Kinematyczne równanie ruchu

Kinematyczne równanie ruchu – zależności określające położenie ciała względem wybranego układu odniesienia w funkcji czasu.

Uwagi ogólne

Funkcje kinematycznych równań ruchu mogą być wyrażone w postaci analitycznej, graficznej lub tabelarycznej. W celu wyrażenia położenia przez funkcje analityczne w układzie odniesienia wprowadza się układ współrzędnych. Funkcje wchodzące w skład równań ruchu muszą być jednoznaczne, w całym zadanym czasie ruchu, ponieważ w danym momencie każdy punkt ciała może znajdować się tylko w jednym, ściśle określonym miejscu. Funkcje te muszą być ciągłe i różniczkowalne. Ich pochodna względem czasu, oznaczająca prędkość, musi być ciągła i różniczkowalna. Druga pochodna oznacza przyspieszenie.

Liczba równań opisujących ruch ciała zależy od liczby niezależnych punktów ciała i rodzaju zagadnienia. Równania mogą być wyrażane jako równania wektorowe. Postać wektorowa kinematycznego równania ruchu to zależność określająca wektor położenia ciała jako funkcję czasu.

Równania punktu materialnego w trójwymiarowej przestrzeni w kartezjańskim układzie współrzędnych w postaci skalarnej określa następującym układem:

${\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}}.$

Wektorowo:

${\vec {r}}={\vec {r}}(t).$

Obie postaci kinematycznego równania ruchu łączy następujący związek:

${\vec {r}}=x{\vec {i}}+y{\vec {j}}+z{\vec {k}},$

gdzie ${\vec {i}},\ {\vec {j}},\ {\vec {k}}$ są wektorami jednostkowymi skierowanymi zgodnie z osiami układu współrzędnych.

Związek z dynamiką

Kinematyczne równanie ruchu jest rozwiązaniem dynamicznego równania ruchu, które ma postać równania różniczkowego. W dowolnym przypadku, szczególnie złożonych sił działających na ciało, rozwiązania analityczne tych równań mogą nie istnieć. Dla takich ruchów równanie kinematyczne nie istnieje.

Tor ruchu

W przypadku ruchów krzywoliniowych kinematyczne równania ruchu mają postać układu równań z parametrem. Parametrem tym jest czas. Eliminując z tych równań czas, można otrzymać jedno równanie współrzędnych przestrzennych, które jest równaniem toru ruchu tego ciała.

Zastosowanie

Kinematyczne równanie ruchu ciała jest wygodną metodą opisu ruchu. Pozwala ono na obliczenie:

• równania toru ciała (przez wyeliminowanie z równań parametru czasu $t$),
• prędkości chwilowej ciała (jest ona pierwszą pochodną wektora położenia względem czasu),
• przyspieszenia chwilowego ciała (jest ono drugą pochodną wektora położenia względem czasu),

Przykłady prostych równań ruchu

• Ruch jednostajny prostoliniowy ($x_{0}$ – położenie początkowe, $v$ – prędkość)

$x(t)=x_{0}+vt.$

• Ruch prostoliniowy jednostajnie przyspieszony ($x_{0}$ – położenie początkowe, $v_{0}$ – prędkość początkowa, $a$ – przyspieszenie)

$x(t)=x_{0}+v_{0}t+{\frac {1}{2}}at^{2}.$

• Rzut ukośny w górę przy osi OY skierowanej pionowo w górę (($x_{0},$ $y_{0}$) – położenie początkowe, $v_{0}$ – prędkość początkowa, $\alpha$ – kąt wyrzucenia)

${\begin{cases}x(t)=x_{0}+v_{0}t\cos {(\alpha )}\\y(t)=y_{0}+v_{0}t\sin {(\alpha )}-{\frac {1}{2}}gt^{2}\end{cases}}.$

• Ruch harmoniczny ($A$ – amplituda, $\omega$ – częstość kołowa, $\varphi _{0}$ – faza początkowa)

$x(t)=A\sin {(\omega t+\varphi _{0})}.$

• Ruch po elipsie może być opisany np. równaniami ($a,$ $b$ – długości półosi elipsy)

$x(t)=a\sin {(\omega t)},$

$y(t)=b\cos {(\omega t)}.$

Gdy $a=b,$ jest to ruch po okręgu, a $\omega$ jest prędkością kątową.