Moduł dualny

Moduł dualny – moduł form liniowych określonych na danym module. W przypadku przestrzeni liniowych skończonego wymiaru (zob. osobną sekcję), czy nawet skończenie generowanych modułów wolnych^[a], elementy modułu dualnego do niego można uważać za „potencjalne funkcje współrzędnych” na tym module (wraz z funkcją zerową w celu uzyskania struktury modułu, por. przestrzeń funkcyjna); w ogólności spojrzenie to jest zbyt daleko idącym uproszczeniem (por. Przykłady).

Struktury te pojawiają się w różnych działach matematyki: w algebrze liniowej jako funkcje współrzędnych przestrzeni współrzędnych (tzw. rzuty na współrzędne), w analizie podczas całkowania na przestrzeni funkcji ciągłych, w geometrii przy definicji przestrzeni stycznej (pochodne kierunkowe), w teorii liczb jako różne ideały ciała liczbowego.

Definicja edytuj

Niech $M,N$ będą (lewostronnymi) modułami nad pierścieniem przemiennym $R.$ Zbiór $\mathrm {Hom} _{R}(M,N)$ wszystkich homomorfizmów liniowych (tj. przekształceń liniowych) $M\to N$ sam ma strukturę modułu nazywanego modułem dualnym do $M$ względem $N$ ^[b]. Jeśli $N=R,$ to $\mathrm {Hom} _{R}(M,R)$ nazywa się po prostu modułem dualnym do $M,$ bądź przestrzenią dualną lub sprzężoną (w przypadku przestrzeni liniowej $M,$ czyli modułu nad ciałem $R;$ zob. Przestrzenie liniowe i przestrzeń funkcyjna), i oznacza symbolem $M^{\star }$ ^[c].

Przypadek modułów dualnych względem siebie omówiono w artykule o parze dualnej koncentrując się w tym na modułach form liniowych nad pierścieniem $R$ (przemiennym z jedynką), o ile nie zaznaczono inaczej. Dalej $\mathrm {Hom} _{R}(X,Y)$ będzie zapisywane po prostu $\mathrm {Hom} (X,Y).$

Sumy i produkty proste edytuj

Konstrukcja modułu dualnego jest przemienna (z dokładnością do izomorfizmu) z konstrukcją sumy prostej modułów: $(M\oplus N)^{\star }\simeq M^{\star }\oplus N^{\star }$ ^[d]. Ponieważ suma prosta modułów jest łączna (z dokładnością do izomorfizmu), to powyższa uwaga rozciąga się poprzez indukcję na sumy proste dowolnej skończonej liczbie składników: moduł dualny do sumy prostej modułów jest izomorficzny z sumą prostą modułów dualnych. Nie jest to jednak prawdą dla modułu dualnego do sumy prostej nieskończenie wielu modułów, który jest izomorficzny z produktem prostym modułów dualnych: jeśli $(M_{i})$ jest rodziną modułów, to istnieje izomorfizm $\left(\bigoplus M_{i}\right)^{\star }\simeq \prod M_{i}^{\star }$ ^[e]^[f]. Wynika stąd, że dualizacja przekształca sumy proste w produkty proste; z drugiej strony istnieje zanurzenie sumy prostej modułów dualnych w module dualnym do produktu prostego modułów, lecz w ogólności brak izomorfizmu między tymi strukturami; nie mniej istnieje przekształcenie $\left(\bigoplus M_{i}\right)^{\star }\to \prod M_{i}^{\star }$ będące iniekcją^[g], które zwykle nie jest bijekcją (zob. ostatni przykład).

Dowolny skończenie generowany moduł wolny $M$ nad $R$ rangi $n>0$ ma postać $M\simeq R^{n}.$ Moduł $M^{\star }$ dualny do niego również jest tej postaci^[h]^[i]; jeśli $M$ jest modułem wolnym nieskończonej rangi (tj. nieskończenie generowanym), to $M^{\star }$ nie musi być wolny^[j].

Bazy dualne edytuj

Niech $M\simeq R^{n},$ wtedy też $M^{\star }\simeq R^{n}$ (zob. poprzednią sekcję). Wybranie bazy $({\mathsf {e}}_{i})$ w $M$ sprawia, że każda forma liniowa $\varphi \in M^{\star }$ jest całkowicie wyznaczona za pomocą wartości przyjmowanych na każdym elemencie bazy $M$ odwzorowując $\varphi \in M^{\star }$ w element $(\varphi ({\mathsf {e}}_{1}),\dots ,\varphi ({\mathsf {e}}_{n}))\in R^{n}$ – jest to zanurzenie $M^{\star }\to R^{n},$ które jest również suriekcją (w ten sposób powstaje każdy element $R^{n}$ ): jeśli $\varphi _{i}(c_{1}{\mathsf {e}}_{1}+\ldots +c_{n}{\mathsf {e}}_{n})$ są rzutami względem bazy $({\mathsf {e}}_{i})$ na każdą ze współrzędnych, to w danym zanurzeniu ta forma liniowa przechodzi na element bazowy ${\mathsf {e}}_{i};$ oznacza to, że $M^{\star }\to R^{n}$ jest izomorfizmem, a stąd wspomniane rzuty tworzą bazę $M^{\star }.$

Bazą dualną do bazy ${\mathsf {e}}_{1},\dots ,{\mathsf {e}}_{n}$ modułu $M$ nazywa się rzuty na poszczególne współrzędne wskazywane przez tę bazę, oznacza się je symbolami ${\mathsf {e}}_{1}^{\star },\dots ,{\mathsf {e}}_{n}^{\star }$ (wyżej: $\varphi _{1},\dots ,\varphi _{n}$ ). Wspomniane formy liniowe $M\to R$ wyznaczone są za pomocą warunków:

{\mathsf {e}}_{i}^{\star }({\mathsf {e}}_{j})=\delta _{ij}={\begin{cases}1&{\text{dla }}i=j,\\0&{\text{dla }}i\neq j,\end{cases}}

gdzie $\delta _{ij}$ jest tzw. deltą albo symbolem Kroneckera.

Dwukrotna dualność edytuj

Zobacz też: transformacja naturalna.

W powyższym przypadku izomorfizm między $M^{\star }$ a $M$ zależał od wyboru bazy – nie był on więc kanoniczny, gdyż moduł wolny nie ma wyróżnionej bazy. Jednakże istnieje wtedy naturalnie określony (tzn. niewymagający arbitralnych wyborów) izomorfizm między modułem $M$ a modułem $M^{\star \star }=\left(M^{\star }\right)^{\star },$ nazywanym modułem dwukrotnie dualnym do modułu $M.$

Element $M^{\star \star }$ jest przekształceniem liniowym $M^{\star }\to R.$ Obliczenie wartości dla dowolnego elementu ${\mathsf {m}}\in M$ jest przekształceniem $M^{\star }\to R,$ które jest liniowe,

(\varphi +\psi )({\mathsf {m}})=\varphi ({\mathsf {m}})+\psi ({\mathsf {m}})\quad {\text{oraz}}\quad (r\varphi )({\mathsf {m}})=r\varphi ({\mathsf {m}}),

wprost z definicji. Niech $\mathrm {ev} _{\mathsf {m}}\colon \varphi \mapsto \varphi ({\mathsf {m}})$ będzie wspomnianym przekształceniem obliczania wartości, tzw. ewaluacji, wtedy $\mathrm {ev} _{\mathsf {m}}\in M^{\star \star }.$ Przekształcenie $M\to M^{\star \star }$ dane wzorem ${\mathsf {m}}\mapsto \mathrm {ev} _{\mathsf {m}}$ jest addytywne, gdyż

\mathrm {ev} _{{\mathsf {m}}+{\mathsf {m}}'}(\varphi )=\varphi ({\mathsf {m}}+{\mathsf {m}}')=\varphi ({\mathsf {m}})+\varphi ({\mathsf {m}}')=\mathrm {ev} _{\mathsf {m}}(\varphi )+\mathrm {ev} _{{\mathsf {m}}'}(\varphi )=(\mathrm {ev} _{\mathsf {m}}+\mathrm {ev} _{{\mathsf {m}}'})(\varphi ),

czyli $\mathrm {ev} _{{\mathsf {m}}+{\mathsf {m}}'}=\mathrm {ev} _{\mathsf {m}}+\mathrm {ev} _{{\mathsf {m}}'}$ (kluczowe jest, iż elementy $M^{\star }$ są addytywne!); podobnie $\mathrm {ev} _{c{\mathsf {m}}}=c\mathrm {ev} _{\mathsf {m}},$ co oznacza, że odwzorowanie ${\mathsf {m}}\mapsto \mathrm {ev} _{\mathsf {m}}$ jest przekształceniem liniowym $M\to M^{\star \star }$ dla dowolnego modułu $M$ – bywa ono nazywane przekształceniem naturalnym.

Jeśli $M$ jest skończenie generowany i wolny, to przekształcenie naturalne $M\to M^{\star \star }$ jest izomorfizmem^[k], które nazywa się izomorfizmem naturalnym między modułem a modułem dwukrotnie do niego dualnym. W izomorfizmie tym bazą $M^{\star \star }$ dualną do bazy dualnej $({\mathsf {e}}_{i}^{\star })$ modułu dualnego $M^{\star }$ jest baza $({\mathsf {e}}_{i}),$ istotnie:

\mathrm {ev} _{{\mathsf {e}}_{i}}({\mathsf {e}}_{j}^{\star })={\mathsf {e}}_{j}^{\star }({\mathsf {e}}_{i})=\delta _{ij}={\begin{cases}1&{\text{dla }}i=j,\\0&{\text{dla }}i\neq j.\end{cases}}

Moduły $M,$ dla których istnieje izomorfizm $M\to M^{\star \star }$ (niekoniecznie naturalny!) nazywa się refleksywnymi.

Przekształcenia dualne edytuj

Niech $\mathrm {L} \colon M\to N$ będzie odwzorowaniem liniowym między dwoma modułami. Można je wykorzystać do przekształcenia form liniowych na $M$ w formy liniowe na $N,$ mianowicie: jeśli $\varphi \in N^{\star },$ to $\varphi \circ \mathrm {L} \in M^{\star }.$ Odwzorowanie $\mathrm {L} ^{\star }\colon N^{\star }\to M^{\star }$ dane wzorem

\mathrm {L} ^{\star }(\varphi )=\varphi \circ \mathrm {L}

jest liniowe^[l] – nazywa się je przekształceniem dualnym albo sprzężonym do $\mathrm {L}$ ^[m].

Przekształcenie $(\cdot )^{\star }\colon \mathrm {Hom} (M,N)\to \mathrm {Hom} \left(N^{\star },M^{\star }\right),$ nazywane tutaj dualizacją, dane wzorem $\mathrm {L} \mapsto \mathrm {L} ^{\star }$ również jest liniowe^[n], a ponadto funktorialne, tj. zachowuje identyczność^[o] oraz oddziałuje w określony sposób ze złożeniem (w tym wypadku odwraca jego porządek), mianowicie: jeśli $\mathrm {L} _{1}\colon M\to N$ oraz $\mathrm {L} _{2}\colon N\to P$ są przekształceniami liniowymi między modułami, to przekształcenie dualne $P^{\star }\to M^{\star }$ do złożenia $\mathrm {L} _{2}\circ \mathrm {L} _{1}\colon M\to P$ dane jest wzorem $(\mathrm {L} _{2}\circ \mathrm {L} _{1})^{\star }=\mathrm {L} _{1}^{\star }\circ \mathrm {L} _{2}^{\star }$ ^[p]. Wynika stąd, że jeżeli $\mathrm {L} \colon M\to N$ jest izomorfizmem modułów, to $\mathrm {L} ^{\star }\colon N^{\star }\to M^{\star }$ jest izomorfizmem ich modułów dualnych, a ponadto $\left(\mathrm {L} ^{\star }\right)^{-1}=\left(\mathrm {L} ^{-1}\right)^{\star }$ ^[q].

Jeśli $M,N$ są skończenie generowanymi modułami wolnymi, to przekształcenie $(\cdot )^{\star }$ jest izomorfizmem^[r]^[s], a każde przekształcenie liniowe $\mathrm {L} \colon M\to N$ można utożsamiać z $\mathrm {L} ^{\star \star }\colon N^{\star \star }\to M^{\star \star }$ poprzez izomorfizm naturalny^[t]^[u]. Jeśli moduły te mają bazy odpowiednio $E=({\mathsf {e}}_{1},\dots ,{\mathsf {e}}_{m})$ oraz $F=({\mathsf {f}}_{1},\dots ,{\mathsf {f}}_{n}),$ przy czym ich bazy dualne oznaczane będą kolejno $E^{\star }=({\mathsf {e}}_{1}^{\star },\dots ,{\mathsf {e}}_{m}^{\star })$ oraz $F^{\star }=({\mathsf {f}}_{1}^{\star },\dots ,{\mathsf {f}}_{m}^{\star }),$ to macierze $\mathbf {L} =\mathrm {M} (\mathrm {L} )_{E}^{F}$ typu $n\times m$ oraz $\mathbf {L} ^{\star }=\mathrm {M} (\mathrm {L} ^{\star })_{F^{\star }}^{E^{\star }}$ typu $m\times n$ reprezentujące $\mathrm {L}$ i $\mathrm {L} ^{\star }$ w odpowiednich bazach (zob. macierz przekształcenia liniowego) są transponowane jedna względem drugiej^[v].

Twierdzenia z przedostatniego akapitu stanowią uogólnienie własności transpozycji macierzy nad pierścieniem $R,$ kolejno $(c\mathbf {A} +d\mathbf {B} )^{\mathrm {T} }=c\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }+d\mathbf {B} ^{\mathrm {T} },$ $(\mathbf {AB} )^{\mathrm {T} }=\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{\mathrm {T} },$ $(c\mathbf {I} )^{\mathrm {T} }=c\mathbf {I} ^{\mathrm {T} }$ oraz $(\mathbf {A} ^{-1})^{\mathrm {T} }=(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })^{-1}$ dla dowolnych macierzy $\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,$ dla których wspomniane działania mają sens. Mają one tę zasadniczą przewagę nad odpowiadającymi im twierdzeniami macierzowymi (które można by chcieć uzyskać na mocy twierdzenia z poprzedniego akapitu), iż zachodzą one dla modułów, które nie muszą być wolne i skończenie generowane. Tłumaczą one koncepcyjnie z jakiego powodu transpozycja macierzy odwraca porządek mnożenia, podobnie jak interpretacja mnożenia macierzy jako złożenia przekształceń tłumaczy łączność i nieprzemienność mnożenia macierzy poprzez łączność i nieprzemienność składania funkcji – w ten sposób transpozycja macierzy jest przypadkiem szczególnym konstrukcji przekształcenia dualnego dla skończenie generowanych modułów wolnych.

Dualizacja przekształca suriektywność w iniektywność: jeżeli $\mathrm {L}$ jest „na”, to $\mathrm {L} ^{\star }$ jest „1-1”^[w]. Jeśli $\mathrm {L}$ jest różnowartościowe, to $M$ można postrzegać jako podmoduł $N,$ tzn. $M\simeq \mathrm {L} (M)\subseteq N;$ dla $\varphi \in N^{\star }$ przekształcenie $\mathrm {L} ^{\star }(\varphi )=\varphi \circ \mathrm {L}$ jest z tego punktu widzenia zawężeniem $\varphi$ do podmodułu $\mathrm {L} (M)\subseteq N.$ Fakt, iż odwzorowanie $\mathrm {L} ^{\star }$ jest „na” oznacza, że każda forma liniowa $\psi \colon M\to R$ jest postaci $\varphi \circ \mathrm {L} ,$ co jest równoważne stwierdzeniu, iż każde przekształcenie liniowe $\mathrm {L} (M)\to R$ można przedłużyć do przekształcenia liniowego $N\to R,$ a więc $N$ ma taką własność, że wszystkie elementy modułu dualnego do podmodułu $\mathrm {L} (M)\subseteq N$ przedłużają się do elementów modułu dualnego do $N.$ W ogólności własność ta nie zachodzi^[x]; istnieje jednak ważny przypadek, w którym dualizacja przekształca iniektywne przekształcenia liniowe w suriektywne – $R$ jest ciałem: niech $M,N$ będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem $K,$ wtedy jeśli przekształcenie $\mathrm {L} \colon M\to N$ jest „1-1”, to $\mathrm {L} ^{\star }$ jest „na”^[y] – twierdzenie to obowiązuje nie tylko dla przestrzeni liniowych skończonego wymiaru, lecz wszystkich przestrzeni liniowych: dowolna niezerowa przestrzeń liniowa ma bazę (twierdzenie Hamela), a bazę podprzestrzeni liniowej można rozszerzyć do bazy całej przestrzeni (twierdzenie Steinitza). Przypadek nieskończeniewymiarowy wymaga lematu Kuratowskiego-Zorna, a więc z pewnością nie jest konstruktywny. Z powyższego wynika także, że jeśli $\mathrm {L} \colon M\to N$ dla modułów $M,N$ jest „1-1”, a $\mathrm {L} (M)$ jest składnikiem prostym $N,$ to $\mathrm {L} ^{\star }$ jest „na”^[z]^[aa].

Przestrzenie liniowe edytuj

Zobacz też: przestrzeń funkcyjna i przestrzeń dualna ciągłych form liniowych.

Ponieważ przestrzeń liniowa skończonego wymiaru nad danym ciałem ma formalnie strukturę modułu wolnego skończonej rangi (tj. skończenie generowanego, nad tym ciałem) – wolność oznacza istnienie bazy, a skończona ranga odpowiada skończonemu wymiarowi – to wszystkie wymienione wyżej własności modułów dualnych (do skończenie generowanych modułów wolnych) przenoszą się wprost na przestrzenie dualne (do przestrzeni liniowych).

Jeśli przestrzeń liniowa $V$ jest nieskończonego wymiaru, to za pomocą lematu Kuratowskiego-Zorna można wykazać, iż

\dim _{K}V<\dim _{K}V^{\star }<\dim _{K}V^{\star \star },

co oznacza, że w ogólności $V$ nie jest izomorficzna, z przestrzenią dwukrotnie do niej dualną $V^{\star \star }$ (zob. ostatni przykład). W wielu jednak wypadkach przekształcenie naturalne $V\to V^{\star \star }$ jest izomorfizmem zupełnie jak w przypadku skończeniewymiarowym.

W analizie często rozpatruje się nieskończeniewymiarowe przestrzenie liniowe $V$ nad ciałami liczb rzeczywistych $\mathbb {R}$ lub zespolonych $\mathbb {C} .$ Zwykle jest na niej określona pewna topologia; chcąc ją uwzględnić (zachować) przestrzeń dualną $V'$ definiuje się jako przestrzeń tylko tych form liniowych na $V,$ które są ciągłe (w tej topologii, nie zaś wszystkich). Ta „topologiczna” przestrzeń dualna $V'$ jest znacznie mniejsza niż wyłącznie „algebraiczna” przestrzeń dualna $V^{\star }$ i sama może być wyposażona w dogodną topologię – dla odróżnienia nazywa się je też przestrzeniami sprzężonymi algebraicznie oraz topologicznie. W przypadku skończeniewymiarowym zachodzi $V'=V^{\star },$ gdyż nie istnieją wtedy nieciągłe formy liniowe określone na $V.$

Przykłady edytuj

Przykładami funkcjonałów na przestrzeni euklidesowej $\mathbb {R} ^{n}$ są rzuty na współrzędne standardowe:

c_{1}\mathbf {e} _{1}+\ldots +c_{n}\mathbf {e} _{n}\mapsto c_{i}.

Ogólniej, branie iloczynu skalarnego przez ustalony wektor $\mathbb {R} ^{n}$ daje element przestrzeni dualnej: niech dla każdego $\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}$ dana będzie forma $\varphi _{\mathbf {v} }\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ wzorem

\varphi _{\mathbf {v} }(\mathbf {w} )=\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} =v_{1}w_{1}+\ldots +v_{n}w_{n}.

Rzuty na współrzędne standardowe uzyskuje się biorąc $\mathbf {v}$ będące wektorami bazy standardowej $\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}.$ Izomorfizm $\mathbb {R} ^{n}\simeq \left(\mathbb {R} ^{n}\right)^{\star }$ ustala przekształcenie $\mathbf {v} \mapsto \varphi _{\mathbf {v} },$ tj. wyżej wskazane elementy przestrzeni dualnej są już wszystkimi możliwymi^[ab]. Analogicznie ma się rzecz z dowolnym modułem $R^{n}$ (wystarczy wyżej zamienić „wektor” $\mathbf {u}$ na „element” ${\mathsf {u}}$ oraz „przestrzeń dualna” na „moduł dualny”). W szczególności $R^{\star }=\mathrm {Hom} (R,R)$ jest izomorficzny z $R$ w tym sensie, iż każde przekształcenie liniowe $R\to R$ jest postaci $\varphi _{a}(r)=ar$ dla danego $a\in R$ ^[ac].

Niech $R=\mathbb {Z} ,$ tj. rozważane $R$ -moduły będą grupami abelowymi; dla danej grupy abelowej $A$ jej $\mathbb {Z}$ -dualną do niej jest $A^{\star }=\mathrm {Hom} (A,\mathbb {Z} ).$ Jeśli $A=\mathbb {Z} ^{n},$ to $A^{\star }$ można utożsamiać z $A$ za pomocą iloczynu skalarnego zupełnie jak wyżej. Z drugiej strony jednak, jeśli $A=\mathbb {Q}$ będzie traktowana jako $\mathbb {Z}$ -moduł, to $\mathbb {Q} ^{\star }=\mathrm {Hom} (\mathbb {Q} ,\mathbb {Z} )$ jest trywialny^[ad]; traktując z kolei $\mathbb {Q}$ jako przestrzeń $\mathbb {Q}$ -liniową otrzymuje się nietrywialną $\mathbb {Q} ^{\star }=\mathrm {Hom} (\mathbb {Q} ,\mathbb {Q} )$ ^[ae] – uzmysławia to istotność uwzględniania pierścienia, nad którym rozpatruje się moduł dualny do danego. Jeżeli $A$ jest skończoną grupą abelową, to jej $\mathbb {Z}$ -dualna jest zerowa^[af]^[ag]; przykładowo: jeśli $A=\mathbb {Z} \oplus (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ),$ to $A^{\star }\simeq \mathbb {Z} ^{\star }\oplus (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{\star }=\mathbb {Z} ^{\star },$ a ponieważ $\mathbb {Z} ^{\star }\simeq \mathbb {Z}$ z pierwszego przykładu, to $A$ składa się z funkcji $f_{k}(x,y)=kx$ dla różnych $k\in \mathbb {Z}$ (por. podgrupa torsyjna i ranga grupy abelowej).

Niech $R$ będzie dziedziną całkowitości z ciałem ułamków $K,$ a $I$ będzie ideałem w $R.$ Wówczas $I^{\star }=\mathrm {Hom} (I,R)$ można interpretować jako $\{c\in K\colon cI\subseteq R\}$ ^[ah]. Jeżeli $R=\mathbb {Z} [X],$ zaś $I=(2,X)$ jest ideałem maksymalnym tej dziedziny z jednoznacznością rozkładu, to ponieważ $2,X$ są w niej względnie pierwsze, to

I^{\star }={\big \{}f\in \mathbb {Q} (X)\colon fI\subseteq R{\big \}}={\big \{}f\in \mathbb {Q} (X)\colon 2f\in \mathbb {Z} [X]{\text{ i }}Xf\in \mathbb {Z} [X]{\big \}}=\mathbb {Z} [X],

tj. jedynymi przekształceniami $\mathbb {Z} [X]$ -liniowymi $(2,X)\to \mathbb {Z} [X]$ są mnożenia $h\mapsto gh$ dla $g\in \mathbb {Z} [X].$

Niech $R=\mathbb {R} ,$ a $M=N=\mathbb {C} ;$ baza dualna $\{f_{1},f_{2}\}$ przestrzeni liniowej $\mathbb {C} ^{\star }$ do bazy standardowej $\{1,i\}$ przestrzeni $\mathbb {R}$ -liniowej $\mathbb {C}$ jest postaci $\{\mathrm {Re} ,\mathrm {Im} \}$ ^[ai]. Niech odwzorowanie $\mathrm {L} \colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ dane będzie wzorem $\mathrm {L} (z)=(2+i)z+{\overline {z}};$ jest ono $\mathbb {R}$ -liniowe, przy czym $\mathrm {L} (1)=3+i$ oraz $\mathrm {L} (i)=-1+i.$ W bazie standardowej (dla dziedziny i przeciwdziedziny) $\mathbb {C}$ przekształcenie $\mathrm {L}$ reprezentowane jest za pomocą macierzy $\left[{\begin{smallmatrix}3&-1\\1&\ 1\end{smallmatrix}}\right].$ Macierzą $\mathrm {L} ^{\star }$ w bazie $\{\mathrm {Re} ,\mathrm {Im} \}$ przestrzeni $\mathbb {C} ^{\star }$ jest macierz $\left[{\begin{smallmatrix}\ 3&1\\-1&1\end{smallmatrix}}\right]$ transponowana do macierzy odwzorowania $\mathrm {L}$ ^[aj] (zob. macierz przekształcenia liniowego).

Jeśli $R=\mathbb {R} ,$ zaś $M=\mathbb {R} [X]$ oraz $N=\mathbb {R} ^{2},$ a ponadto $\mathrm {L} \colon M\to N$ dane jest wzorem $\mathrm {L} f(X)=f(0),f(1),$ to odwzorowanie $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ dane wzorem $\varphi (x,y)=2x+3y$ należy do przestrzeni dualnej do $\mathbb {R} ^{2},$ a złożenie $\varphi \circ \mathrm {L} ,$ które przeprowadza $f(X)$ na $2f(0)+3f(1)$ należy do przestrzeni dualnej do $\mathbb {R} [X]$ – złożeniem tym jest $\mathrm {L} ^{\star }(\varphi ).$

Niech $K$ będzie ciałem skończonym (np. $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ dla liczby pierwszej $p$ ), a zbiór $V=\bigoplus K$ będzie sumą prostą przeliczalnie wielu egzemplarzy $K.$ Zbiór ten jest przeliczalny, z kolei zbiór $V^{\star }\simeq \prod (K^{\star })$ jest nieprzeliczalny (zob. Sumy i produkty proste). Przekształcenie dualne do włożenia $\bigoplus K\hookrightarrow \prod K$ jest suriekcją (zob. Przekształcenia dualne) przestrzeni dualnych w odwrotnym porządku: $\left(\prod K\right)^{\star }\to \!\!\!\!\!\to \left(\bigoplus K\right)^{\star }=V^{\star };$ w ten sposób $\left(\prod K\right)^{\star }$ jest zbiorem nieprzeliczalnym jako dziedzina suriekcji na zbiór nieprzeliczalny. Ponieważ $K^{\star }\simeq K$ jako przestrzenie liniowe (wymiaru jeden) oraz $V^{\star \star }\simeq \left(\prod K^{\star }\right)^{\star }\simeq \left(\prod K\right)^{\star },$ to $V^{\star \star }$ jest nieprzeliczalny. Wynika stąd, że przekształcenie naturalne $V\to V^{\star \star }$ (a w istocie żadne przekształcenie tego rodzaju) nie jest suriektywne.

Zobacz też edytuj

Uwagi edytuj

↑ Tzn. modułów, w których można wskazać skończoną bazę; odpowiedników skończeniewymiarowych przestrzeni liniowych, w których skalary tworzą pierścień, a nie ciało (zob. Sumy i produkty proste).
↑ Jeśli $R$ nie byłby przemienny, to wzór $(r\varphi )({\mathsf {m}})=r\varphi ({\mathsf {m}})$ definiuje przekształcenie $M\to N,$ które nie musi być liniowe.
↑ Niekiedy spotyka się oznaczenie $M^{\vee }.$
↑ Jeśli $\varphi \in (M\oplus N)^{\star },$ to $f\in M^{\star },g\in N^{\star }$ dane wzorami $f({\mathsf {m}})=\varphi ({\mathsf {m}},{\mathsf {0}}),g({\mathsf {n}})=\varphi ({\mathsf {0}},{\mathsf {n}})$ umożliwiają zdefiniowanie przekształcenia liniowego $(M\oplus N)^{\star }\to M^{\star }\oplus N^{\star }$ wzorem $\varphi \mapsto (f,g).$ Na odwrót, jeśli $(f,g)\in M^{\star }\oplus N^{\star },$ to przekształcenie $\varphi \colon M\oplus N\to R$ dane wzorem $\varphi ({\mathsf {m}},{\mathsf {n}})=f({\mathsf {m}})+g({\mathsf {n}})$ definiuje formę $\varphi \in (M\oplus N)^{\star }.$ Kończy to konstrukcję przekształcenia liniowego $M^{\star }\oplus N^{\star }\to (M\oplus N)^{\star }$ odwrotnego do powyższego.
↑ Jeśli $\varphi \in \left(\bigoplus M_{i}\right)^{\star },$ tzn. $\varphi \colon \bigoplus M_{i}\to R,$ to $M_{i}$ można postrzegać jako podmoduł $\bigoplus M_{i}$ w standardowy sposób; wówczas zawężenie $\varphi |_{M_{i}}$ jest przekształceniem liniowym należącym do produktu $\prod M_{i}^{\star },$ przy czym brak jakichkolwiek przesłanek za tym, by większość z tych przekształceń była zerowa, dlatego zbiór zawężeń nie tworzy zwykle sumy prostej $M_{i}^{\star }.$ Oto konstrukcja przekształcenia odwrotnego do przekształcenia liniowego $\left(\bigoplus M_{i}\right)^{\star }\to \prod M_{i}^{\star }$ danego wzorem $\varphi \mapsto (\varphi |_{M_{i}}).$ Niech dla dowolnego $(\psi _{i})\in \prod M_{i}^{\star }$ dany będzie $\psi \in \left(\bigoplus M_{i}\right)^{\star }$ wzorem $\psi {\big (}({\mathsf {m}}_{i}){\big )}=\sum \psi _{i}({\mathsf {m}}_{i}).$ Suma ta jest skończona, gdyż $({\mathsf {m}}_{i})$ należy do sumy prostej, zatem prawie wszystkie ${\mathsf {m}}_{i}$ (wszystkie poza skończoną liczbą) są zerowe. Przekształcenie to jest liniowe, zatem należy do modułu dualnego do $\bigoplus M_{i}.$ Stąd odwzorowanie $(\psi _{i})\mapsto \psi$ jest przekształceniem liniowym $\prod M_{i}^{\star }\to \left(\bigoplus M_{i}\right)^{\star }$ odwrotnym do skonstruowanego na początku.
↑ W przytoczonym dowodzie nieistotne było użycie modułów dualnych – możliwe jest sformułowanie twierdzenia dla modułów dualnych względem siebie; ma ono wówczas postać: $\mathrm {Hom} \left(\bigoplus M_{i},N\right)\simeq \prod \mathrm {Hom} (M_{i},N).$ Przyjęcie $N=R$ daje pierwotne stwierdzenie.
↑ Niech $(\varphi _{i})\in \bigoplus M_{i}^{\star },$ a więc wszystkie, poza skończoną liczbą, przekształcenia $\varphi _{i}$ są zerowe; za ich pomocą można zapisać przekształcenie liniowe $\varphi$ w produkt prosty wzorem $\varphi {\big (}({\mathsf {m}}_{i}){\big )}=\sum \varphi _{i}({\mathsf {m}}_{i}),$ przy czym suma ta w istocie jest skończona (ma tylko skończenie wiele niezerowych elementów). Funkcja $(\varphi _{i})\mapsto \varphi$ jest odwzorowaniem liniowym z $\bigoplus M_{i}^{\star }$ w $\left(\prod M_{i}\right)^{\star }$ – jest ono iniektywne, gdyż $(\varphi _{i})$ można odzyskać z $\varphi$ przyjmując $\varphi _{i}({\mathsf {m}}_{i})=\varphi ({\mathsf {m}}),$ gdzie wszystkie współrzędne poza $i$ -tą równą ${\mathsf {m}}_{i}$ są zerowe.
↑ Przypadek $n=0$ dający $M=0$ jest trywialny: wówczas $M^{\star }=0,$ gdyż jedynym odwzorowaniem liniowym $0\to R$ jest forma zerowa.
↑ Jeżeli $M\simeq R^{n},$ to $M^{\star }\simeq \left(R^{n}\right)^{\star }\simeq R^{n}.$ Jeśli $\mathrm {L} \colon M\to R^{n}$ jest izomorfizmem, to izomorfizm $M^{\star }\simeq \left(R^{n}\right)^{\star }$ dany jest poprzez $\varphi \mapsto \varphi \circ \mathrm {L} ,$ gdzie $\varphi \colon R^{n}\to R$ jest formą liniową, a izomorfizm $\varphi _{\mathsf {p}}\colon R^{n}\to \left(R^{n}\right)^{\star }$ ma postać $\varphi _{\mathsf {p}}({\mathsf {q}})=\langle {\mathsf {p}},{\mathsf {q}}\rangle =\sum p_{i}q_{i}.$
↑ Niech $R=\mathbb {Z} ,$ zaś $M=\bigoplus \mathbb {Z}$ będzie modułem wolnym przeliczalnej rangi, wówczas $M^{\star }=\mathrm {Hom} (M,\mathbb {Z} )$ jest izomorficzny z $\prod \mathbb {Z} ,$ który nie jest $\mathbb {Z}$ -modułem wolnym. Jeśli $\prod \mathbb {Z}$ byłby wolny, to wolny byłby dowolny podmoduł modułu wolnego nad dziedziną ideałów głównych (zob. grupa Baera-Speckera, por. twierdzenie strukturalne dla skończenie generowanych modułów nad dziedziną ideałów głównych). Niech $N\subseteq \prod \mathbb {Z}$ będzie modułem składającym się z takich (nieskończonych) ciągów całkowitych $(a_{i}),$ że najwyższa potęga $2$ dzieląca $a_{k}$ dąży do $\infty$ dla $k\to \infty$ (przykładami są $a_{k}=2^{k},$ czy $a_{k}=k!,$ jak również dowolny ciąg, dla którego $a_{k}=0$ dla dużych wszystkich $k;$ kontrprzykładem jest $a_{k}=k$ ). Niech ${\mathsf {e}}_{i}\in N$ ma $i$ -tą współrzędną równą $1,$ a pozostałe równe $0.$ Elementy te nie tworzą bazy $N,$ gdyż nie są nawet jej zbiorem generatorów; jednakże każdy element $N/2N$ ma tylko skończenie wiele niezerowych współrzędnych, a więc redukcje ${\overline {{\mathsf {e}}_{i}}}$ w $N/2N$ generują $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,$ a przy tym są tam liniowo niezależne, a więc tworzą bazę $N/2N,$ skąd $N/2N$ ma przeliczalny wymiar nad $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} .$ Jeżeli $N$ byłby wolny, to niech $(\alpha _{i})$ oznacza $\mathbb {Z}$ -bazę modułu $N;$ wówczas $N=\bigoplus \mathbb {Z} \alpha _{i},$ czyli $N/2N=\bigoplus (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ){\overline {\alpha _{i}}}.$ Ponieważ $N/2N$ ma przeliczalny wymiar nad $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,$ to zbiór wskaźników (dla $i$ ) również musi być przeliczalny, a więc $N$ ma przeliczalną bazę i przeliczalny pierścień skalarów $\mathbb {Z} ,$ co daje przeliczalność $N.$ Z drugiej jednak strony funkcja $\prod \mathbb {Z} \to N$ dana wzorem $(a_{i})\mapsto (2^{i}a_{i})$ jest iniektywna, a więc $N$ jest nieprzeliczalny, gdyż $\prod \mathbb {Z}$ jest nieprzeliczalny. Stąd $N$ nie jest wolny, a co za tym idzie $\prod \mathbb {Z}$ również.
↑ Niech $({\mathsf {e}}_{i})$ będzie bazą $M,$ a $({\mathsf {e}}_{i}^{\star })$ będzie stowarzyszoną z nią bazą $M^{\star }.$ Każdy niezerowy element ${\mathsf {m}}\in M$ ma niezerową współrzędną względem wybranej bazy, zatem $e_{i}^{\star }({\mathsf {m}})\neq 0$ dla pewnego $i.$ Stąd $\mathrm {ev} _{\mathsf {m}}({\mathsf {e}}_{i}^{\star })\neq 0,$ co oznacza, że $\mathrm {ev} _{\mathsf {m}}$ jest niezerowym elementem $M^{\star \star }.$ Tym samym jedynym ${\mathsf {m}},$ dla którego $\mathrm {ev} _{\mathsf {m}}$ jest zerem w $M^{\star \star }$ jest element $0,$ skąd wynika, że dane odwzorowanie $M\to M^{\star \star }$ jest iniektywne. Pozostaje jeszcze wykazać, że każdy element $M^{\star \star }$ jest pewnym $\mathrm {ev} _{\mathsf {m}};$ niech $f\in M^{\star \star },$ należy wskazać ${\mathsf {m}},$ dla którego $f=\mathrm {ev} _{\mathsf {m}},$ tj. $f(\varphi )=\varphi ({\mathsf {m}})$ dla dowolnego $\varphi \in M^{\star }.$ Ponieważ obie strony tego równania są liniowe ze względu na $\varphi ,$ to wystarczy wyznaczyć ${\mathsf {m}},$ które spełnia to równanie dla $\varphi$ przebiegającego bazę dualną $({\mathsf {e}}_{i}^{\star }),$ która rozpina $M^{\star }.$ Niech $a_{i}=f({\mathsf {e}}_{i}^{\star })\in R$ oraz ${\mathsf {m}}=\sum a_{i}{\mathsf {e}}_{i}\in M.$ Wówczas $f({\mathsf {e}}_{i}^{\star })=a_{i}={\mathsf {e}}_{i}^{\star }({\mathsf {m}}),$ czyli $f=\mathrm {ev} _{\mathsf {m}},$ co oznacza, że dane przekształcenie $M\to M^{\star \star }$ jest suriektywne.
↑ Jeśli $\varphi ,\psi \in N^{\star }$ i ${\mathsf {m}}\in M,$ to
$(\mathrm {L} ^{\star }(\varphi +\psi ))({\mathsf {m}})$ $=(\varphi +\psi )(\mathrm {L} ({\mathsf {m}}))$ $=\varphi (\mathrm {L} ({\mathsf {m}}))+\psi (\mathrm {L} ({\mathsf {m}}))$ $=(\mathrm {L} ^{\star }(\varphi ))({\mathsf {m}})+(\mathrm {L} ^{\star }(\psi ))({\mathsf {m}})$ $=(\mathrm {L} ^{\star }(\varphi )+\mathrm {L} ^{\star }(\psi ))({\mathsf {m}}).$
Ponadto dla ${\mathsf {c}}\in R$ zachodzi
$(\mathrm {L} ^{\star }(c\varphi ))({\mathsf {m}})$ $=(c\varphi )(\mathrm {L} ({\mathsf {m}}))$ $=c\varphi (\mathrm {L} ({\mathsf {m}}))$ $=c(\mathrm {L} ^{\star }(\varphi ))({\mathsf {m}})$ $=c\mathrm {L} ^{\star }(\varphi )({\mathsf {m}}).$
Równości te zachodzą dla dowolnego ${\mathsf {m}}\in M,$ zatem $\mathrm {L} ^{\star }(\varphi +\psi )=\mathrm {L} ^{\star }(\varphi )+\mathrm {L} ^{\star }(\psi )$ oraz $\mathrm {L} ^{\star }(c\varphi )=c\mathrm {L} ^{\star }(\varphi )$ należą do $M^{\star }.$
↑ Jeśli $\langle \cdot ,\cdot \rangle \colon M\times M^{\star }\to R$ oraz $[\cdot ,\cdot ]\colon N\times N^{\star }\to R$ oznaczają odpowiednio parowania modułów $M,N$ z modułami do nich dualnymi, to przekształcenie dualne można scharakteryzować za pomocą tożsamości $\langle {\mathsf {m}},\mathrm {L} ^{\star }(\varphi )\rangle =[\mathrm {L} ({\mathsf {m}}),\varphi ]$ (por. sprzężenie hermitowskie).
↑ Należy wykazać, że dla $\mathrm {L} _{1},\mathrm {L} _{2}\in \mathrm {Hom} (M,N)$ zachodzi $(\mathrm {L} _{1}+\mathrm {L} _{2})^{\star }=\mathrm {L} _{1}^{\star }+\mathrm {L} _{2}^{\star },$ tzn. $(\mathrm {L} _{1}+\mathrm {L} _{2})^{\star }(\varphi )=\mathrm {L} _{1}^{\star }(\varphi )+\mathrm {L} _{2}^{\star }(\varphi )$ dla dowolnego $\varphi \in \mathrm {N} ^{\star }.$ Obie strony tej równości należą do $M^{\star },$ zatem równość należy sprawdzić dla dowolnego ${\mathsf {m}}\in M.$ Zachodzi
$((\mathrm {L} _{1}+\mathrm {L} _{2})^{\star }(\varphi ))({\mathsf {m}})$ $=(\varphi \circ (\mathrm {L} _{1}+\mathrm {L} _{2}))({\mathsf {m}})$ $=\varphi ((\mathrm {L} _{1}+\mathrm {L} _{2})({\mathsf {m}}))$ $=\varphi (\mathrm {L} _{1}({\mathsf {m}})+\mathrm {L} _{2}({\mathsf {m}}))$ $=\varphi (\mathrm {L} _{1}({\mathsf {m}}))+\varphi (\mathrm {L} _{2}({\mathsf {m}}))$
oraz
$((\mathrm {L} _{1}^{\star }+\mathrm {L} _{2}^{\star })(\varphi ))({\mathsf {m}})$ $=(\mathrm {L} _{1}^{\star }(\varphi )+\mathrm {L} _{2}^{\star }(\varphi ))({\mathsf {m}})$ $=(\varphi \circ \mathrm {L} _{1}+\varphi \circ \mathrm {L} _{2})({\mathsf {m}})$ $=\varphi (\mathrm {L} _{1}({\mathsf {m}}))+\varphi \mathrm {L} _{2}({\mathsf {m}}),$
przy czym równości spełnione są dla dowolnego ${\mathsf {m}}\in M,$ czyli $(\mathrm {L} _{1}+\mathrm {L} _{2})^{\star }(\varphi )=\left(\mathrm {L} _{1}^{\star }+\mathrm {L} _{2}^{\star }\right)(\varphi )$ należą do $M^{\star },$ a stąd obie strony równości $(\mathrm {L} _{1}+\mathrm {L} _{2})^{\star }$ oraz $\mathrm {L} _{1}^{\star }+\mathrm {L} _{2}^{\star }$ mają tę samą wartość dla każdego ${\mathsf {\varphi }}\in N^{\star },$ skąd $(\mathrm {L} _{1}+\mathrm {L} _{2})^{\star }=\mathrm {L} _{1}^{\star }+\mathrm {L} _{2}^{\star }$ należy do $\mathrm {Hom} (N^{\star },M^{\star }).$ Analogicznie dowodzi się $(c\mathrm {L} )^{\star }=c\mathrm {L} ^{\star }$ dla $c\in R$ oraz $\mathrm {L} \in \mathrm {Hom} (M,N).$
↑ Ponieważ $\mathrm {id} _{M}^{\star }(\varphi )=\varphi \circ \mathrm {id} _{M}=\varphi ,$ a więc $\mathrm {id} _{M}^{\star }=\mathrm {id} _{M^{\star }}.$ Stąd też $(c\,\mathrm {id} _{M})^{\star }=c\,\mathrm {id} _{M^{\star }}$ dla dowolnego $c\in R.$
↑ Dla $\varphi \in P^{\star }$ oraz ${\mathsf {m}}\in M$ zachodzi
$((\mathrm {L} _{2}\circ \mathrm {L} _{1})^{\star }(\varphi )({\mathsf {m}})$ $=\varphi (\mathrm {L} _{2}\circ \mathrm {L} _{1})({\mathsf {m}})$ $=\varphi \mathrm {L} _{2}(\mathrm {L} _{1}({\mathsf {m}}))$ $=\mathrm {L} _{2}^{\star }(\varphi )(\mathrm {L} _{1}({\mathsf {m}})$ $=\mathrm {L} _{1}^{\star }(\mathrm {L} _{2}^{\star }(\varphi ))({\mathsf {m}})$ $=(\mathrm {L} _{1}^{\star }\circ \mathrm {L} _{2}^{\star })(\varphi )({\mathsf {m}}).$
Z równości dla wszystkich ${\mathsf {m}}\in M$ wynika, $(\mathrm {L} _{2}\circ \mathrm {L} _{1})^{\star }(\varphi )=(\mathrm {L} _{1}^{\star }\circ \mathrm {L} _{2}^{\star })(\varphi )$ dla wszystkich $\varphi \in P^{\star },$ skąd $(\mathrm {L} _{2}\circ \mathrm {L} _{1})^{\star }=\mathrm {L} _{1}^{\star }\circ \mathrm {L} _{2}^{\star }$ należy do $\mathrm {Hom} (P^{\star },M^{\star }).$
↑ Z definicji izomorfizmu zachodzą tożsamości $\mathrm {L} ^{-1}\circ \mathrm {L} =\mathrm {id} _{M}$ oraz $\mathrm {L} \circ \mathrm {L} ^{-1}=\mathrm {id} _{N},$ przykładając odwzorowanie dualne do obu stron i korzystając z jego funktorialności otrzymuje się ze złożeń $\mathrm {L} ^{\star }$ i $\left(\mathrm {L} ^{-1}\right)^{\star }$ w obu kierunkach tożsamości na odpowiednich modułach dualnych.
↑ Skoro $M,N$ są skończenie generowane i wolne, to są takie również moduły do nich dualne, a stąd również i $\mathrm {Hom} (M,N),\mathrm {Hom} (N^{\star },M^{\star }).$ Dowód polega na wykazaniu, iż dualizacja przeprowadza bazę $\mathrm {Hom} (M,N)$ w bazę $\mathrm {Hom} (N^{\star },M^{\star }),$ co oznacza już jej izomorficzność. Niech dane będą bazy $({\mathsf {e}}_{i}),({\mathsf {f}}_{j})$ odpowiednio modułów $M,N.$ Bazę $\mathrm {Hom} (M,N)$ tworzą funkcje $\mathrm {L} _{ij}\colon M\to N,$ gdzie $\mathrm {L} _{ij}({\mathsf {e}}_{i})={\mathsf {f}}_{j}$ oraz $\mathrm {L} _{ij}({\mathsf {e}}_{k})={\mathsf {0}}$ dla $k\neq i,$ tj. $\mathrm {L} _{ij}(a_{1}{\mathsf {e}}_{1}+\ldots +a_{r}{\mathsf {e}}_{r})=a_{i}{\mathsf {f}}_{j}.$ Przekształcenia dualne $\mathrm {L} _{ij}^{\star }\colon N^{\star }\to M^{\star }$ tworzą podobną bazę: $\mathrm {L} _{ij}^{\star }$ w działaniu na bazę dualną $\left({\mathsf {f}}_{j}^{\star }\right)$ dla dowolnego wektora bazowego ${\mathsf {e}}_{k}$ przyjmuje postać
$(\mathrm {L} _{ij}^{\star }({\mathsf {f}}_{l}^{\star })({\mathsf {e}}_{k})=\left({\mathsf {f}}_{l}^{\star }\circ \mathrm {L} _{ij}^{\star }\right)({\mathsf {e}}_{k})={\mathsf {f}}_{l}^{\star }(\mathrm {L} _{ij}({\mathsf {e}}_{k}));$
gdy $k=i,$ to zachodzi dalsza równość ${\mathsf {f}}_{l}^{\star }({\mathsf {f}}_{j})$ (w przeciwnym przypadku: element zerowy), a gdy ponadto $l=j,$ to kontynuacją tej tożsamości jest jedynka (w przeciwnym przypadku: zero). Stąd też $\mathrm {L} _{ij}^{\star }({\mathsf {f}}_{j})={\mathsf {e}}_{i}^{\star }$ oraz $\mathrm {L} _{ij}({\mathsf {e}}_{k})={\mathsf {0}}$ dla $l\neq j,$ a więc funkcje $\left(\mathrm {L} _{ij}^{\star }\right)$ tworzą bazę.
↑ Jeśli $M=N,$ to $\mathrm {Hom} (M,M)$ i $\mathrm {Hom} (M^{\star },M^{\star })$ są pierścieniami, a dualizacja jest wtedy ich antyhomomorfizmem, który staje się antyizomorfizmem, gdy $M$ jest skończenie generowany i wolny.
↑ Zastosowanie kolejno izomorfizmu $M\to M^{\star \star }$ oraz $\mathrm {L} ^{\star \star }$ do dowolnie wybranego elementu ${\mathsf {m}}\in M$ daje element $\mathrm {L} ^{\star \star }(\mathrm {ev} _{\mathsf {m}})=\left(\mathrm {L} ^{\star }\right)^{\star }(\mathrm {ev} _{\mathsf {m}})=\mathrm {ev} _{\mathsf {m}}\circ \mathrm {L} ^{\star }$ należący do $N^{\star \star }.$ Z drugiej strony przyłożenie do ${\mathsf {m}}\in M$ przekształcenia $\mathrm {L} ,$ a następnie izomorfizmu $N\to N^{\star \star }$ daje $\mathrm {ev} _{\mathrm {L} ({\mathsf {m}})}.$ Ponieważ dla dowolnego $\varphi \in N^{\star }$ zachodzi
$(\mathrm {ev} _{\mathsf {m}}\circ \mathrm {L} )(\varphi )=\mathrm {ev} _{m}\mathrm {L} ^{\star }(\varphi )=(\varphi \circ \mathrm {L} )({\mathsf {m}})=\varphi \mathrm {L} (\varphi )=\mathrm {ev} _{\mathrm {L} ({\mathsf {m}})}(\varphi ),$
to z faktu, iż równość ta zachodzi dla dowolnego ${\mathsf {m}},$ to $\mathrm {L}$ można utożsamiać z $\mathrm {L} ^{\star \star }.$
↑ Założenia o skończonym generowaniu i wolności modułów $M,N$ potrzebne są jedynie do zapewnienia, iż odwzorowania naturalne $M\to M^{\star \star }$ i $\mathrm {N} \to N^{\star \star }$ są izomorfizmami – w istocie wystarczy więc założenie refleksywności wspomnianych modułów.
↑ Należy wykazać, że $\mathbf {L} ^{\star }=\mathbf {L} ^{\mathrm {T} };$ niech $[\cdot ]_{E}\colon M\to R^{m}$ i $[\cdot ]_{F}\colon N\to R^{n}$ będą izomorfizmami wyrażającymi elementy modułów w odpowiednich bazach, podobnie niech dane będą $[\cdot ]_{E^{\star }}\colon M^{\star }\to R^{m}$ oraz $[\cdot ]_{F^{\star }}\colon N^{\star }\to R^{n}.$ Macierze $\mathbf {L}$ i $\mathbf {L} ^{\star }$ są realizacjami przekształceń $\mathrm {L}$ i $\mathrm {L} ^{\star }$ w wybranych bazach, tj. $[\mathrm {L} ({\mathsf {m}})]_{F}=\mathbf {L} [{\mathsf {m}}]_{E}$ oraz $[\mathrm {L} ^{\star }(\varphi )]_{E^{\star }}=\mathbf {L} [\varphi ]_{F^{\star }}$ dla ${\mathsf {m}}\in M$ i $\varphi \in N^{\star }.$ Ponieważ $[{\mathsf {e}}_{j}]_{E}$ jest $j$ -tym wektorem bazy standardowej $R^{m},$ to $j$ -tą kolumną $\mathbf {L}$ jest $\mathbf {L} [{\mathsf {e}}_{j}]_{E}=[\mathrm {L} ({\mathsf {e}}_{j})]_{F};$ ponieważ $i$ -tą składową tego wektora współrzędnych w $R^{m}$ jest $f_{i}^{\star }\mathrm {L} ({\mathsf {e}}_{j}),$ gdyż $\left[{\mathsf {f}}_{i}^{\star }\right]_{F^{\star }}$ jest $i$ -tym wektorem bazy $F.$ Wynika stąd, że $(i,j)$ -tym elementem macierzy $\mathbf {L}$ jest $f_{i}^{\star }\mathrm {L} ({\mathsf {e}}_{j}).$ Z drugiej strony $i$ -tą kolumną $\mathbf {L} ^{\star }$ jest $\mathbf {L} ^{\star }\left[{\mathsf {f}}_{i}^{\star }\right]_{F^{\star }},$ gdyż $\left[{\mathsf {f}}_{i}^{\star }\right]_{F^{\star }}$ jest $i$ -tym wektorem bazy standardowej $R^{n},$ a z powyższej obserwacji wynika, że $\mathbf {L} ^{\star }\left[{\mathsf {f}}_{i}^{\star }\right]_{F^{\star }}=[\mathrm {L} ^{\star }({\mathsf {f}}_{i}^{\star })]_{E^{\star }}.$ Funkcje współrzędnych na $M^{\star }$ względem $E^{\star }$ są bazą dualną do tej bazy dualnej, co oznacza, że należą one do pierwotnej bazy $E$ przy utożsamieniu $M\simeq M^{\star \star }$ poprzez przekształcenie naturalne. W ten sposób $j$ -tą współrzędną wektora $[\mathrm {L} ^{\star }({\mathsf {f}}_{i}^{\star })]_{E^{\star }}$ jest $\mathrm {ev} _{{\mathsf {e}}_{j}}\mathrm {L} ^{\star }({\mathsf {f}}_{i}^{\star })=\mathrm {L} ^{\star }({\mathsf {f}}_{i}^{\star })({\mathsf {e}}_{j}),$ z definicji $\mathrm {L} ^{\star }$ jest zaś $\mathrm {L} ^{\star }\left({\mathsf {f}}_{i}^{\star }\right)={\mathsf {f}}_{i}^{\star }\circ \mathrm {L} ,$ a więc $(j,i)$ -ty element $\mathbf {L} ^{\star }$ jest równy $(i,j)$ -temu elementowi $\mathbf {L} ,$ co oznacza, że $\mathbf {L} ^{\star }=\mathbf {L} ^{\mathrm {T} }.$
↑ Należy pokazać, że dla $\varphi \in N^{\star }$ oraz $\mathrm {L} ^{\star }(\varphi )=0$ zachodzi $\varphi =0.$ Z definicji jest $\varphi \circ \mathrm {L} =0$ jako funkcja $M\to R,$ a więc $\varphi \mathrm {L} ({\mathsf {m}})=0$ dla wszystkich ${\mathsf {m}}\in M.$ Ponieważ $\mathrm {L}$ jest „na”, to $\{\mathrm {L} ({\mathsf {m}})\colon {\mathsf {m}}\in M\}=N,$ skąd $\varphi =0$ jako forma na $N.$
↑ Niech $R=N=\mathbb {Z}$ oraz $M=2\mathbb {Z} ,$ zaś $\mathrm {L} \colon M\to N$ będzie zanurzeniem naturalnym. Forma $\varphi \colon M\to R$ dana wzorem $\varphi (2a)=a$ jest liniowa, tj. $\varphi \in M^{\star }.$ Fakt, iż $\varphi$ należy do obrazu $\mathrm {L} ^{\star }$ oznacza, że $\varphi$ przedłuża się (za pomocą $\mathrm {L}$ ) do pewnej funkcji na $N^{\star }$ oznaczanej dalej $\Phi .$ Zachodzi $2\Phi (1)=\Phi (2)=\varphi (2)=1,$ co oznacza, że $\Phi (1)$ nie ma rozwiązania w $R=\mathbb {Z} ,$ a więc $\Phi$ nie istnieje. Istotnie, do obrazu $\mathrm {L} ^{\star }$ należą te elementy $M^{\star },$ których obrazem w $R$ jest $2\mathbb {Z} ;$ moduł $M=2\mathbb {Z}$ można zastąpić tu $k\mathbb {Z}$ dla dowolnego $k>1.$
↑ Przypadki $M,N=\{{\mathsf {0}}\}$ są trywialne. Ponieważ przestrzenie liniowe określone są nad ciałami, to podprzestrzeń $\mathrm {L} (M)$ ma dopełnienie proste w $N{:}$ wybierając bazę w $\mathrm {L} (M)$ i rozszerzając ją do bazy $N$ można zapisać $N=\mathrm {L} (M)\oplus P,$ gdzie $P$ jest pewną podprzestrzenią (rozpinaną przez rozszerzenie bazy). Dowolna forma liniowa $\mathrm {L} (M)\to K$ może być rozszerzona do formy $N\to K$ poprzez rzutowanie z $N$ na $\mathrm {L} (M)$ zgodnie z powyższym rozkładem na sumę prostą, a następnie przyłożenie wybranej formy na $\mathrm {L} (M).$ Rozumowanie przedstawione we wprowadzeniu do twierdzenia pokazuje, iż $\mathrm {L} ^{\star }$ jest „na”. Dowód można zakończyć także w następujący sposób: niech $\pi \colon N\to M$ będzie rzutem $N\to \mathrm {L} (M)$ złożonym z funkcją odwrotną do $\mathrm {L}$ (istnieje, gdyż $\mathrm {L}$ z $M$ na $\mathrm {L} (M)$ jest „1-1”, a więc wzajemnie jednoznaczna), tj. $\pi \mathrm {L} (\mathbf {m} )+\mathbf {p} =\mathbf {m} ;$ jest ono liniowe oraz $\pi \circ \mathrm {L} =\mathrm {id} _{M}.$ Dualizacja daje $\mathrm {L} ^{\star }\circ \pi ^{\star }=\mathrm {id} _{M^{\star }},$ co oznacza, że $\mathrm {L} ^{\star }$ jest „na”, gdyż dla każdego $\varphi \in M^{\star }$ zachodzi $\mathrm {L} ^{\star }\pi ^{\star }(\varphi )=\varphi .$
↑ Własność $N=\mathrm {L} (M)\oplus P$ dla pewnego podmodułu $P,$ uzyskana w powyższym dowodzie dla przestrzeni liniowych za pomocą baz, przyjęta jako założenie umożliwia powtórzenie powyższego dowodu w przypadku modułów.
↑ Podany wyżej kontrprzykład korzysta z faktu, iż $2\mathbb {Z}$ nie jest składnikiem prostym $\mathbb {Z} .$
↑ Funkcje $\varphi _{\mathbf {v} }$ są liniowe, zatem należą do $\left(\mathbb {R} ^{n}\right)^{\star };$ co więcej, ponieważ $\varphi _{\mathbf {v} +\mathbf {v} '}=\varphi _{\mathbf {v} }+\varphi _{\mathbf {v} '}$ oraz $\varphi _{c\mathbf {v} }=c\varphi _{\mathbf {v} }$ dla każdego $c\in \mathbb {R} ,$ to odwzorowanie $\mathbf {v}$ w $\varphi _{\mathbf {v} }$ jest przekształceniem liniowym $\mathbb {R} ^{n}\to \left(\mathbb {R} ^{n}\right)^{\star }.$ Jest ono iniektywne, gdyż jeśli $\varphi _{\mathbf {v} }=0$ należy do $\left(\mathbb {R} ^{n}\right)^{\star },$ to wtedy $\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} =0$ dla każdego $\mathbf {w} \in \mathbb {R} ^{n},$ z kolei wzięcie $\mathbf {w} =\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}$ daje $\mathbf {v} =0.$ Aby pokazać suriektywność należy wybrać $f\in \left(\mathbb {R} ^{n}\right)^{\star };$ wówczas dla każdego $\mathbf {w} =(w_{1},\dots ,w_{n})=\sum w_{i}\mathbf {e} _{i}$ należącego do $\mathbb {R} ^{n}$ jest $f(\mathbf {w} )=f\sum w_{i}\mathbf {e} _{i}=\sum w_{i}f(\mathbf {e} _{i})=\varphi _{\mathbf {v} }(\mathbf {w} ),$ gdzie $\mathbf {v} =f(\mathbf {e} _{1}),\dots ,f(\mathbf {e} _{n}),$ czyli $f=\varphi _{\mathbf {v} }$ dla tego wyboru $\mathbf {v} .$
↑ Izomorfizm $R^{\star }\simeq R$ opisuje wzór $\varphi \mapsto \varphi (1),$ a w drugą stronę – $a\mapsto \varphi _{a}.$
↑ Jeśli $f\in \mathbb {Q} ^{\star },$ to dla dowolnego $r\in \mathbb {Q}$ liczba całkowita $f(r)$ spełnia $f(r)=2^{n}f\left(r/2^{n}\right),$ gdzie $f\left(r/2^{n}\right)\in \mathbb {Z} ,$ co oznacza, że $f(r)$ jest podzielne przez dowolnie wysokie potęgi $2.$ Zatem $f(r)=0$ dla wszystkich $r,$ a więc $f=0.$
↑ Która jest w istocie izomorficzna z $\mathbb {Q} .$
↑ Gdyż homomorfizm grup przeprowadza elementy skończonego rzędu $A$ na elementy skończonego rzędu $\mathbb {Z} ,$ a jedynym takim elementem tej grupy jest $0.$
↑ Tego rodzaju dualność nie zdradza nic na temat struktury skończonej grupy abelowej – z tego powodu wprowadza się osobne pojęcie grupy dualnej (w sensie Pontriagina): ${\hat {A}}=\mathrm {Hom} (A,S^{1}),$ czyli zbiór homomorfizmów z $A$ w grupę okręgu $S^{1}\subset \mathbb {C} ^{\times }$ z mnożeniem jako działaniem grupowym; znajduje ono zastosowanie podczas badania charakterów na skończonych grupach abelowych. Dualność Pontriagina stanowi kluczowy element analizy fourierowskiej na lokalnie zwartych grupach abelowych będących uogólnieniem skończonych grup abelowych.
↑ Dla każdego $cI\subseteq R$ funkcja $x\mapsto cx$ jest przekształceniem liniowym $I\to R.$ W drugą stronę, niech $\varphi \colon I\to R$ będzie formą liniową. Dla ustalonego $a\in I$ zachodzi $\varphi (ax)=a\varphi (x)=x\varphi (a)=\varphi (a)x,$ czyli $\varphi (x)=cx$ dla $c=\varphi (a)/a\in K$ dla każdego $x\in I.$ Stąd $cI=\varphi (I)\subseteq R,$ czyli każdy element $I^{\star }$ powstaje w ten sposób.
↑ Gdyż są to funkcje współrzędnych dla bazy standardowej, tj. $f_{1}(a+bi)=a$ i $f_{2}(a+bi)=b$ dla rzeczywistych $a,b,$ a więc $f_{1}=\mathrm {Re}$ jest funkcją części rzeczywistej, a $f_{2}=\mathrm {Im}$ jest funkcją części urojonej.
↑ Należy wyrazić $\mathrm {L} ^{\star }(\mathrm {Re} )$ i $\mathrm {L} ^{\star }(\mathrm {Im} )$ w bazie dualnej: skoro wyrazy te odpowiednio są równe $\mathrm {Re} \circ \mathrm {L}$ oraz $\mathrm {Im} \circ \mathrm {L} ,$ to należy wyznaczyć części rzeczywistą i urojoną wartości odwzorowania $\mathrm {L} .$ Ponieważ dla każdego $z=a+bi\in \mathbb {C}$ jest
$\mathrm {L} (z)=(2+i)z+{\overline {z}}=(2+i)(a+bi)+a-bi=(3a-b)+(a+b)i,$
to część rzeczywista $\mathrm {L} (z)$ wynosi $3a-b=3\mathrm {Re} (z)-\mathrm {Im} (z),$ podczas gdy jej część urojona to $a+b=\mathrm {Re} (z)+\mathrm {Im} (z),$ co oznacza, iż $\mathrm {L} ^{\star }(\mathrm {Re} )=3\mathrm {Re} -\mathrm {Im}$ oraz $\mathrm {L} ^{\star }(\mathrm {Im} )=\mathrm {Re} +\mathrm {Im} .$

Bibliografia edytuj

A.I. Kostrikin: Wstęp do algebry, cz. 2. Algebra liniowa. Warszawa: PWN, 2004. ISBN 83-01-14267-7.
H.G. Dales: Banach algebras and automatic continuity. T. 24. Oxford: New Series (The Clarendon Press Oxford University Press), 2000, s. 25, seria: London Mathematical Society Monographs. ISBN 0-19-850013-0.

[1] Tzn. modułów, w których można wskazać skończoną bazę; odpowiedników skończeniewymiarowych przestrzeni liniowych, w których skalary tworzą pierścień, a nie ciało (zob. Sumy i produkty proste).

[2] Jeśli $R$ nie byłby przemienny, to wzór $(r\varphi )({\mathsf {m}})=r\varphi ({\mathsf {m}})$ definiuje przekształcenie $M\to N,$ które nie musi być liniowe.

[3] Niekiedy spotyka się oznaczenie $M^{\vee }.$

[4] Jeśli $\varphi \in (M\oplus N)^{\star },$ to $f\in M^{\star },g\in N^{\star }$ dane wzorami $f({\mathsf {m}})=\varphi ({\mathsf {m}},{\mathsf {0}}),g({\mathsf {n}})=\varphi ({\mathsf {0}},{\mathsf {n}})$ umożliwiają zdefiniowanie przekształcenia liniowego $(M\oplus N)^{\star }\to M^{\star }\oplus N^{\star }$ wzorem $\varphi \mapsto (f,g).$ Na odwrót, jeśli $(f,g)\in M^{\star }\oplus N^{\star },$ to przekształcenie $\varphi \colon M\oplus N\to R$ dane wzorem $\varphi ({\mathsf {m}},{\mathsf {n}})=f({\mathsf {m}})+g({\mathsf {n}})$ definiuje formę $\varphi \in (M\oplus N)^{\star }.$ Kończy to konstrukcję przekształcenia liniowego $M^{\star }\oplus N^{\star }\to (M\oplus N)^{\star }$ odwrotnego do powyższego.

[5] Jeśli $\varphi \in \left(\bigoplus M_{i}\right)^{\star },$ tzn. $\varphi \colon \bigoplus M_{i}\to R,$ to $M_{i}$ można postrzegać jako podmoduł $\bigoplus M_{i}$ w standardowy sposób; wówczas zawężenie $\varphi |_{M_{i}}$ jest przekształceniem liniowym należącym do produktu $\prod M_{i}^{\star },$ przy czym brak jakichkolwiek przesłanek za tym, by większość z tych przekształceń była zerowa, dlatego zbiór zawężeń nie tworzy zwykle sumy prostej $M_{i}^{\star }.$ Oto konstrukcja przekształcenia odwrotnego do przekształcenia liniowego $\left(\bigoplus M_{i}\right)^{\star }\to \prod M_{i}^{\star }$ danego wzorem $\varphi \mapsto (\varphi |_{M_{i}}).$ Niech dla dowolnego $(\psi _{i})\in \prod M_{i}^{\star }$ dany będzie $\psi \in \left(\bigoplus M_{i}\right)^{\star }$ wzorem $\psi {\big (}({\mathsf {m}}_{i}){\big )}=\sum \psi _{i}({\mathsf {m}}_{i}).$ Suma ta jest skończona, gdyż $({\mathsf {m}}_{i})$ należy do sumy prostej, zatem prawie wszystkie ${\mathsf {m}}_{i}$ (wszystkie poza skończoną liczbą) są zerowe. Przekształcenie to jest liniowe, zatem należy do modułu dualnego do $\bigoplus M_{i}.$ Stąd odwzorowanie $(\psi _{i})\mapsto \psi$ jest przekształceniem liniowym $\prod M_{i}^{\star }\to \left(\bigoplus M_{i}\right)^{\star }$ odwrotnym do skonstruowanego na początku.

[6] W przytoczonym dowodzie nieistotne było użycie modułów dualnych – możliwe jest sformułowanie twierdzenia dla modułów dualnych względem siebie; ma ono wówczas postać: $\mathrm {Hom} \left(\bigoplus M_{i},N\right)\simeq \prod \mathrm {Hom} (M_{i},N).$ Przyjęcie $N=R$ daje pierwotne stwierdzenie.

[7] Niech $(\varphi _{i})\in \bigoplus M_{i}^{\star },$ a więc wszystkie, poza skończoną liczbą, przekształcenia $\varphi _{i}$ są zerowe; za ich pomocą można zapisać przekształcenie liniowe $\varphi$ w produkt prosty wzorem $\varphi {\big (}({\mathsf {m}}_{i}){\big )}=\sum \varphi _{i}({\mathsf {m}}_{i}),$ przy czym suma ta w istocie jest skończona (ma tylko skończenie wiele niezerowych elementów). Funkcja $(\varphi _{i})\mapsto \varphi$ jest odwzorowaniem liniowym z $\bigoplus M_{i}^{\star }$ w $\left(\prod M_{i}\right)^{\star }$ – jest ono iniektywne, gdyż $(\varphi _{i})$ można odzyskać z $\varphi$ przyjmując $\varphi _{i}({\mathsf {m}}_{i})=\varphi ({\mathsf {m}}),$ gdzie wszystkie współrzędne poza $i$ -tą równą ${\mathsf {m}}_{i}$ są zerowe.

[8] Przypadek $n=0$ dający $M=0$ jest trywialny: wówczas $M^{\star }=0,$ gdyż jedynym odwzorowaniem liniowym $0\to R$ jest forma zerowa.

[9] Jeżeli $M\simeq R^{n},$ to $M^{\star }\simeq \left(R^{n}\right)^{\star }\simeq R^{n}.$ Jeśli $\mathrm {L} \colon M\to R^{n}$ jest izomorfizmem, to izomorfizm $M^{\star }\simeq \left(R^{n}\right)^{\star }$ dany jest poprzez $\varphi \mapsto \varphi \circ \mathrm {L} ,$ gdzie $\varphi \colon R^{n}\to R$ jest formą liniową, a izomorfizm $\varphi _{\mathsf {p}}\colon R^{n}\to \left(R^{n}\right)^{\star }$ ma postać $\varphi _{\mathsf {p}}({\mathsf {q}})=\langle {\mathsf {p}},{\mathsf {q}}\rangle =\sum p_{i}q_{i}.$

[10] Niech $R=\mathbb {Z} ,$ zaś $M=\bigoplus \mathbb {Z}$ będzie modułem wolnym przeliczalnej rangi, wówczas $M^{\star }=\mathrm {Hom} (M,\mathbb {Z} )$ jest izomorficzny z $\prod \mathbb {Z} ,$ który nie jest $\mathbb {Z}$ -modułem wolnym. Jeśli $\prod \mathbb {Z}$ byłby wolny, to wolny byłby dowolny podmoduł modułu wolnego nad dziedziną ideałów głównych (zob. grupa Baera-Speckera, por. twierdzenie strukturalne dla skończenie generowanych modułów nad dziedziną ideałów głównych). Niech $N\subseteq \prod \mathbb {Z}$ będzie modułem składającym się z takich (nieskończonych) ciągów całkowitych $(a_{i}),$ że najwyższa potęga $2$ dzieląca $a_{k}$ dąży do $\infty$ dla $k\to \infty$ (przykładami są $a_{k}=2^{k},$ czy $a_{k}=k!,$ jak również dowolny ciąg, dla którego $a_{k}=0$ dla dużych wszystkich $k;$ kontrprzykładem jest $a_{k}=k$ ). Niech ${\mathsf {e}}_{i}\in N$ ma $i$ -tą współrzędną równą $1,$ a pozostałe równe $0.$ Elementy te nie tworzą bazy $N,$ gdyż nie są nawet jej zbiorem generatorów; jednakże każdy element $N/2N$ ma tylko skończenie wiele niezerowych współrzędnych, a więc redukcje ${\overline {{\mathsf {e}}_{i}}}$ w $N/2N$ generują $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,$ a przy tym są tam liniowo niezależne, a więc tworzą bazę $N/2N,$ skąd $N/2N$ ma przeliczalny wymiar nad $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} .$ Jeżeli $N$ byłby wolny, to niech $(\alpha _{i})$ oznacza $\mathbb {Z}$ -bazę modułu $N;$ wówczas $N=\bigoplus \mathbb {Z} \alpha _{i},$ czyli $N/2N=\bigoplus (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ){\overline {\alpha _{i}}}.$ Ponieważ $N/2N$ ma przeliczalny wymiar nad $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,$ to zbiór wskaźników (dla $i$ ) również musi być przeliczalny, a więc $N$ ma przeliczalną bazę i przeliczalny pierścień skalarów $\mathbb {Z} ,$ co daje przeliczalność $N.$ Z drugiej jednak strony funkcja $\prod \mathbb {Z} \to N$ dana wzorem $(a_{i})\mapsto (2^{i}a_{i})$ jest iniektywna, a więc $N$ jest nieprzeliczalny, gdyż $\prod \mathbb {Z}$ jest nieprzeliczalny. Stąd $N$ nie jest wolny, a co za tym idzie $\prod \mathbb {Z}$ również.

[11] Niech $({\mathsf {e}}_{i})$ będzie bazą $M,$ a $({\mathsf {e}}_{i}^{\star })$ będzie stowarzyszoną z nią bazą $M^{\star }.$ Każdy niezerowy element ${\mathsf {m}}\in M$ ma niezerową współrzędną względem wybranej bazy, zatem $e_{i}^{\star }({\mathsf {m}})\neq 0$ dla pewnego $i.$ Stąd $\mathrm {ev} _{\mathsf {m}}({\mathsf {e}}_{i}^{\star })\neq 0,$ co oznacza, że $\mathrm {ev} _{\mathsf {m}}$ jest niezerowym elementem $M^{\star \star }.$ Tym samym jedynym ${\mathsf {m}},$ dla którego $\mathrm {ev} _{\mathsf {m}}$ jest zerem w $M^{\star \star }$ jest element $0,$ skąd wynika, że dane odwzorowanie $M\to M^{\star \star }$ jest iniektywne. Pozostaje jeszcze wykazać, że każdy element $M^{\star \star }$ jest pewnym $\mathrm {ev} _{\mathsf {m}};$ niech $f\in M^{\star \star },$ należy wskazać ${\mathsf {m}},$ dla którego $f=\mathrm {ev} _{\mathsf {m}},$ tj. $f(\varphi )=\varphi ({\mathsf {m}})$ dla dowolnego $\varphi \in M^{\star }.$ Ponieważ obie strony tego równania są liniowe ze względu na $\varphi ,$ to wystarczy wyznaczyć ${\mathsf {m}},$ które spełnia to równanie dla $\varphi$ przebiegającego bazę dualną $({\mathsf {e}}_{i}^{\star }),$ która rozpina $M^{\star }.$ Niech $a_{i}=f({\mathsf {e}}_{i}^{\star })\in R$ oraz ${\mathsf {m}}=\sum a_{i}{\mathsf {e}}_{i}\in M.$ Wówczas $f({\mathsf {e}}_{i}^{\star })=a_{i}={\mathsf {e}}_{i}^{\star }({\mathsf {m}}),$ czyli $f=\mathrm {ev} _{\mathsf {m}},$ co oznacza, że dane przekształcenie $M\to M^{\star \star }$ jest suriektywne.

[12] Jeśli $\varphi ,\psi \in N^{\star }$ i ${\mathsf {m}}\in M,$ to
$(\mathrm {L} ^{\star }(\varphi +\psi ))({\mathsf {m}})$ $=(\varphi +\psi )(\mathrm {L} ({\mathsf {m}}))$ $=\varphi (\mathrm {L} ({\mathsf {m}}))+\psi (\mathrm {L} ({\mathsf {m}}))$ $=(\mathrm {L} ^{\star }(\varphi ))({\mathsf {m}})+(\mathrm {L} ^{\star }(\psi ))({\mathsf {m}})$ $=(\mathrm {L} ^{\star }(\varphi )+\mathrm {L} ^{\star }(\psi ))({\mathsf {m}}).$
Ponadto dla ${\mathsf {c}}\in R$ zachodzi
$(\mathrm {L} ^{\star }(c\varphi ))({\mathsf {m}})$ $=(c\varphi )(\mathrm {L} ({\mathsf {m}}))$ $=c\varphi (\mathrm {L} ({\mathsf {m}}))$ $=c(\mathrm {L} ^{\star }(\varphi ))({\mathsf {m}})$ $=c\mathrm {L} ^{\star }(\varphi )({\mathsf {m}}).$
Równości te zachodzą dla dowolnego ${\mathsf {m}}\in M,$ zatem $\mathrm {L} ^{\star }(\varphi +\psi )=\mathrm {L} ^{\star }(\varphi )+\mathrm {L} ^{\star }(\psi )$ oraz $\mathrm {L} ^{\star }(c\varphi )=c\mathrm {L} ^{\star }(\varphi )$ należą do $M^{\star }.$

[13] Jeśli $\langle \cdot ,\cdot \rangle \colon M\times M^{\star }\to R$ oraz $[\cdot ,\cdot ]\colon N\times N^{\star }\to R$ oznaczają odpowiednio parowania modułów $M,N$ z modułami do nich dualnymi, to przekształcenie dualne można scharakteryzować za pomocą tożsamości $\langle {\mathsf {m}},\mathrm {L} ^{\star }(\varphi )\rangle =[\mathrm {L} ({\mathsf {m}}),\varphi ]$ (por. sprzężenie hermitowskie).

[14] Należy wykazać, że dla $\mathrm {L} _{1},\mathrm {L} _{2}\in \mathrm {Hom} (M,N)$ zachodzi $(\mathrm {L} _{1}+\mathrm {L} _{2})^{\star }=\mathrm {L} _{1}^{\star }+\mathrm {L} _{2}^{\star },$ tzn. $(\mathrm {L} _{1}+\mathrm {L} _{2})^{\star }(\varphi )=\mathrm {L} _{1}^{\star }(\varphi )+\mathrm {L} _{2}^{\star }(\varphi )$ dla dowolnego $\varphi \in \mathrm {N} ^{\star }.$ Obie strony tej równości należą do $M^{\star },$ zatem równość należy sprawdzić dla dowolnego ${\mathsf {m}}\in M.$ Zachodzi
$((\mathrm {L} _{1}+\mathrm {L} _{2})^{\star }(\varphi ))({\mathsf {m}})$ $=(\varphi \circ (\mathrm {L} _{1}+\mathrm {L} _{2}))({\mathsf {m}})$ $=\varphi ((\mathrm {L} _{1}+\mathrm {L} _{2})({\mathsf {m}}))$ $=\varphi (\mathrm {L} _{1}({\mathsf {m}})+\mathrm {L} _{2}({\mathsf {m}}))$ $=\varphi (\mathrm {L} _{1}({\mathsf {m}}))+\varphi (\mathrm {L} _{2}({\mathsf {m}}))$
oraz
$((\mathrm {L} _{1}^{\star }+\mathrm {L} _{2}^{\star })(\varphi ))({\mathsf {m}})$ $=(\mathrm {L} _{1}^{\star }(\varphi )+\mathrm {L} _{2}^{\star }(\varphi ))({\mathsf {m}})$ $=(\varphi \circ \mathrm {L} _{1}+\varphi \circ \mathrm {L} _{2})({\mathsf {m}})$ $=\varphi (\mathrm {L} _{1}({\mathsf {m}}))+\varphi \mathrm {L} _{2}({\mathsf {m}}),$
przy czym równości spełnione są dla dowolnego ${\mathsf {m}}\in M,$ czyli $(\mathrm {L} _{1}+\mathrm {L} _{2})^{\star }(\varphi )=\left(\mathrm {L} _{1}^{\star }+\mathrm {L} _{2}^{\star }\right)(\varphi )$ należą do $M^{\star },$ a stąd obie strony równości $(\mathrm {L} _{1}+\mathrm {L} _{2})^{\star }$ oraz $\mathrm {L} _{1}^{\star }+\mathrm {L} _{2}^{\star }$ mają tę samą wartość dla każdego ${\mathsf {\varphi }}\in N^{\star },$ skąd $(\mathrm {L} _{1}+\mathrm {L} _{2})^{\star }=\mathrm {L} _{1}^{\star }+\mathrm {L} _{2}^{\star }$ należy do $\mathrm {Hom} (N^{\star },M^{\star }).$ Analogicznie dowodzi się $(c\mathrm {L} )^{\star }=c\mathrm {L} ^{\star }$ dla $c\in R$ oraz $\mathrm {L} \in \mathrm {Hom} (M,N).$

[15] Ponieważ $\mathrm {id} _{M}^{\star }(\varphi )=\varphi \circ \mathrm {id} _{M}=\varphi ,$ a więc $\mathrm {id} _{M}^{\star }=\mathrm {id} _{M^{\star }}.$ Stąd też $(c\,\mathrm {id} _{M})^{\star }=c\,\mathrm {id} _{M^{\star }}$ dla dowolnego $c\in R.$

[16] Dla $\varphi \in P^{\star }$ oraz ${\mathsf {m}}\in M$ zachodzi
$((\mathrm {L} _{2}\circ \mathrm {L} _{1})^{\star }(\varphi )({\mathsf {m}})$ $=\varphi (\mathrm {L} _{2}\circ \mathrm {L} _{1})({\mathsf {m}})$ $=\varphi \mathrm {L} _{2}(\mathrm {L} _{1}({\mathsf {m}}))$ $=\mathrm {L} _{2}^{\star }(\varphi )(\mathrm {L} _{1}({\mathsf {m}})$ $=\mathrm {L} _{1}^{\star }(\mathrm {L} _{2}^{\star }(\varphi ))({\mathsf {m}})$ $=(\mathrm {L} _{1}^{\star }\circ \mathrm {L} _{2}^{\star })(\varphi )({\mathsf {m}}).$
Z równości dla wszystkich ${\mathsf {m}}\in M$ wynika, $(\mathrm {L} _{2}\circ \mathrm {L} _{1})^{\star }(\varphi )=(\mathrm {L} _{1}^{\star }\circ \mathrm {L} _{2}^{\star })(\varphi )$ dla wszystkich $\varphi \in P^{\star },$ skąd $(\mathrm {L} _{2}\circ \mathrm {L} _{1})^{\star }=\mathrm {L} _{1}^{\star }\circ \mathrm {L} _{2}^{\star }$ należy do $\mathrm {Hom} (P^{\star },M^{\star }).$

[17] Z definicji izomorfizmu zachodzą tożsamości $\mathrm {L} ^{-1}\circ \mathrm {L} =\mathrm {id} _{M}$ oraz $\mathrm {L} \circ \mathrm {L} ^{-1}=\mathrm {id} _{N},$ przykładając odwzorowanie dualne do obu stron i korzystając z jego funktorialności otrzymuje się ze złożeń $\mathrm {L} ^{\star }$ i $\left(\mathrm {L} ^{-1}\right)^{\star }$ w obu kierunkach tożsamości na odpowiednich modułach dualnych.

[18] Skoro $M,N$ są skończenie generowane i wolne, to są takie również moduły do nich dualne, a stąd również i $\mathrm {Hom} (M,N),\mathrm {Hom} (N^{\star },M^{\star }).$ Dowód polega na wykazaniu, iż dualizacja przeprowadza bazę $\mathrm {Hom} (M,N)$ w bazę $\mathrm {Hom} (N^{\star },M^{\star }),$ co oznacza już jej izomorficzność. Niech dane będą bazy $({\mathsf {e}}_{i}),({\mathsf {f}}_{j})$ odpowiednio modułów $M,N.$ Bazę $\mathrm {Hom} (M,N)$ tworzą funkcje $\mathrm {L} _{ij}\colon M\to N,$ gdzie $\mathrm {L} _{ij}({\mathsf {e}}_{i})={\mathsf {f}}_{j}$ oraz $\mathrm {L} _{ij}({\mathsf {e}}_{k})={\mathsf {0}}$ dla $k\neq i,$ tj. $\mathrm {L} _{ij}(a_{1}{\mathsf {e}}_{1}+\ldots +a_{r}{\mathsf {e}}_{r})=a_{i}{\mathsf {f}}_{j}.$ Przekształcenia dualne $\mathrm {L} _{ij}^{\star }\colon N^{\star }\to M^{\star }$ tworzą podobną bazę: $\mathrm {L} _{ij}^{\star }$ w działaniu na bazę dualną $\left({\mathsf {f}}_{j}^{\star }\right)$ dla dowolnego wektora bazowego ${\mathsf {e}}_{k}$ przyjmuje postać
$(\mathrm {L} _{ij}^{\star }({\mathsf {f}}_{l}^{\star })({\mathsf {e}}_{k})=\left({\mathsf {f}}_{l}^{\star }\circ \mathrm {L} _{ij}^{\star }\right)({\mathsf {e}}_{k})={\mathsf {f}}_{l}^{\star }(\mathrm {L} _{ij}({\mathsf {e}}_{k}));$
gdy $k=i,$ to zachodzi dalsza równość ${\mathsf {f}}_{l}^{\star }({\mathsf {f}}_{j})$ (w przeciwnym przypadku: element zerowy), a gdy ponadto $l=j,$ to kontynuacją tej tożsamości jest jedynka (w przeciwnym przypadku: zero). Stąd też $\mathrm {L} _{ij}^{\star }({\mathsf {f}}_{j})={\mathsf {e}}_{i}^{\star }$ oraz $\mathrm {L} _{ij}({\mathsf {e}}_{k})={\mathsf {0}}$ dla $l\neq j,$ a więc funkcje $\left(\mathrm {L} _{ij}^{\star }\right)$ tworzą bazę.

[19] Jeśli $M=N,$ to $\mathrm {Hom} (M,M)$ i $\mathrm {Hom} (M^{\star },M^{\star })$ są pierścieniami, a dualizacja jest wtedy ich antyhomomorfizmem, który staje się antyizomorfizmem, gdy $M$ jest skończenie generowany i wolny.

[20] Zastosowanie kolejno izomorfizmu $M\to M^{\star \star }$ oraz $\mathrm {L} ^{\star \star }$ do dowolnie wybranego elementu ${\mathsf {m}}\in M$ daje element $\mathrm {L} ^{\star \star }(\mathrm {ev} _{\mathsf {m}})=\left(\mathrm {L} ^{\star }\right)^{\star }(\mathrm {ev} _{\mathsf {m}})=\mathrm {ev} _{\mathsf {m}}\circ \mathrm {L} ^{\star }$ należący do $N^{\star \star }.$ Z drugiej strony przyłożenie do ${\mathsf {m}}\in M$ przekształcenia $\mathrm {L} ,$ a następnie izomorfizmu $N\to N^{\star \star }$ daje $\mathrm {ev} _{\mathrm {L} ({\mathsf {m}})}.$ Ponieważ dla dowolnego $\varphi \in N^{\star }$ zachodzi
$(\mathrm {ev} _{\mathsf {m}}\circ \mathrm {L} )(\varphi )=\mathrm {ev} _{m}\mathrm {L} ^{\star }(\varphi )=(\varphi \circ \mathrm {L} )({\mathsf {m}})=\varphi \mathrm {L} (\varphi )=\mathrm {ev} _{\mathrm {L} ({\mathsf {m}})}(\varphi ),$
to z faktu, iż równość ta zachodzi dla dowolnego ${\mathsf {m}},$ to $\mathrm {L}$ można utożsamiać z $\mathrm {L} ^{\star \star }.$

[21] Założenia o skończonym generowaniu i wolności modułów $M,N$ potrzebne są jedynie do zapewnienia, iż odwzorowania naturalne $M\to M^{\star \star }$ i $\mathrm {N} \to N^{\star \star }$ są izomorfizmami – w istocie wystarczy więc założenie refleksywności wspomnianych modułów.

[22] Należy wykazać, że $\mathbf {L} ^{\star }=\mathbf {L} ^{\mathrm {T} };$ niech $[\cdot ]_{E}\colon M\to R^{m}$ i $[\cdot ]_{F}\colon N\to R^{n}$ będą izomorfizmami wyrażającymi elementy modułów w odpowiednich bazach, podobnie niech dane będą $[\cdot ]_{E^{\star }}\colon M^{\star }\to R^{m}$ oraz $[\cdot ]_{F^{\star }}\colon N^{\star }\to R^{n}.$ Macierze $\mathbf {L}$ i $\mathbf {L} ^{\star }$ są realizacjami przekształceń $\mathrm {L}$ i $\mathrm {L} ^{\star }$ w wybranych bazach, tj. $[\mathrm {L} ({\mathsf {m}})]_{F}=\mathbf {L} [{\mathsf {m}}]_{E}$ oraz $[\mathrm {L} ^{\star }(\varphi )]_{E^{\star }}=\mathbf {L} [\varphi ]_{F^{\star }}$ dla ${\mathsf {m}}\in M$ i $\varphi \in N^{\star }.$ Ponieważ $[{\mathsf {e}}_{j}]_{E}$ jest $j$ -tym wektorem bazy standardowej $R^{m},$ to $j$ -tą kolumną $\mathbf {L}$ jest $\mathbf {L} [{\mathsf {e}}_{j}]_{E}=[\mathrm {L} ({\mathsf {e}}_{j})]_{F};$ ponieważ $i$ -tą składową tego wektora współrzędnych w $R^{m}$ jest $f_{i}^{\star }\mathrm {L} ({\mathsf {e}}_{j}),$ gdyż $\left[{\mathsf {f}}_{i}^{\star }\right]_{F^{\star }}$ jest $i$ -tym wektorem bazy $F.$ Wynika stąd, że $(i,j)$ -tym elementem macierzy $\mathbf {L}$ jest $f_{i}^{\star }\mathrm {L} ({\mathsf {e}}_{j}).$ Z drugiej strony $i$ -tą kolumną $\mathbf {L} ^{\star }$ jest $\mathbf {L} ^{\star }\left[{\mathsf {f}}_{i}^{\star }\right]_{F^{\star }},$ gdyż $\left[{\mathsf {f}}_{i}^{\star }\right]_{F^{\star }}$ jest $i$ -tym wektorem bazy standardowej $R^{n},$ a z powyższej obserwacji wynika, że $\mathbf {L} ^{\star }\left[{\mathsf {f}}_{i}^{\star }\right]_{F^{\star }}=[\mathrm {L} ^{\star }({\mathsf {f}}_{i}^{\star })]_{E^{\star }}.$ Funkcje współrzędnych na $M^{\star }$ względem $E^{\star }$ są bazą dualną do tej bazy dualnej, co oznacza, że należą one do pierwotnej bazy $E$ przy utożsamieniu $M\simeq M^{\star \star }$ poprzez przekształcenie naturalne. W ten sposób $j$ -tą współrzędną wektora $[\mathrm {L} ^{\star }({\mathsf {f}}_{i}^{\star })]_{E^{\star }}$ jest $\mathrm {ev} _{{\mathsf {e}}_{j}}\mathrm {L} ^{\star }({\mathsf {f}}_{i}^{\star })=\mathrm {L} ^{\star }({\mathsf {f}}_{i}^{\star })({\mathsf {e}}_{j}),$ z definicji $\mathrm {L} ^{\star }$ jest zaś $\mathrm {L} ^{\star }\left({\mathsf {f}}_{i}^{\star }\right)={\mathsf {f}}_{i}^{\star }\circ \mathrm {L} ,$ a więc $(j,i)$ -ty element $\mathbf {L} ^{\star }$ jest równy $(i,j)$ -temu elementowi $\mathbf {L} ,$ co oznacza, że $\mathbf {L} ^{\star }=\mathbf {L} ^{\mathrm {T} }.$

[23] Należy pokazać, że dla $\varphi \in N^{\star }$ oraz $\mathrm {L} ^{\star }(\varphi )=0$ zachodzi $\varphi =0.$ Z definicji jest $\varphi \circ \mathrm {L} =0$ jako funkcja $M\to R,$ a więc $\varphi \mathrm {L} ({\mathsf {m}})=0$ dla wszystkich ${\mathsf {m}}\in M.$ Ponieważ $\mathrm {L}$ jest „na”, to $\{\mathrm {L} ({\mathsf {m}})\colon {\mathsf {m}}\in M\}=N,$ skąd $\varphi =0$ jako forma na $N.$

[24] Niech $R=N=\mathbb {Z}$ oraz $M=2\mathbb {Z} ,$ zaś $\mathrm {L} \colon M\to N$ będzie zanurzeniem naturalnym. Forma $\varphi \colon M\to R$ dana wzorem $\varphi (2a)=a$ jest liniowa, tj. $\varphi \in M^{\star }.$ Fakt, iż $\varphi$ należy do obrazu $\mathrm {L} ^{\star }$ oznacza, że $\varphi$ przedłuża się (za pomocą $\mathrm {L}$ ) do pewnej funkcji na $N^{\star }$ oznaczanej dalej $\Phi .$ Zachodzi $2\Phi (1)=\Phi (2)=\varphi (2)=1,$ co oznacza, że $\Phi (1)$ nie ma rozwiązania w $R=\mathbb {Z} ,$ a więc $\Phi$ nie istnieje. Istotnie, do obrazu $\mathrm {L} ^{\star }$ należą te elementy $M^{\star },$ których obrazem w $R$ jest $2\mathbb {Z} ;$ moduł $M=2\mathbb {Z}$ można zastąpić tu $k\mathbb {Z}$ dla dowolnego $k>1.$

[25] Przypadki $M,N=\{{\mathsf {0}}\}$ są trywialne. Ponieważ przestrzenie liniowe określone są nad ciałami, to podprzestrzeń $\mathrm {L} (M)$ ma dopełnienie proste w $N{:}$ wybierając bazę w $\mathrm {L} (M)$ i rozszerzając ją do bazy $N$ można zapisać $N=\mathrm {L} (M)\oplus P,$ gdzie $P$ jest pewną podprzestrzenią (rozpinaną przez rozszerzenie bazy). Dowolna forma liniowa $\mathrm {L} (M)\to K$ może być rozszerzona do formy $N\to K$ poprzez rzutowanie z $N$ na $\mathrm {L} (M)$ zgodnie z powyższym rozkładem na sumę prostą, a następnie przyłożenie wybranej formy na $\mathrm {L} (M).$ Rozumowanie przedstawione we wprowadzeniu do twierdzenia pokazuje, iż $\mathrm {L} ^{\star }$ jest „na”. Dowód można zakończyć także w następujący sposób: niech $\pi \colon N\to M$ będzie rzutem $N\to \mathrm {L} (M)$ złożonym z funkcją odwrotną do $\mathrm {L}$ (istnieje, gdyż $\mathrm {L}$ z $M$ na $\mathrm {L} (M)$ jest „1-1”, a więc wzajemnie jednoznaczna), tj. $\pi \mathrm {L} (\mathbf {m} )+\mathbf {p} =\mathbf {m} ;$ jest ono liniowe oraz $\pi \circ \mathrm {L} =\mathrm {id} _{M}.$ Dualizacja daje $\mathrm {L} ^{\star }\circ \pi ^{\star }=\mathrm {id} _{M^{\star }},$ co oznacza, że $\mathrm {L} ^{\star }$ jest „na”, gdyż dla każdego $\varphi \in M^{\star }$ zachodzi $\mathrm {L} ^{\star }\pi ^{\star }(\varphi )=\varphi .$

[26] Własność $N=\mathrm {L} (M)\oplus P$ dla pewnego podmodułu $P,$ uzyskana w powyższym dowodzie dla przestrzeni liniowych za pomocą baz, przyjęta jako założenie umożliwia powtórzenie powyższego dowodu w przypadku modułów.

[27] Podany wyżej kontrprzykład korzysta z faktu, iż $2\mathbb {Z}$ nie jest składnikiem prostym $\mathbb {Z} .$

[28] Funkcje $\varphi _{\mathbf {v} }$ są liniowe, zatem należą do $\left(\mathbb {R} ^{n}\right)^{\star };$ co więcej, ponieważ $\varphi _{\mathbf {v} +\mathbf {v} '}=\varphi _{\mathbf {v} }+\varphi _{\mathbf {v} '}$ oraz $\varphi _{c\mathbf {v} }=c\varphi _{\mathbf {v} }$ dla każdego $c\in \mathbb {R} ,$ to odwzorowanie $\mathbf {v}$ w $\varphi _{\mathbf {v} }$ jest przekształceniem liniowym $\mathbb {R} ^{n}\to \left(\mathbb {R} ^{n}\right)^{\star }.$ Jest ono iniektywne, gdyż jeśli $\varphi _{\mathbf {v} }=0$ należy do $\left(\mathbb {R} ^{n}\right)^{\star },$ to wtedy $\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} =0$ dla każdego $\mathbf {w} \in \mathbb {R} ^{n},$ z kolei wzięcie $\mathbf {w} =\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}$ daje $\mathbf {v} =0.$ Aby pokazać suriektywność należy wybrać $f\in \left(\mathbb {R} ^{n}\right)^{\star };$ wówczas dla każdego $\mathbf {w} =(w_{1},\dots ,w_{n})=\sum w_{i}\mathbf {e} _{i}$ należącego do $\mathbb {R} ^{n}$ jest $f(\mathbf {w} )=f\sum w_{i}\mathbf {e} _{i}=\sum w_{i}f(\mathbf {e} _{i})=\varphi _{\mathbf {v} }(\mathbf {w} ),$ gdzie $\mathbf {v} =f(\mathbf {e} _{1}),\dots ,f(\mathbf {e} _{n}),$ czyli $f=\varphi _{\mathbf {v} }$ dla tego wyboru $\mathbf {v} .$

[29] Izomorfizm $R^{\star }\simeq R$ opisuje wzór $\varphi \mapsto \varphi (1),$ a w drugą stronę – $a\mapsto \varphi _{a}.$

[30] Jeśli $f\in \mathbb {Q} ^{\star },$ to dla dowolnego $r\in \mathbb {Q}$ liczba całkowita $f(r)$ spełnia $f(r)=2^{n}f\left(r/2^{n}\right),$ gdzie $f\left(r/2^{n}\right)\in \mathbb {Z} ,$ co oznacza, że $f(r)$ jest podzielne przez dowolnie wysokie potęgi $2.$ Zatem $f(r)=0$ dla wszystkich $r,$ a więc $f=0.$

[31] Która jest w istocie izomorficzna z $\mathbb {Q} .$

[32] Gdyż homomorfizm grup przeprowadza elementy skończonego rzędu $A$ na elementy skończonego rzędu $\mathbb {Z} ,$ a jedynym takim elementem tej grupy jest $0.$

[33] Tego rodzaju dualność nie zdradza nic na temat struktury skończonej grupy abelowej – z tego powodu wprowadza się osobne pojęcie grupy dualnej (w sensie Pontriagina): ${\hat {A}}=\mathrm {Hom} (A,S^{1}),$ czyli zbiór homomorfizmów z $A$ w grupę okręgu $S^{1}\subset \mathbb {C} ^{\times }$ z mnożeniem jako działaniem grupowym; znajduje ono zastosowanie podczas badania charakterów na skończonych grupach abelowych. Dualność Pontriagina stanowi kluczowy element analizy fourierowskiej na lokalnie zwartych grupach abelowych będących uogólnieniem skończonych grup abelowych.

[34] Dla każdego $cI\subseteq R$ funkcja $x\mapsto cx$ jest przekształceniem liniowym $I\to R.$ W drugą stronę, niech $\varphi \colon I\to R$ będzie formą liniową. Dla ustalonego $a\in I$ zachodzi $\varphi (ax)=a\varphi (x)=x\varphi (a)=\varphi (a)x,$ czyli $\varphi (x)=cx$ dla $c=\varphi (a)/a\in K$ dla każdego $x\in I.$ Stąd $cI=\varphi (I)\subseteq R,$ czyli każdy element $I^{\star }$ powstaje w ten sposób.

[35] Gdyż są to funkcje współrzędnych dla bazy standardowej, tj. $f_{1}(a+bi)=a$ i $f_{2}(a+bi)=b$ dla rzeczywistych $a,b,$ a więc $f_{1}=\mathrm {Re}$ jest funkcją części rzeczywistej, a $f_{2}=\mathrm {Im}$ jest funkcją części urojonej.

[36] Należy wyrazić $\mathrm {L} ^{\star }(\mathrm {Re} )$ i $\mathrm {L} ^{\star }(\mathrm {Im} )$ w bazie dualnej: skoro wyrazy te odpowiednio są równe $\mathrm {Re} \circ \mathrm {L}$ oraz $\mathrm {Im} \circ \mathrm {L} ,$ to należy wyznaczyć części rzeczywistą i urojoną wartości odwzorowania $\mathrm {L} .$ Ponieważ dla każdego $z=a+bi\in \mathbb {C}$ jest
$\mathrm {L} (z)=(2+i)z+{\overline {z}}=(2+i)(a+bi)+a-bi=(3a-b)+(a+b)i,$
to część rzeczywista $\mathrm {L} (z)$ wynosi $3a-b=3\mathrm {Re} (z)-\mathrm {Im} (z),$ podczas gdy jej część urojona to $a+b=\mathrm {Re} (z)+\mathrm {Im} (z),$ co oznacza, iż $\mathrm {L} ^{\star }(\mathrm {Re} )=3\mathrm {Re} -\mathrm {Im}$ oraz $\mathrm {L} ^{\star }(\mathrm {Im} )=\mathrm {Re} +\mathrm {Im} .$

[a]

[b]

[c]

[d]

[e]

[f]

[g]

[h]

[i]

[j]

[k]

[l]

[m]

[n]

[o]

[p]

[q]

[r]

[s]

[t]

[u]

[v]

[w]

[x]

[y]

[z]

[aa]

[ab]

[ac]

[ad]

[ae]

[af]

[ag]

[ah]

[ai]

[aj]