Lemniskata Bernoulliego

Lemniskata Bernoulliego – krzywa płaska będąca zbiorem punktów, dla których iloczyn odległości od dwóch ustalonych punktów (ognisk lemniskaty) oddalonych o $2a$ jest stały i równy $a^{2}.$ Lemniskata Bernoulliego jest szczególnym przypadkiem owalu Cassiniego.

Lemniskata Bernoulliego F₁, F₂ – ogniska o współrzędnych $(-a,0)$ i $(a,0)$

Została ona opisana przez Jakoba Bernoulliego w 1694 roku, w czasopiśmie naukowym „Acta Eruditorum”.

Równania lemniskaty:

• we współrzędnych kartezjańskich:

  $(x^{2}+y^{2})^{2}=2a^{2}(x^{2}-y^{2}),$

• we współrzędnych biegunowych:

  $r^{2}=2a^{2}\cos 2\varphi ,$

• równanie parametryczne:

  $x={\frac {a{\sqrt {2}}\cos t}{1+\sin ^{2}t}},\quad y={\frac {a{\sqrt {2}}\sin t\cos t}{1+\sin ^{2}t}},$    gdzie $t\in [0,2\pi ).$

Początek układu współrzędnych jest punktem rozgałęzienia. W punkcie tym są punkty przegięcia; równanie stycznych w tym punkcie: $y=\pm x.$ Przecięcie z osią $Ox{:}$ $A,C(\pm a{\sqrt {2}},0);$ ekstrema: $\pm {\frac {1}{2}}a{\sqrt {3}}$ oraz $\pm {\frac {1}{2}}a$ o argumentach $\varphi =\pm {\frac {1}{6}}\pi .$

Promień krzywizny $r=2a^{2}\!/3\rho .$

Pole powierzchni obu obszarów ograniczonych krzywą wynosi $2a^{2}$.

Zobacz też

• lemniskata Bootha
• lista krzywych