Grupa Lorentza

Grupa Lorentza – grupa transformacji układu współrzędnych 4-wymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego, takich że interwały czasoprzestrzenne nie ulegają zmianie, przy czym początek układu współrzędnych pozostaje bez zmian.

Transformacje Lorentza są więc izometriami w 4-wymiarowej przestrzeni, która jest przestrzenią pseudoeuklidesową, oraz stanowi podgrupę grupy Poincarégo (ta ostatnia dopuszcza także translacje początku układu współrzędnych).

Fundamentalne równania fizyki wykazują symetrię Lorentza, np.:

• prawa ruchu ciał szczególnej teorii względności,
• równania Maxwella w klasycznej teorii elektromagnetyzmu,
• równanie Diraca opisujące ruch elektronu w ramach mechaniki kwantowej (i ogólnie: w kwantowej teorii fermionów o spinie 1/2),
• Model Standardowy cząstek elementarnych.

Symetria ta oznacza, że dokonując transformacji Lorentza z danego układu współrzędnych do innego, otrzyma się prawa fizyki wyrażone przez inne zmienne, ale postać algebraiczna tych praw pozostanie bez zmian; realizacja transformacji polega na zastąpieniu zmiennych $x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}$ w równaniach opisujących prawa fizyki przez zmienne $x'{^{0}},x'{^{1}},x'{^{2}},x'{^{3}},$ takie że

$x'^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }\,x^{\nu },\quad \mu ,\nu =0,1,2,3,$

gdzie $\Lambda _{\nu }^{\mu }$ – macierz transformacji Lorentza (patrz niżej).

Doniosłą rolę symetrii grupy Lorentza odkrył Albert Einstein: formułując szczególną teorię względności, zapostulował, iż teorie fizyczne opisujące prawa przyrody powinny posiadać symetrię Lorentza i podał to jako warunek do konstruowania teorii fizycznych.

Powyżej wymienione teorie zakładają płaską czasoprzestrzeń, tj. opisaną diagonalnym tensorem metrycznym (patrz niżej). Dalszy rozwój teorii doprowadził do odkrycia ogólniejszych symetrii w ogólnej teorii względności oraz w kwantowej teorii pola. Np. w ogólnej teorii względności symetria Lorentza pozostała jedynie symetrią lokalną, tj. obowiązuje w na tyle małych obszarach, że można pominąć w nich zmianę pola grawitacyjnego.

Nazwa grupy pochodzi od holenderskiego fizyka Hendrika Lorentza.

Macierze transformacji Lorentza

Transformacje układów współrzędnych należące do transformacji Lorentza muszą spełniać warunki:

(1) Nie mogą deformować czasoprzestrzeni, co oznacza, że dopuszczalne są przekształcenia w ramach płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego, której tensor metryczny $g_{\mu \nu }$ jest macierzą diagonalną

$g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},$

taką samą dla każdego punktu czasoprzestrzeni. Warunek ten jest równoważny założeniu, że odległość czasoprzestrzenną dwóch zdarzeń liczy się w każdym układzie inercjalnym według tej samej zasady: od kwadratów różniczek czasowych odejmuje się kwadraty różniczek przestrzennych.

Uwaga: Składowe kowariantne tensora metrycznego są identyczne jak składowe kontrawariantne, tj.

$g^{\mu \nu }=g_{\mu \nu }.$

(2) Zachowują odległości w czasoprzestrzeni.

Tensor metryczny transformuje się przy przejściu do nowego układu współrzędnych zgodnie z prawami transformacji tensorów

$g^{\alpha '\beta '}=\Lambda _{\alpha }^{\alpha '}\Lambda _{\beta }^{\beta '}g^{\alpha \beta }.$

Wymaganie, by tensor ten nie zmienił się oznacza, że

$g^{\alpha '\beta '}=g^{\alpha \beta },$

co implikuje warunek

$g^{\alpha \beta }=\Lambda _{\alpha }^{\alpha '}\Lambda _{\beta }^{\beta '}g^{\alpha \beta }.$

Z powyższego wzoru wynika, że wyznacznik macierzy transformacji $\Lambda$ wynosi $-1$ lub $+1,$ gdyż wyznacznik lewej strony wynosi det g= -1, a wyznacznik prawej strony jest iloczynem (det g) (det L) (det L), stąd mamy

$\det(\Lambda _{\alpha }^{\alpha '})=\pm 1.$

Macierze $\Lambda$ spełniające powyższe warunki nazywa się macierzami Lorentza. Można pokazać, że macierz transformacji spełnia warunek

$g=\Lambda ^{T}g\Lambda ,$

Oznacza to, że macierz Lorentza jest macierzą pseudoortogonalną.

Założenie, że tensor metryczny nie zależy od współrzędnych przestrzennych oznacza, że zakłada się płaską czasoprzestrzeń (czasoprzestrzeń Minkowskiego), opisywaną przez szczególną teorię względności, a pomija efekty jej zakrzywienia w wyniku grawitacji (wtedy tensor metryczny miałby składowe zależne od współrzędnych, np. rozwiązanie Schwarzschilda).

Transformacje Lorentza tworzą grupę

Macierze transformacji Lorentza tworzą grupę macierzy zwaną grupą Lorentza, gdyż:

(a) działanie grupowe – polegające na sukcesywnym składaniu dwu lub większej liczby transformacji – daje w wyniku także jakąś transformację Lorentza

(a′) macierz transformacji będącej złożeniem kilku transformacji jest iloczynem macierzy odpowiadających tym transformacjom, np.

$\Lambda =\Lambda _{(1)}\Lambda _{(2)}\ldots \Lambda _{(k)}$

(b) w zbiorze transformacji Lorentza istnieje transformacja jednostkowa, zadana macierzą jednostkową

$\Lambda =I;$

transformacja ta oznacza pozostanie w tym samym układzie współrzędnych,

(c) do każdej transformacji istnieje transformacja odwrotna, np.

• dla obrotów w przestrzeni jest to obrót w przeciwną stroną o ten sam kąt,
• dla przejść do układu odniesienie poruszającego się np. z prędkością ${\vec {v}}=[v_{x},0,0]$ transformacja odwrotna oznacza przejście do układu poruszającego się z prędkością przeciwną ${\vec {v}}=[-v_{x},0,0],$

Rodzaje transformacji Lorentza

Transformacje Lorentza obejmują

• obroty w przestrzeni,
• odbicia przestrzenne (inwersje),
• odwrócenie czasu,
• właściwe transformacje Lorentza.

Obroty w przestrzeni

Gdy ograniczy się do transformacji Lorentza, w których zmieniają się tylko trzy współrzędne przestrzenne, a nie zmienia się czas, to otrzyma się warunek, iż dopuszczalne są w ramach grupy Lorentza tylko obroty w przestrzeni – transformacje te tworzą grupę obrotów ortogonalnych $O(3)$ przestrzeni $3$ – wymiarowej, przy czym grupa ta zwiera obroty właściwe oraz inwersje (odbicia osi układu współrzędnych – patrz niżej). Grupa $O(3)$ jest podgrupę grupy transformacji Lorentza. Macierz obrotów nie zmienia współrzędnej czasowej, stąd ma postać

$R_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&g_{11}&g_{12}&g_{13}\\0&g_{21}&g_{22}&g_{23}\\0&g_{31}&g_{32}&g_{33}\end{pmatrix}}.$

Obroty bez inwersji – tzw. obroty właściwe – tworzą grupę specjalnych macierzy ortogonalnych $SO(3).$ Macierze obrotów właściwych mają wyznacznik równy $+1.$

Odbicia przestrzenne (inwersje)

Odbicia przestrzenne należą do dyskretnych transformacji i polegają na odwróceniu osi $X^{1},X^{2},X^{3}$ układu współrzędnych. Macierz transformacji ma postać

$P_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}.$

Wyznacznik tej transformacji wynosi $-1.$

Odwrócenie czasu

Odwrócenie czasu należy do dyskretnych transformacji i polegają na odwróceniu osi $X^{0}$ układu współrzędnych. Macierz transformacji ma postać

$T_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.$

Wyznacznik tej transformacji wynosi $-1.$

Uwaga: Symetria „odwrócenia czasu” jest własnością „geometryczną” czasoprzestrzeni: gdy czas potraktuje się jako jeden z wymiarów czasoprzestrzeni, to wykazuje ona ww. symetrię.

Ortogonalność 4-wektorów. Macierze pseudoortogonalne

Czasoprzestrzeń jest przestrzenią pseudoeuklidesową, gdyż niezmiennicza odległość pomiędzy punktami czasoprzestrzeni dana jest nie jako suma kwadratów różnic współrzędnych, ale dana jest wzorem $ds^{2}=(dx^{0})^{2}-(dx^{1})^{2}-(dx^{2})^{2}-(dx^{3})^{2}.$

Wynika stąd na przykład, że iloczyn skalarny dwóch czterowektorów $\mathbf {A} ,\mathbf {B}$ oblicza się ze wzoru

$\mathbf {A} \mathbf {B} =g_{\mu \nu }B^{\mu }A^{\nu },$

Dwa 4-wektory nazywa się ortogonalnymi, jeżeli zeruje się ich iloczyn skalarny. Przekształcenie liniowe przestrzeni pseudoeuklidesowej zachowujące iloczyn skalarny nazywa się pseudoortogonalnym – jest to rozszerzenie pojęcia przekształceń ortogonalnych znanego z przestrzeni euklidesowych. Macierz $\Omega$ takiego przekształcenia jest w ogólnym przypadku macierzą pseudoortogonalną, tj. taką że

$\Omega \,g\,\Omega ^{T}=g,$

gdzie $g$ – tensor metryczny czasoprzestrzeni.

Właściwe transformacje Lorentza

Właściwe transformacje Lorentza otrzymuje się, gdy ograniczy się do transformacji mieszających czas z jedną składową przestrzenną, a pominie obroty układu w przestrzeni, inwersje oraz odwrócenie czasu. Sytuacja taka zachodzi, gdy dokonujemy transformacji do układu poruszającego się względem danego układu. Np. dla ruchu w kierunku osi $x$ macierz transformacji ma postać

$\Lambda _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}g_{00}&g_{01}&0&0\\g_{01}&g_{11}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}},$

gdzie współczynniki $g_{ij}$ są stałymi liczbami. Powyższa macierz jest macierzą przekształcenia liniowego współrzędnych czasowej i przestrzennej $x^{0}=ct,x^{1}$ na współrzędne $x'{^{0}}=ct',x'{^{1}}$ w układzie poruszającym się, przy pozostałych współrzędnych pozostawionych bez zmian

Macierz pseudoortogonalna właściwych transformacji Lorentza

Warunek niezmienności interwału definiuje grupę obrotów hiperbolicznych $O(1,1),$ której elementy są reprezentowane za pomocą macierzy pseudoortogonalnych. Aby wykazać, że własność tę posiadają macierze właściwych transformacji Lorentza ograniczmy macierz transformacji do macierzy $2$ x $2$

$\Lambda ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},$

przy czym pierwsza kolumna odpowiada za transformacje współrzędnej czasowej, a druga odpowiada za transformacje współrzędnej. Niezmienność interwału implikuje, że muszą zachodzić warunki

$a^{2}-c^{2}=1,$

$ab=cd,$

$d^{2}-b^{2}=1.$

Z dokładnością do znaku rozwiązanie powyższego układu równań ma postać

$\Lambda ={\begin{pmatrix}\quad \,\cosh(\phi )&-\sinh(\phi )\\-\sinh(\phi )&\quad \,\cosh(\phi )\end{pmatrix}}.$

Łatwo to sprawdzić, wiedząc, że dla funkcji hiperbolicznych słuszna jest tożsamość

$\cosh ^{2}(\varphi )-\sinh ^{2}(\varphi )=1.$

Powyższą macierz transformacji nazywa się macierzą obrotu hiperbolicznego – określa ją jeden ciągły parametr $\phi ,$ który pełni rolę kąta obrotu analogiczną do roli parametrów określających zwykły obrót w płaszczyźnie. Macierze tego typu tworzą grupę $O(1,1)$ (zaś macierze obrotu w przestrzeni tworzą grupę macierzy ortogonalnych $O(2)$).

Można łatwo sprawdzić, że powyższa macierz spełnia warunek

$\Lambda ^{T}\,g\,\Lambda =g,$

a więc jest to macierz pseudoortogonalna. Nie jest to jednak macierz ortogonalna, gdyż

$\Lambda ^{T}\Lambda \neq I.$

Parametryzacja transformacji Lorentza

Transformację Lorentza można teraz zapisać jako

${\begin{pmatrix}x'^{0}\\x'^{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\quad \cosh(\phi )&-\sinh(\phi )\\-\sinh(\phi )&\quad \,\cosh(\phi )\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x^{0}\\x^{1}\end{pmatrix}}.$

Parametr $\phi$ jest związany ze współrzędną $v$ prędkości drugiego układu O′ względem układu początkowego O zależnością

$\operatorname {tgh} (\phi )={\frac {v}{c}}.$

Powyższa parametryzacja jest poprawna, gdyż tangens hiperboliczny ma wartości

$-1<\operatorname {tgh} (\phi )<1,$

co odpowiada warunkowi,

$-1<v/c<1$

– zgodnie z tym, że prędkość jest zawsze mniejsza niż prędkość światła. Wyrażając $\sinh(\phi ),\cosh(\phi )$ przez $\operatorname {tgh} (\phi )$ otrzyma się jawną postać tej transformacji Lorentza dla ruchu układu $O'$ w kierunku osi $x{:}$

$x'{^{0}}=\gamma \,x^{0}-\beta \gamma \,x^{1},$

$x'{^{1}}=-\beta \gamma x^{^{0}}+\gamma \,x^{1},$

$x'{^{2}}=x^{2},$

$x'{^{3}}=x^{3},$

przy czym $\beta =\operatorname {tgh} (\phi ),\gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}.$

Łatwo sprawdzić, że wyznacznik powyższej transformacji wynosi $+1.$ To samo dotyczy wszystkich właściwych transformacji Lorentza.

Uwaga: Parametr $\phi \in (-\infty ,+\infty ),$ dlatego grupa Lorentza nie jest zwarta ze względu na pchnięcia Lorentza – macierze odpowiadające tym transformacjom, są symetryczne (tak jest dla obrotów hiperbolicznych – zwykłe obroty są reprezentowane przez macierze ortogonalne).

Generatory macierzy transformacji Lorentza

Definicja generatora

Generator związany z daną macierzą $\Omega (\phi )$ zależną od parametru $\phi$ definiuje się jako pochodną po tym parametrze, obliczoną dla $\phi =0,$

$G=a\,{\frac {d\Omega (\phi )}{d\phi }}{\Bigg |}_{\phi =0},$

gdzie $a$ – dowolna liczba zespolona (liczbę $a$ przyjmuje się tak, by inne wzory teorii miały wygodną postać). Generator jest macierzą. Macierz $\Omega (\phi )$ wyraża się za pomocą eksponenty generatora z odpowiednim współczynnikiem, tj.

$\Omega (\phi )=e^{\phi \,G/a}.$

Przykład

Dla macierzy

$\Omega (\phi _{1})={\begin{pmatrix}\,\,\,\cosh(\phi _{1})&-\sinh(\phi _{1})&0&0\\-\sinh(\phi _{1})&\,\,\,\cosh(\phi _{1})&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

przyjmuje się postać generatora

$K_{1}=-i{\frac {d\Omega }{d\phi _{1}}}{\Bigg |}_{\phi _{1}=0}$

Ponieważ

${\frac {d\sinh(\phi _{1})}{d\phi _{1}}}{\Bigg |}_{\phi _{1}=0}=\cosh(\phi _{1})|_{\phi _{1}=0}=1,$

${\frac {d\cosh(\phi _{1})}{d\phi _{1}}}{\Bigg |}_{\phi _{1}=0}=\sinh(\phi _{1})|_{\phi _{1}=0}=0,$

to otrzymuje się

$K_{1}=-i{\begin{pmatrix}0&-1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}.$

Wtedy

$\Omega (\phi _{1})=e^{i\phi _{1}K_{1}}.$

Uwaga: Liczby zespolone w definicji generatorów przyjęto dla uproszenia innych wzorów teorii. Z powyższego przykładu widać, że np. generator $K_{1}$ mnożony przez $i\phi _{1}$ daje macierz rzeczywistą w wykładniku wzoru $\Omega (\phi _{1})=e^{i\phi _{1}K_{1}}.$ Analogicznie jest dla innych generatorów, które omówiono poniżej. Powinno tak być, gdyż macierze transformacji Lorentza są macierzami o współrzędnych rzeczywistych, a taką macierz można otrzymać jedynie z eksponenty macierzy rzeczywistej.

Parametry grupy Lorentza. Generatory

Grupa transformacji Lorentza parametryzowana jest przez 6 niezależnych parametrów, które omówiono poniżej.

Generatory obrotów w przestrzeni

(a) Trzy parametry $\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}$ związane są z obrotami w przestrzeni, którym odpowiadają trzy niezależny generatory obrotów wokół osi $x^{1},x^{2},x^{2}$(por. grupa obrotów)

$T_{i},\quad i=1,2,3$

Generatory te mają postacie:

$T_{1}=-i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&\!\!\!-1&0\end{pmatrix}},\;T_{2}=-i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&\!\!\!-1\\0&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}},\;T_{3}=-i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&\!\!\!-1&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}.$

(b) Macierz dowolnego obrotu w przestrzeni 3D – wokół osi przechodzącej przez punkt początkowy układu współrzędnych i zadanej wektorem ${\vec {\theta }}=[\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}]$ wyraża się za pomocą tych generatorów wzorem

$\Lambda =e^{i{\vec {T}}{\vec {\theta }}},$

gdzie:

${\vec {T}}{\vec {\theta }}=T_{1}\theta _{1}+T_{2}\theta _{2}+T_{3}\theta _{3},$

${\vec {T}}=[T_{1},T_{2},T_{3}]$ – wektor, utworzony z generatorów obrotu.

Wykładnik eksponenty jest rzeczywistą macierzą antysymetryczną (czynnik $-i$ mnożony przez czynnik $i$ występujący w generatorach $T_{i}$ daje 1) – zgodnie z ogólnym twierdzeniem generuje on macierz ortogonalną. Macierz ta jest więc faktycznie macierzą obrotu w 3-wymiarowej podprzestrzeni przestrzeni Minkowskiego.

Generatory pchnięć Lorentza

Trzy parametry związane są z trzema generatorami właściwych transformacji Lorentza

$K_{i},\quad i=1,2,3.$

odpowiadających przejściom do układów współrzędnych poruszających się względem danego układu z prędkościami skierowanymi wzdłuż osi $x^{1},x^{2},x^{3}.$

(a) Np. właściwa transformacja Lorentza wzdłuż osi $x^{1}$ ma postać

${\begin{pmatrix}x'^{0}\\x'^{1}\\x'^{2}\\x'^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\,\,\,\cosh(\phi _{1})&-\sinh(\phi _{1})&0&0\\-\sinh(\phi _{1})&\,\,\,\cosh(\phi _{1})&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x^{0}\\x^{1}\\x^{2}\\x^{3}\end{pmatrix}}.$

Macierz tej transformacji można przedstawić w postaci

$\Lambda =e^{iK_{1}\phi _{1}},$

gdzie:

$K_{1}=-i{\begin{pmatrix}0&-1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

jest generatorem tej macierzy.

(b) Analogicznie mamy dla przejść do układów poruszających się wzdłuż osi $x^{2}$ oraz $x^{3}$

$K_{2}=-i{\begin{pmatrix}0&0&-1&0\\0&0&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}},\;K_{3}=-i{\begin{pmatrix}0&0&0&-1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}}.$

(c) Ogólną macierz transformacji Lorentza związaną z przejściem do innego układu inercjalnego, poruszającego się w kierunku wskazanym za pomocą wektora ${\vec {\phi }}=[\phi _{1},\phi _{2},\phi _{3}]$ wyraża się wzorem

$\Lambda =e^{i{\vec {K}}{\vec {\phi }}},$

gdzie:

${\vec {K}}{\vec {\phi }}=K_{1}\phi _{1}+K_{2}\phi _{2}+K_{3}\phi _{3},$

${\vec {K}}=[K_{1},K_{2},K_{3}]$ – wektor, utworzony z generatorów pchnięć Lorentza.

Wykładnik eksponenty jest rzeczywistą macierzą symetryczną – zgodnie z ogólnym twierdzeniem generuje on macierz w ogólności pseudoortogonalną. Macierz ta jest wiec macierzą obrotu w przestrzeni Minkowskiego.

Ogólna macierz transformacji

Ogólną transformację, złożoną z obrotów układu współrzędnych w przestrzeni oraz pchnięć Lorentza, definiuje wyrażenie

$\Lambda =e^{i{\vec {T}}{\vec {\theta }}+i{\vec {K}}{\vec {\phi }}}.$

Macierz generatorów $M_{ij}$

(a) Z sześciu generatorów grupy (trzech $T_{i}$ i trzech $K_{i}$) można zbudować antysymetryczną macierz generatorów $M_{ij}$ przyjmując:

$K_{i}=M_{0,i},\quad i=1,2,3$

$T_{i}=-{\frac {1}{2}}\sum _{j,k=0}^{3}\epsilon _{ijk}M^{jk},\quad i=1,2,3.$

(b) Twierdzenie:

Generatory Lorentza $M_{ij}$ tworzą algebrę Liego grupy transformacji Lorentza o komutatorze

$[M^{mn},M^{rs}]=i(g^{nr}M^{ms}-g^{mr}M^{ns}-g^{ns}M^{ms}+g^{ms}M^{nr}),$

gdzie $[A,B]=AB-BA.$

Zobacz też

Pojęcia matematyczne

• grupa Liego
• grupa obrotów
• grupa SO(2)
• grupa SO(3)
• grupa SU(2)
• eksponenta macierzy - tam też podano program do obliczeń eksponenty macierzy w języku python
• macierz obrotu

Pojęcia ogólne fizyki

• symetrie w fizyce

Uczeni

• Hendrik Lorentz
• Hermann Minkowski
• Henri Poincaré

Bibliografia

• GrzegorzG. Białkowski GrzegorzG., Mechanika klasyczna, Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, s. 50–66, 139–154 .
• T.T. Padmanabhan T.T., Quantum Field Theory: The Why, What and How, Heidelberg: Springer, 2016, s. 201–206 . link

Linki zewnętrzne

• Jerzy Kijowski, Grupa Lorentza i jej działanie na pole elektromagnetyczne, kanał CFT PAN na YouTube, 16 marca 2020 [dostęp 2023-05-21].