Granica funkcji

Granica funkcji – wartość, do której obrazy danej funkcji zbliżają się nieograniczenie dla argumentów dostatecznie bliskich wybranemu punktowi. Funkcjonują dwie równoważne definicje podane przez Augustina Louisa Cauchy’ego oraz Heinricha Eduarda Heinego.

$n$	$n\sin(1/n)$
1	0,841471
2	0,958851
...
10	0,998334
...
100	0,999983

Dodatnia liczba całkowita $n$ staje się coraz większa, wartość $n\cdot \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)$ staje się coraz bliższa $1.$ Mówimy, że granica $n\cdot \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)$ jest równa $1.$

Historia

Pojęcie to znane było intuicyjnie już w starożytności. Stosowano je wówczas do obliczania pól figur geometrycznych za pomocą tzw. metody wyczerpywania, która polegała na wpisywaniu w daną figurę geometryczną ciągu figur o znanych polach (pomysł wykorzystywany jest do dzisiaj w nieco zmodyfikowanej formie jako całka oznaczona, np. Lebesgue’a). Łaciński termin oznaczający granicę, „limes”, pojawił się w XVII wieku w pracach Newtona oraz Leibniza w związku z próbami uściślenia tego pojęcia oraz użycia go w ich wersjach rachunku różniczkowego i całkowego. Oboje tłumaczyli istnienie granic w różny sposób, Newton porównywał je do ciągłego ruchu, że w każdym konkretnym punkcje czasu istnieje jakiś prędkość. Leibniz natomiast tłumaczył granicę na przykładzie krzywych eliptycznych, gdzie parabola dąży do elipsy i może być nieskończenie blisko elipsy, ale nie być jeszcze elipsą.

Współczesna definicja granicy funkcji powstała w XIX wieku wraz z rozwojem analizy matematycznej. Pierwszą ścisłą definicję granicy funkcji, sformułowaną za pomocą pojęć arytmetycznych, podał Cauchy, a współczesne brzmienie nadał jej Weierstrass.

Granica w punkcie

Funkcja $f\colon A\to \mathbb {R}$ określona na zbiorze $A\subseteq \mathbb {R}$ ma w punkcie skupienia $x_{0}$ tego zbioru granicę równą $g,$ jeżeli spełniony jest jeden z równoważnych warunków

1. definicja Heinego:

dla każdego ciągu $(x_{n})$ takiego, że dla dowolnego $n\in \mathbb {N} ,x_{n}\in A,\ x_{n}\neq x_{0}$ oraz $x_{n}$dąży do $x_{0},$ ciąg wartości funkcji $(f(x_{n}))$ dąży do $g$ gdy $n\to \infty$;

2. definicja Cauchy’ego:

$\forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{x\in A}\;(0<|x-x_{0}|<\delta \implies |f(x)-g|<\varepsilon ),$

co czytamy następująco: dla każdej liczby $\varepsilon >0$ istnieje liczba $\delta >0$ taka, że dla każdego $x\in A$ z nierówności $0<|x-x_{0}|<\delta$ wynika nierówność $|f(x)-g|<\varepsilon .$

3. definicja przez ciągłość: $g$ jest taką wartością, którą należy nadać funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ by była w tym punkcie ciągła:

$h(x)=\left\{{f(x){\text{ dla }}x\neq x_{0} \atop g{\text{ dla }}x=x_{0}}\right.$ jest ciągła w $x_{0}.$ (Ta definicja stosuje się do wszystkich funkcji, nie tylko liczbowo-liczbowych.) Aby móc stosować tę definicję gdy $x_{0}$ lub $g$ są równe $+\infty$ lub $-\infty$ wystarczy rozważać rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych z odpowiednimi otoczeniami $+\infty$ i $-\infty .$

Warunek $0<|x-x_{0}|$ w definicji Cauchy’ego oznacza, że nie wymagamy $|f(x_{0})-g|<\varepsilon .$ W definicji przez ciągłość nie musimy wykluczać tego wymagania dla funkcji $h,$ bo sprowadza się ono do warunku $|g-g|<\varepsilon ,$ który jest oczywiście spełniony, bo $\varepsilon >0.$

Jeżeli istnieje granica funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ i jest równa $g,$ to piszemy

$f(x)\to g$ $(x\to x_{0})$

i czytamy „$f(x)$ dąży do $g,$ gdy $x$ dąży do $x_{0}$”

lub równoważnie

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=g,$

co czytamy: „limes $f(x)$ przy $x$ dążącym do $x_{0}$ równa się $g$”.

$x\to x_{0}^{+}\neq x\to x_{0}^{-}.$ Dlatego granica jako $x\to x_{0}$ nie istnieje.

Przykłady

Nie istnieje granica

$\lim _{x\to 0}~{\frac {1}{x}}$

(żadna liczba, nawet 0, nie spełnia defnicji granicy). Natomiast istnieją obie granice jednostronne:

$\lim _{x\to 0^{+}}~{\frac {1}{x}}=+\infty$

$\lim _{x\to 0^{-}}~{\frac {1}{x}}=-\infty$

Nie istnieje granica

$\lim _{x\to 0}~\sin {\frac {1}{x}}$

(żadna liczba, nawet 0, nie spełnia definicji granicy). Nie istnieją też granice jednostronne.

Istnieje granica $\lim _{x\to \infty }~{\frac {1}{x}}$ i jest równa 0.

Istnieje granica $\lim _{x\to 0}~x\cdot \sin {\frac {1}{x}}$ i jest równa 0.

Granica jednostronna

Granica jednostronna jest wspólną nazwą dla granicy lewostronnej i prawostronnej. Wyżej rozważaną granicę nazywa się czasami (w opozycji do ukazanej w tej sekcji) obustronną. Jeżeli granice lewo- i prawostronna istnieją i są sobie równe, to są one granicą obustronną; twierdzenie odwrotne też jest prawdziwe: jeżeli istnieje granica obustronna to obie granice jednostronne istnieją i są jej równe (o ile punkt, w którym obliczamy granice jest odpowiednio lewostronnym lub prawostronnym punktem skupienia dziedziny funkcji).

Liczba $g$ jest granicą lewostronną (odpowiednio: prawostronną) funkcji $f$ w lewostronnym (odpowiednio: prawostronnym) punkcie skupienia $x_{0}$ dziedziny, co zapisuje się

$f(x)\to g$ przy $x\to x_{0}^{-}$ (odpowiednio: $f(x)\to g$ przy $x\to x_{0}^{+}$)

lub

$\lim _{x\to x_{0}^{-}}~f(x)=g$ (odpowiednio: $\lim _{x\to x_{0}^{+}}~f(x)=g$),

gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji:

definicja Heinego

dla każdego ciągu $(x_{n})$ takiego, że dla dowolnego $n\in \mathbb {N} \ x_{n}\in A,\ x_{n}<x_{0}$ (odpowiednio: $x_{n}>x_{0}$)   oraz $\lim _{n\to \infty }~x_{n}=x_{0},$
ciąg wartości funkcji $(f(x_{n}))$ dąży do $g$ przy $n\to \infty ;$

definicja Cauchy’ego

$\forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{x\in A}\;(x_{0}-\delta <x<x_{0}\implies |f(x)-g|<\varepsilon )$ (odpowiednio: $\forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{x\in A}\;(x_{0}<x<x_{0}+\delta \implies |f(x)-g|<\varepsilon )$).

Granica niewłaściwa

Funkcja $f$ ma w punkcie $x_{0}$ granicę niewłaściwą $+\infty ,$ co zapisuje się

$f(x)\to +\infty$ przy $x\to x_{0}$

lub

$\lim _{x\to x_{0}}~f(x)=+\infty ,$

gdy spełnione są warunki, określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji:

definicja Heinego

dla każdego ciągu $(x_{n})$ takiego, że $x_{n}\in A,x_{n}\neq x_{0}$ oraz $\lim _{n\to \infty }~x_{n}=x_{0}$ ciąg wartości funkcji $(f(x_{n}))$ dąży do $+\infty$ przy $n\to +\infty ;$

definicja Cauchy’ego

$\forall _{M>0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{x\in A}\;(0<|x-x_{0}|<\delta \implies f(x)>M).$

Analogicznie definiuje się i oznacza się granicę niewłaściwą $-\infty {:}$ trzeba tylko wszędzie zamienić $+\infty$ na $-\infty ,$ a definicję Cauchy’ego zapisać tak:

$\forall _{M>0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{x\in A}\;(0<|x-x_{0}|<\delta \implies f(x)<-M).$

Analogicznie określa się niewłaściwe granice lewo- i prawostronną: trzeba w sposób naturalny skombinować informację z tej i poprzedniej podsekcji.

Granica w nieskończoności

Granica tej funkcji w nieskończoności istnieje

Funkcja $f$ określona dla wszystkich $x>a$ (odpowiednio: $x<a$) ma granicę $g$ w plus (odpowiednio: minus) nieskończoności, co zapisuje się

$f(x)\to g$ przy $x\to +\infty$ (odpowiednio: $x\to -\infty$)

lub

$\lim _{x\to +\infty }~f(x)=g$ (odpowiednio: $\lim _{x\to -\infty }~f(x)=g$),

gdy spełnione są warunki, określone w jakiejkolwiek z następujących dwóch równoważnych definicji:

definicja Heinego

dla każdego ciągu $(x_{n})$ takiego, że dla każdego $n\in \mathbb {N} \ x_{n}>a$ oraz $x_{n}\to +\infty$ (odpowiednio: dla każdego $n\in \mathbb {N} \ x_{n}<a$ oraz $x_{n}\to -\infty$),
ciąg wartości funkcji $f(x_{n})$ dąży do $g$ przy $n\to \infty ;$

definicja Cauchy’ego

Asymptota pozioma $y=4$

$\forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\alpha \in \mathbb {R} }\;\forall _{x>\alpha }\;|f(x)-g|<\varepsilon$ (odpowiednio $\forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\alpha \in \mathbb {R} }\;\forall _{x<\alpha }\;|f(x)-g|<\varepsilon$).

Granica niewłaściwa w nieskończoności

Funkcja $f$ określona na przedziale $(a,+\infty )$ ma w nieskończoności granicę niewłaściwą $+\infty ,$ co zapisuje się

$f(x)\to +\infty$ przy $x\to +\infty$

lub

$\lim _{x\to +\infty }~f(x)=+\infty ,$

gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwóch równoważnych definicji:

definicja Heinego

dla każdego ciągu $(x_{n})$ takiego, że dla każdego $n\in \mathbb {N} \ x_{n}>a$ oraz $x_{n}\to +\infty ,$ ciąg wartości funkcji $f(x_{n})$ dąży do $+\infty$ przy $n\to \infty ;$

definicja Cauchy’ego

$\forall _{M>0}\;\exists _{\alpha \in \mathbb {R} }\;\forall _{x>\alpha }\;f(x)>M.$

Analogicznie definiuje się:

• granicę niewłaściwą $-\infty$ funkcji w $+\infty ,$
• granicę niewłaściwą $+\infty$ funkcji w $-\infty ,$
• granicę niewłaściwą $-\infty$ funkcji w $-\infty .$

Własności

• Jeśli funkcje $f$ i $g,$ określone na zbiorze $A\subseteq \mathbb {R} ,$ mają granice właściwe $\lim _{x\to x_{0}}~f(x)=a$ i $\lim _{x\to x_{0}}~g(x)=b,$ to:
  • $\lim _{x\to x_{0}}~(f(x)\pm g(x))=a\pm b,$
  • $\lim _{x\to x_{0}}~(f(x)\cdot g(x))=a\cdot b,$
  • $\lim _{x\to x_{0}}~{\tfrac {f(x)}{g(x)}}={\tfrac {a}{b}},$ gdy $g(x)\neq 0$ oraz $b\neq 0.$

Uwaga: twierdzenie to jest prawdziwe również dla granic w nieskończoności.

• • Należy pamiętać, że twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, np. to, że $\lim _{x\to \infty }~{\tfrac {\sin x}{x}}=0,$ nie oznacza, że istnieją granice $\lim _{x\to \infty }~\sin x$ czy $\lim _{x\to \infty }~{\tfrac {1}{x}}.$ W podanym przykładzie granica $\lim _{x\to \infty }~\sin x$ nie istnieje, natomiast $\lim _{x\to \infty }~{\tfrac {1}{x}}=0.$
• Twierdzenie o granicy funkcji złożonej.

Jeśli funkcja $f\colon A\to \mathbb {R}$ ma w punkcie $x_{0}$ granicę $\lim _{x\to x_{0}}~f(x)=y_{0},$ funkcja $g\colon B\to \mathbb {R}$ ma w punkcie $y_{0}$ granicę $\lim _{y\to y_{0}}~g(y)=z_{0},$ przy czym $x_{0}$ i $y_{0}$ są odpowiednio punktami skupienia zbiorów $A\cap f^{-1}(B)$ oraz $B,$ przy czym $f(x)\neq y_{0}$ dla każdego $x$ z pewnego sąsiedztwa punktu $x_{0},$ to $\lim _{x\to x_{0}}~(g\circ f)(x)=\lim _{y\to y_{0}}~g(y)=z_{0}.$

Wymienione niżej własności są prawdziwe także w przypadku granic jednostronnych i w nieskończoności:

• $\lim _{x\to x_{0}}~f(x)=\pm \infty \implies \lim _{x\to x_{0}}~{\tfrac {1}{f(x)}}=0,$
• $\lim _{x\to x_{0}}~f(x)=0$ oraz $f(x)>0\;{\big (}f(x)<0{\big )}$ w pewnym sąsiedztwie $x_{0}\implies \lim _{x\to x_{0}}~{\tfrac {1}{f(x)}}=\pm \infty ,$
• $\lim _{x\to x_{0}}~f(x)=\pm \infty$ oraz $c>0\implies \lim _{x\to x_{0}}~cf(x)=\pm \infty ,$
• $\lim _{x\to x_{0}}~f(x)=\pm \infty$ oraz $c<0\implies \lim _{x\to x_{0}}cf(x)=\mp \infty ,$
• $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\pm \infty$ oraz $0<a\leqslant h(x)$ w pewnym sąsiedztwie $x_{0}\implies \lim _{x\to x_{0}}~f(x)\cdot h(x)=\pm \infty ,$
• $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\pm \infty$ oraz $h(x)\leqslant a<0$ w pewnym sąsiedztwie $x_{0}\implies \lim _{x\to x_{0}}~f(x)\cdot h(x)=\mp \infty .$

Zobacz też

• granica ciągu
• granice dolna i górna
• reguła de l’Hospitala
• twierdzenie o trzech ciągach (funkcjach)

Bibliografia

• Encyklopedia szkolna – matematyka. Warszawa: WSiP, 1996. ISBN 83-02-02551-8.brak strony w książce
• Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.