}Nk_{B}T\propto Nk_{B}T.$

Czyli podobnie jak dla gazu klasycznego energia wewnętrzna jest wprost proporcjonalna do temperatury.

Ciśnienie gazu Fermiego

Ciśnienie możemy zdefiniować jako pochodną energii po objętości gazu, otrzymujemy stąd:

$p={\frac {\partial U}{\partial V}}={\frac {5}{2}}{\frac {\eta \left({\frac {5}{2}}\right)}{\eta \left({\frac {3}{2}}\right)}}{\frac {\partial N}{\partial V}}k_{B}T.$

Ponieważ liczba cząstek jest liniową funkcją objętości otrzymujemy

${\frac {\partial N}{\partial V}}={\frac {N}{V}}=n,$

gdzie:

$n$ – liczba cząstek w danej objętości, nazywana koncentracją cząstek. Stąd

$p={\frac {5}{2}}{\frac {\eta \left({\frac {5}{2}}\right)}{\eta \left({\frac {3}{2}}\right)}}nk_{B}T\propto nk_{B}T.$

Zobacz też

• ciecz Fermiego
• kondensat Bosego-Einsteina
• kondensat fermionów
• materia zdegenerowana