Macierz odwrotna

Macierz odwrotna – element odwrotny w pierścieniu macierzy kwadratowych. Uogólnieniem pojęcia macierzy odwrotnej jest tzw. uogólniona macierz odwrotna.

Definicja

Niech $A$ będzie macierzą kwadratową ustalonego stopnia. Macierz $A$ jest odwracalna, jeśli istnieje taka macierz $B,$ że zachodzi

$AB=BA=I,$

gdzie $I$ jest macierzą jednostkową. Macierz $B$ nazywa się wówczas macierzą odwrotną do macierzy $A$ i oznacza się przez $A^{-1}.$

Jeżeli taka macierz $B$ nie istnieje, to macierz $A$ nazywamy nieodwracalną.

Macierze kwadratowe ustalonego stopnia tworzą pierścień (łączny, nieprzemienny z jedynką), powyższe definicje określają więc element odwracalny oraz odwrotny do danego w tym pierścieniu. Należy pamiętać, że jeżeli w pierścieniu łącznym element odwrotny do danego istnieje, to jest wyznaczony jednoznacznie.

Pełna grupa liniowa

Dla danego pierścienia $R$ zbiór wszystkich macierzy odwracalnych stopnia $n$ jest grupą ze względu na mnożenie macierzy. Grupę tę nazywa się pełną (ogólną) grupą liniową stopnia $n$ nad $R$ i oznacza $\operatorname {GL} _{n}(R).$

Odwracalność a nieosobliwość

Definicja wyznacznika macierzy kwadratowej ma sens, o ile pierścień $R,$ nad którym zbudowana jest macierz, jest przemienny. Macierzą nieosobliwą bądź niezdegenerowaną nazywa się każdą macierz o odwracalnym wyznaczniku (jeżeli $R$ jest ciałem, to jest to równoważne temu, że jest on różny od zera). Macierzą osobliwą albo zdegenerowaną nazywa się macierz o wyznaczniku nieodwracalnym (zerowym) – są one dzielnikami zera w pierścieniu macierzy ustalonego stopnia.

Z własności macierzy dołączonej wynika, że macierz kwadratowa nad pierścieniem przemiennym jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona nieosobliwa. Tak więc nieosobliwość macierzy staje się kryterium odwracalności macierzy.

Jeżeli pierścień $R$ nie jest przemienny, to określenie wyznacznika staje się niemożliwe i nie istnieje prosta metoda rachunkowa pozwalająca stwierdzić odwracalność macierzy. Wyjątek stanowią algebry centralne proste $R$ i określany w nich wyznacznik Dieudonné (o wartościach w abelianizacji $R^{*},$ czyli grupie $R^{*}/[R^{*},R^{*}]$).

Własności

• Macierz odwrotna do macierzy odwracalnej jest odwracalna, operacja odwracania macierzy jest inwolucją:

  $\left(A^{-1}\right)^{-1}=A.$

• Iloczyn macierzy odwracalnych jest macierzą odwracalną,

  $\left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ (kolejność macierzy jest istotna, gdyż mnożenie macierzy nie jest przemienne!).

• Jeżeli macierz $A$ jest odwracalna, to także $A^{T}$ jest odwracalna,

  $\left(A^{T}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{T}.$

Uwagi

• Macierz jednostkowa $I$ jest odwracalna oraz $I^{-1}=I$ (wynika wprost z definicji).
• Macierz zerowa $\Theta$ jest nieodwracalna, ogólnie – każda macierz osobliwa jest nieodwracalna.
• Suma macierzy odwracalnych nie musi być macierzą odwracalną, niech $A$ będzie odwracalna, wówczas $A+(-A)=\Theta .$
• Dla nieosobliwej macierzy $A$ zachodzi równość $\det A^{-1}={\tfrac {1}{\det A}}.$

Przykłady

Macierz

$A={\begin{bmatrix}8&5\\13&8\end{bmatrix}}\in M_{2}(\mathbb {Z} )$

ma wyznacznik równy $-1,$ którego odwrotność w pierścieniu $\mathbb {Z}$ również wynosi $-1.$ Zatem macierz $A$ ma macierz odwrotną w $M_{2}(\mathbb {Z} ).$

Rzeczywiście,

${\begin{bmatrix}8&5\\13&8\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-8&5\\13&-8\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-8&5\\13&-8\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}8&5\\13&8\end{bmatrix}},$

a więc

$A^{-1}={\begin{bmatrix}-8&5\\13&-8\end{bmatrix}}.$

Macierz

$B={\begin{bmatrix}1&1\\1&4\end{bmatrix}}\ \in M_{2}(\mathbb {Z} _{8})$ gdzie $\mathbb {Z} _{8}$ jest pierścieniem reszt modulo 8

ma wyznacznik równy 3, który w pierścieniu $\mathbb {Z} _{8}$ jest odwracalny (jego odwrotność też wynosi $3$).

Macierz $B$ jest więc odwracalna, a macierzą odwrotną do niej jest

$B^{-1}={\begin{bmatrix}4&5\\5&3\end{bmatrix}}.$

Wyznaczanie

Metoda dopełnień algebraicznych

Macierz odwrotną do nieosobliwej macierzy $A$ obliczamy następująco:

$A^{-1}={\frac {A^{D}}{\det A}},$

gdzie $A^{D}$ jest macierzą dołączoną do macierzy $A$ (czyli transponowaną macierzą dopełnień algebraicznych).

Metoda ta zakłada równoważność nieosobliwości i odwracalności.

Metoda eliminacji Gaussa-Jordana

Metoda eliminacji Gaussa-Jordana jest jedną z metod wyznaczania macierzy odwrotnej metodami bezwyznacznikowymi.

Niech $X\in M_{i\times j}(K),$ zaś $Y\in M_{i\times k}(K).$ Przez $\left[X|Y\right]\in M_{i\times (j+k)}(K)$ rozumieć będziemy macierz klatkową, której pierwsze $j$ kolumn jest kolumnami macierzy $X,$ a następne $k$ kolumn jest kolumnami macierzy $Y$ (kreska między nimi służy oddzieleniu tych podmacierzy od siebie).

Aby znaleźć macierz odwrotną do $A,$ należy rozwiązać układ równań $AB=I$ względem macierzy $B,$ która jest szukaną macierzą odwrotną. Należy więc do obu podmacierzy macierzy $\left[A|I\right]$ domnożyć macierz $B$ (z definicji wynika, że nie ma różnicy czy prawo-, czy lewostronnie) otrzymując w ten sposób macierz $\left[AB|IB\right]$ (lub $\left[BA|BI\right]$). Ponieważ $B=A^{-1}$ to ostatecznie możemy interpretować tę operację jako $\left[A|I\right]\mapsto \left[I|A^{-1}\right].$

Operacja mnożenie macierzy nie jest prosta i dodatkowo nie znamy wartości macierzy $B,$ wystarczy jednak w sposób zachowujący rozwiązania tego układu równań przekształcić macierz $\left[A|I\right]$ w macierz $\left[I|A^{-1}\right].$ Sprowadza się to ostatecznie do przekształcenia podmacierzy $A$ w podmacierz jednostkową $I$ za pomocą neutralnych dla rozwiązań takiego układu operacji elementarnych na wierszach, działając przy tym na całej macierzy połączonej. Najszybszym zaś algorytmem wykorzystującym te operacje jest właśnie metoda eliminacji Gaussa-Jordana.

Przypadki szczególne

• Macierz odwrotna do macierzy diagonalnej powstaje poprzez odwrócenie współczynników głównej przekątnej:

  $\operatorname {diag} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})^{-1}=\operatorname {diag} ({\tfrac {1}{\lambda _{1}}},\dots ,{\tfrac {1}{\lambda _{n}}}).$

• Macierz odwrotna do macierzy ortogonalnej $Q$ jest równa jej transpozycji (przestawieniu):

  $Q^{-1}=Q^{T}.$

• Macierz odwrotna do macierzy wymiaru $2\times 2$ może być szybko wyznaczona według wzoru

  ${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}}.$

Zobacz też

• macierz
• uogólniona macierz odwrotna