Niech
U
{\displaystyle U}
V
{\displaystyle V}
przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem odpowiednio z bazami
A
=
(
a
1
,
…
,
a
n
)
{\displaystyle A=(\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{n})}
B
=
(
b
1
,
…
,
b
m
)
,
{\displaystyle B=(\mathbf {b} _{1},\dots ,\mathbf {b} _{m}),}
T
:
U
→
V
{\displaystyle \mathrm {T} \colon U\to V}
przekształceniem liniowym . Macierzą przekształcenia
T
{\displaystyle \mathrm {T} }
A
,
B
{\displaystyle A,B}
T
A
B
=
[
t
i
j
]
{\displaystyle \mathbf {T} _{A}^{B}=[t_{ij}]}
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
j
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle j=1,\dots ,n}
T
(
a
j
)
=
∑
i
=
1
m
t
i
j
b
i
,
{\displaystyle \mathrm {T} (\mathbf {a} _{j})=\sum _{i=1}^{m}t_{ij}\mathbf {b} _{i},}
tzn. w
j
{\displaystyle j}
T
A
B
{\displaystyle \mathbf {T} _{A}^{B}}
T
(
a
j
)
{\displaystyle \mathrm {T} (\mathbf {a} _{j})}
B
.
{\displaystyle B.}
T
{\displaystyle \mathrm {T} }
A
,
B
{\displaystyle A,B}
M
(
T
)
A
B
.
{\displaystyle \mathrm {M} (\mathrm {T} )_{A}^{B}.}
Uwaga: w dalszej części artykułu wszystkie przestrzenie liniowe oraz macierze są zbudowane nad ustalonym ciałem
K
.
{\displaystyle K.}
Odpowiedniość między przekształceniami liniowymi i ich macierzami Przyporządkowanie każdemu przekształceniu liniowemu
T
{\displaystyle \mathrm {T} }
M
(
T
)
A
B
{\displaystyle \mathrm {M} (\mathrm {T} )_{A}^{B}}
L
(
V
,
W
)
{\displaystyle \mathrm {L} (V,W)}
M
a
t
m
×
n
.
{\displaystyle \mathrm {Mat} _{m\times n}.}
M
(
S
+
T
)
A
B
=
M
(
S
)
A
B
+
M
(
T
)
A
B
,
{\displaystyle \mathrm {M} (\mathrm {S} +\mathrm {T} )_{A}^{B}=\mathrm {M} (\mathrm {S} )_{A}^{B}+\mathrm {M} (\mathrm {T} )_{A}^{B},}
M
(
c
T
)
A
B
=
c
M
(
T
)
A
B
,
{\displaystyle \mathrm {M} (c\mathrm {T} )_{A}^{B}=c\mathrm {M} (\mathrm {T} )_{A}^{B},}
a ponadto każde przekształcenie liniowe
T
:
U
→
V
{\displaystyle \mathrm {T} \colon U\to V}
zadane jednoznacznie przez podanie wartości na bazie , tzn.
T
(
a
1
)
,
…
,
T
(
a
n
)
.
{\displaystyle \mathrm {T} (\mathbf {a} _{1}),\dots ,\mathrm {T} (\mathbf {a} _{n}).}
wzajemnie jednoznaczne . Wynika stąd w szczególności, że jeśli
dim
U
=
n
{\displaystyle \dim U=n}
dim
V
=
m
,
{\displaystyle \dim V=m,}
dim
L
(
U
,
V
)
=
m
n
.
{\displaystyle \dim \mathrm {L} (U,V)=mn.}
Mnożenie macierzy a obraz wektora w przekształceniu Jeśli wektor
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
u
A
=
[
u
1
,
…
,
u
n
]
{\displaystyle \mathbf {u} _{A}=[u_{1},\dots ,u_{n}]}
A
,
{\displaystyle A,}
v
=
T
(
u
)
{\displaystyle \mathbf {v} =\mathrm {T} (\mathbf {u} )}
v
B
=
[
v
1
,
…
,
v
m
]
{\displaystyle \mathbf {v} _{B}=[v_{1},\dots ,v_{m}]}
B
,
{\displaystyle B,}
T
A
B
=
[
t
i
j
]
=
M
(
T
)
A
B
,
{\displaystyle \mathbf {T} _{A}^{B}=[t_{ij}]=\mathrm {M} (\mathrm {T} )_{A}^{B},}
[
t
11
…
t
1
n
⋮
⋱
⋮
t
m
1
…
t
m
n
]
[
u
1
⋮
u
n
]
=
[
v
1
⋮
v
m
]
,
{\displaystyle {\begin{bmatrix}t_{11}&\dots &t_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\t_{m1}&\dots &t_{mn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{m}\end{bmatrix}},}
co można zapisać
T
A
B
U
A
=
V
B
,
{\displaystyle \mathbf {T} _{A}^{B}\mathbf {U} _{A}=\mathbf {V} _{B},}
U
A
,
V
B
{\displaystyle \mathbf {U} _{A},\mathbf {V} _{B}}
wektorami kolumnowymi ) odpowiadającymi wektorom
u
A
,
v
B
.
{\displaystyle \mathbf {u} _{A},\mathbf {v} _{B}.}
[a]
Zamiana współrzędnych i jej macierze W szczególnym przypadku, jeśli
A
,
B
{\displaystyle A,B}
V
{\displaystyle V}
C
A
B
=
[
c
i
j
]
=
M
(
i
d
)
A
B
,
{\displaystyle \mathbf {C} _{A}^{B}=[c_{ij}]=\mathrm {M} (\mathrm {id} )_{A}^{B},}
i
d
{\displaystyle \mathrm {id} }
przekształceniem identycznościowym , to jeśli wektor
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
u
A
=
[
u
1
,
…
,
u
n
]
{\displaystyle \mathbf {u} _{A}=[u_{1},\dots ,u_{n}]}
A
,
{\displaystyle A,}
u
B
=
[
v
1
,
…
,
v
n
]
{\displaystyle \mathbf {u} _{B}=[v_{1},\dots ,v_{n}]}
B
,
{\displaystyle B,}
[
c
11
…
c
1
n
⋮
⋱
⋮
c
n
1
…
c
n
n
]
[
u
1
⋮
u
n
]
=
[
v
1
⋮
v
n
]
,
{\displaystyle {\begin{bmatrix}c_{11}&\dots &c_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\c_{n1}&\dots &c_{nn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}},}
tzn.
C
A
B
U
A
=
U
B
,
{\displaystyle \mathbf {C} _{A}^{B}\mathbf {U} _{A}=\mathbf {U} _{B},}
U
A
,
U
B
{\displaystyle \mathbf {U} _{A},\mathbf {U} _{B}}
u
A
,
u
B
{\displaystyle \mathbf {u} _{A},\mathbf {u} _{B}}
C
A
B
{\displaystyle \mathbf {C} _{A}^{B}}
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
A
{\displaystyle A}
B
.
{\displaystyle B.}
M
(
i
d
)
A
B
{\displaystyle \mathrm {M} (\mathrm {id} )_{A}^{B}}
macierzą zamiany współrzędnych (bądź macierzą przejścia ) od
A
{\displaystyle A}
B
.
{\displaystyle B.}
M
(
i
d
)
B
A
{\displaystyle \mathrm {M} (\mathrm {id} )_{B}^{A}}
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
macierz odwrotna
(
M
(
i
d
)
A
B
)
−
1
.
{\displaystyle {\big (}\mathrm {M} (\mathrm {id} )_{A}^{B}{\big )}^{-1}.}
Mnożenie macierzy a składanie przekształceń Jeśli
U
,
V
,
W
{\displaystyle U,V,W}
A
,
B
,
C
,
{\displaystyle A,B,C,}
R
:
U
→
V
{\displaystyle \mathrm {R} \colon U\to V}
S
:
V
→
W
{\displaystyle \mathrm {S} \colon V\to W}
M
(
S
∘
R
)
A
C
=
M
(
S
)
B
C
M
(
R
)
A
B
.
{\displaystyle \mathrm {M} (\mathrm {S} \circ \mathrm {R} )_{A}^{C}=\mathrm {M} (\mathrm {S} )_{B}^{C}\mathrm {M} (\mathrm {R} )_{A}^{B}.}
[b] Wynika stąd, że jeśli
T
:
U
→
V
{\displaystyle \mathrm {T} \colon U\to V}
A
,
A
′
{\displaystyle A,A'}
U
,
{\displaystyle U,}
B
,
B
′
{\displaystyle B,B'}
V
{\displaystyle V}
A
A
′
{\displaystyle \mathbf {A} _{A'}}
B
B
′
{\displaystyle \mathbf {B} '_{B}}
A
′
{\displaystyle A'}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
B
′
,
{\displaystyle B',}
T
A
′
B
′
=
B
B
B
′
T
A
B
A
A
′
A
.
{\displaystyle \mathbf {T} _{A'}^{B'}=\mathbf {B} _{B}^{B'}\mathbf {T} _{A}^{B}\mathbf {A} _{A'}^{A}.}
[c] Rząd macierzy a rząd przekształcenia Jeśli
T
:
U
→
V
{\displaystyle \mathrm {T} \colon U\to V}
A
{\displaystyle A}
U
{\displaystyle U}
B
{\displaystyle B}
V
{\displaystyle V}
r
(
T
)
=
r
(
T
A
B
)
,
{\displaystyle \mathrm {r} (\mathrm {T} )=\mathrm {r} \left(\mathbf {T} _{A}^{B}\right),}
gdyż jeśli
dim
V
=
n
,
{\displaystyle \dim V=n,}
V
{\displaystyle V}
B
{\displaystyle B}
V
→
K
n
,
{\displaystyle V\to K^{n},}
i
m
T
{\displaystyle \mathrm {im} \ \mathrm {T} }
T
A
B
.
{\displaystyle \mathbf {T} _{A}^{B}.}
Niech dane będą przestrzenie liniowe
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
liczb rzeczywistych ) oraz przekształcenie liniowe
T
:
R
2
→
R
3
{\displaystyle \mathrm {T} \colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}
T
(
[
a
,
b
]
)
=
[
a
,
2
b
,
a
+
b
]
{\displaystyle \mathrm {T} {\big (}[a,b]{\big )}=[a,2b,a+b]}
w bazach standardowych . Macierz
T
{\displaystyle \mathbf {T} }
T
{\displaystyle \mathrm {T} }
A
=
(
[
2
,
0
]
,
[
0
,
3
]
)
{\displaystyle A={\big (}[2,0],[0,3]{\big )}}
B
=
(
[
1
,
1
,
1
]
,
[
1
,
1
,
0
]
,
[
1
,
0
,
0
]
)
{\displaystyle B={\big (}[1,1,1],[1,1,0],[1,0,0]{\big )}}
T
A
B
=
[
2
3
−
2
3
2
−
6
]
,
{\displaystyle \mathbf {T} _{A}^{B}={\begin{bmatrix}\;\;\,2&\;\;\,3\\-2&\;\;\,3\\\;\;\,2&-6\end{bmatrix}},}
gdyż wektory bazowe
A
{\displaystyle A}
[
2
,
0
,
2
]
{\displaystyle [2,0,2]}
[
0
,
6
,
3
]
,
{\displaystyle [0,6,3],}
B
{\displaystyle B}
[
2
,
0
,
2
]
=
2
[
1
,
1
,
1
]
−
2
[
1
,
1
,
0
]
+
2
[
1
,
0
,
0
]
=
[
2
,
−
2
,
2
]
B
{\displaystyle [2,0,2]=2[1,1,1]-2[1,1,0]+2[1,0,0]=[2,-2,2]_{B}}
oraz
[
0
,
6
,
3
]
=
3
[
1
,
1
,
1
]
+
3
[
1
,
1
,
0
]
−
6
[
1
,
0
,
0
]
=
[
3
,
3
,
−
6
]
B
.
{\displaystyle [0,6,3]=3[1,1,1]+3[1,1,0]-6[1,0,0]=[3,3,-6]_{B}.}
Wartość
T
{\displaystyle \mathrm {T} }
B
{\displaystyle B}
x
=
[
6
;
0
,
3
]
,
{\displaystyle \mathbf {x} =[6;\ 0{,}3],}
A
{\displaystyle A}
x
A
=
[
3
;
0
,
1
]
{\displaystyle \mathbf {x} _{A}=[3;\ 0{,}1]}
T
A
B
x
A
,
{\displaystyle \mathbf {T} _{A}^{B}\mathbf {x} _{A},}
[
2
3
−
2
3
2
−
6
]
[
3
0
,
1
]
=
[
6
,
3
−
5
,
7
5
,
4
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\;\;\,2&\;\;\,3\\-2&\;\;\,3\\\;\;\,2&-6\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3\\0{,}1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\;\;\,6{,}3\\-5{,}7\\\;\;\,5{,}4\end{bmatrix}}.}
Endomorfizmy
edytuj
Przekształcenie liniowe
E
:
V
→
V
{\displaystyle \mathrm {E} \colon V\to V}
V
{\displaystyle V}
endomorfizmem (liniowym ), jego macierzą w bazie
A
{\displaystyle A}
E
A
=
M
(
E
)
A
A
.
{\displaystyle \mathbf {E} _{A}=\mathrm {M} (\mathrm {E} )_{A}^{A}.}
Jeśli
A
,
B
{\displaystyle A,B}
V
,
{\displaystyle V,}
A
=
M
(
E
)
A
A
{\displaystyle \mathbf {A} =\mathrm {M} (\mathrm {E} )_{A}^{A}}
B
=
M
(
E
)
B
B
,
{\displaystyle \mathbf {B} =\mathrm {M} (\mathrm {E} )_{B}^{B},}
B
=
M
(
E
)
B
B
=
M
(
i
d
∘
E
∘
i
d
)
B
B
=
M
(
i
d
V
)
A
B
M
(
E
)
A
A
M
(
i
d
)
B
A
=
C
−
1
A
C
,
{\displaystyle \mathbf {B} =\mathrm {M} (\mathrm {E} )_{B}^{B}=\mathrm {M} (\mathrm {id} \circ \mathrm {E} \circ \mathrm {id} )_{B}^{B}=\mathrm {M} (\mathrm {id} _{V})_{A}^{B}\mathrm {M} (\mathrm {E} )_{A}^{A}\mathrm {M} (\mathrm {id} )_{B}^{A}=\mathbf {C} ^{-1}\mathbf {AC} ,}
gdzie
C
=
M
(
i
d
)
B
A
{\displaystyle \mathbf {C} =\mathrm {M} (\mathrm {id} )_{B}^{A}}
B
{\displaystyle B}
A
,
{\displaystyle A,}
Mnożenie macierzy a składanie przekształceń . Własność ta jest podstawą następującej definicji: dowolne macierze
A
,
B
,
{\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} ,}
C
{\displaystyle \mathbf {C} }
B
=
C
−
1
A
C
,
{\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {C} ^{-1}\mathbf {AC} ,}
nazywa się macierzami podobnymi . Macierze te są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy są macierzami tego samego endomorfizmu (co najwyżej w różnych bazach).
Do stwierdzenia podobieństwa macierzy można wykorzystać rząd , wyznacznik i ślad , które nie ulegają zmianie przy endomorfizmach – wielkości te zawiera się zwykle w wielomianie charakterystycznym opisującym dany endomorfizm. Postać i rodzaj endomorfizmu można z kolei uzyskać badając jego wektory i wartości własne . Niektóre endomorfizmy mają w pewnych bazach szczególnie prostą postać, jaką jest macierz diagonalna , czyli przyjmująca niezerowe wartości wyłącznie na głównej przekątnej – nazywa się je diagonalizowalnymi
Choć nie wszystkie macierze kwadratowe są diagonalizowalne, to istnieje szersza od nich klasa macierzy Jordana potęguje . Twierdzenie Jordana mówi z kolei, że dla każdego endomorfizmu przestrzeni liniowej nad ciałem algebraicznie domkniętymi (np. liczbami zespolonymi ) istnieje taka baza, w której macierz tego endomorfizmu ma postać Jordana. Ogólniejsze twierdzenie Frobeniusa umożliwia określenie podobieństwa dowolnych dwóch macierzy kwadratowych za cenę badania pierścienia wielomianów nad ustalonym ciałem, zamiast samego ciała. Wszystkie te twierdzenia są wnioskami z twierdzenia strukturalnego dla skończenie generowanych modułów nad dziedziną ideałów głównych .
Podobne narzędzia wykorzystuje się dla przestrzeni nieskończenie wymiarowych, jednak zamiast zbioru jego wartości własnych (nazywanego widmem punktowym bądź spektrum punktowym ) bada się jego pełne widmo spektrum ). Uogólnieniem diagonalizacji są różnorodne twierdzenia spektralne .
↑ Z definicji macierzy przekształcenia wynika
T
(
u
)
=
T
(
∑
j
=
1
n
u
j
a
j
)
=
∑
j
=
1
n
u
j
T
(
a
j
)
=
∑
j
=
1
n
u
j
∑
i
=
1
m
t
i
j
b
i
=
∑
i
=
1
m
(
∑
j
=
1
n
t
i
j
u
j
)
b
i
=
∑
i
=
1
m
v
i
b
i
=
v
.
{\displaystyle \mathrm {T} (\mathbf {u} )=\mathrm {T} \left(\sum _{j=1}^{n}u_{j}\mathbf {a} _{j}\right)=\sum _{j=1}^{n}u_{j}\mathrm {T} (\mathbf {a} _{j})=\sum _{j=1}^{n}u_{j}\sum _{i=1}^{m}t_{ij}\mathbf {b} _{i}=\sum _{i=1}^{m}\left(\sum _{j=1}^{n}t_{ij}u_{j}\right)\mathbf {b} _{i}=\sum _{i=1}^{m}v_{i}\mathbf {b} _{i}=\mathbf {v} .}
↑ Przyjmując oznaczenia
A
=
(
a
i
)
i
,
B
=
(
b
j
)
j
,
C
=
(
c
k
)
k
,
{\displaystyle A=(\mathbf {a} _{i})_{i},B=(\mathbf {b} _{j})_{j},C=(\mathbf {c} _{k})_{k},}
R
A
B
=
[
r
i
j
]
=
M
(
R
)
A
B
,
S
B
C
=
[
s
i
j
]
=
M
(
S
)
B
C
,
T
A
C
=
[
t
i
j
]
=
M
(
S
∘
R
)
A
C
{\displaystyle \mathbf {R} _{A}^{B}=[r_{ij}]=\mathrm {M} (R)_{A}^{B},\mathbf {S} _{B}^{C}=[s_{ij}]=\mathrm {M} (S)_{B}^{C},\mathbf {T} _{A}^{C}=[t_{ij}]=\mathrm {M} (\mathrm {S} \circ \mathrm {R} )_{A}^{C}}
(
S
∘
R
)
(
a
j
)
=
S
(
∑
l
=
1
m
r
l
j
b
l
)
=
∑
l
=
1
m
r
l
j
S
(
b
l
)
=
∑
l
=
1
m
r
l
j
(
∑
i
=
1
k
s
i
l
c
j
)
=
∑
i
=
1
k
(
∑
l
=
1
m
r
l
j
t
i
l
)
c
j
=
∑
i
=
1
k
t
i
j
c
j
,
{\displaystyle (\mathrm {S} \circ \mathrm {R} )(\mathbf {a} _{j})=\mathrm {S} \left(\sum _{l=1}^{m}r_{lj}\mathbf {b} _{l}\right)=\sum _{l=1}^{m}r_{lj}\mathrm {S} (\mathbf {b} _{l})=\sum _{l=1}^{m}r_{lj}\left(\sum _{i=1}^{k}s_{il}\mathbf {c} _{j}\right)=\sum _{i=1}^{k}\left(\sum _{l=1}^{m}r_{lj}t_{il}\right)\mathbf {c} _{j}=\sum _{i=1}^{k}t_{ij}\mathbf {c} _{j},}
T
A
C
=
S
B
C
R
A
B
,
{\displaystyle \mathbf {T} _{A}^{C}=\mathbf {S} _{B}^{C}\mathbf {R} _{A}^{B},}
↑ Wynika to z równości
T
A
′
B
′
=
M
(
T
)
A
′
B
′
=
M
(
i
d
V
∘
T
∘
i
d
U
)
A
′
B
′
=
M
(
i
d
V
)
B
B
′
M
(
T
)
A
B
M
(
i
d
U
)
A
′
A
=
B
B
′
T
A
B
A
A
′
.
{\displaystyle \mathbf {T} _{A'}^{B'}=\mathrm {M} (\mathrm {T} )_{A'}^{B'}=\mathrm {M} (\mathrm {id} _{V}\circ \mathrm {T} \circ \mathrm {id} _{U})_{A'}^{B'}=\mathrm {M} (\mathrm {id} _{V})_{B}^{B'}\mathrm {M} (\mathrm {T} )_{A}^{B}\mathrm {M} (\mathrm {id} _{U})_{A'}^{A}=\mathbf {B} '_{B}\mathbf {T} _{A}^{B}\mathbf {A} _{A'}.}
![{\displaystyle \mathbf {T} _{A}^{B}=[t_{ij}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c70c8f59b23f25719c38fc599337701572929fe)
![{\displaystyle \mathbf {u} _{A}=[u_{1},\dots ,u_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db6ae8b63a497af3f9efb430ef50e46692a15ff7)
![{\displaystyle \mathbf {v} _{B}=[v_{1},\dots ,v_{m}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5bc6cc9507134ef76d25f44432bcf524eeb542a)
![{\displaystyle \mathbf {T} _{A}^{B}=[t_{ij}]=\mathrm {M} (\mathrm {T} )_{A}^{B},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ce3f397b73ee041ab82973400e511b09d42236f)
![{\displaystyle \mathbf {C} _{A}^{B}=[c_{ij}]=\mathrm {M} (\mathrm {id} )_{A}^{B},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f04ef93c74d70f1c9c1f40d8a4c050324c56370)
![{\displaystyle \mathbf {u} _{B}=[v_{1},\dots ,v_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2c04a04e73b21528fdc15f73eba77f762391c58)
![{\displaystyle \mathrm {T} {\big (}[a,b]{\big )}=[a,2b,a+b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb69c18e63cd37134d777660a579834da9d63a2b)
![{\displaystyle A={\big (}[2,0],[0,3]{\big )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79d60e6f97ffb625a861b441695c372e1f55bdcc)
![{\displaystyle B={\big (}[1,1,1],[1,1,0],[1,0,0]{\big )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39a42fa92675b36c72c6e56ab3f1616af67e28aa)
![{\displaystyle [2,0,2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55bb3e056e1d84cb0488aba269456049bfa85f53)
![{\displaystyle [0,6,3],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f1725ba7ee9716a5c44c575cdc620d4c4c21204)
![{\displaystyle [2,0,2]=2[1,1,1]-2[1,1,0]+2[1,0,0]=[2,-2,2]_{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f84c5046b68011ffa37e864c49d8434f8bc9aebf)
![{\displaystyle [0,6,3]=3[1,1,1]+3[1,1,0]-6[1,0,0]=[3,3,-6]_{B}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dde59c695e3eb126489b622bcf20cef9b7e4b217)
![{\displaystyle \mathbf {x} =[6;\ 0{,}3],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27f92820ea44cfae6d981ada9b5c4166fa9f6de1)
![{\displaystyle \mathbf {x} _{A}=[3;\ 0{,}1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85a774e6bbe0f87c271c622a528e1bd6d32b920b)
![{\displaystyle \mathbf {R} _{A}^{B}=[r_{ij}]=\mathrm {M} (R)_{A}^{B},\mathbf {S} _{B}^{C}=[s_{ij}]=\mathrm {M} (S)_{B}^{C},\mathbf {T} _{A}^{C}=[t_{ij}]=\mathrm {M} (\mathrm {S} \circ \mathrm {R} )_{A}^{C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e634428f2ddc821521a43ccec1660f28c1945b72)
