Mosely snowflake

Mosely snowflake (tłum. płatek śniegu Mosely) – bryła fraktalna typu Sierpiński-Menger stworzona poprzez powtarzanie operacji odwrotnej do tworzenia bryły płatka Sierpińskiego-Mengera lub pyłu Cantora, tzn. nie poprzez zostawianie, ale poprzez usuwanie ośmiu wierzchołkowych kostek oraz kostki centralnej w skali 1/3 z każdej kostki zostawionej w poprzednim kroku rekurencji. W jednym wymiarze ta operacja w odróżnieniu od operacji prowadzącej do oryginalnego zbioru Cantora (tzn. rekurencyjnego usuwania dwóch odcinków bocznych) jest trywialna i zbiega się jedynie do jednego punktu. Bryła ta przypomina naturalny, lecz w pełni trójwymiarowy płatek śniegu. Z konstrukcji jej wymiar Hausdorffa wynosi $d_{H}=\log _{3}(27-9)=\ln 18/\ln 3\approx 2{,}630929$

Formowanie się płatka Mosely podczas 4 stopni rekurencji

Wariacje Mosely snowflake

W ogólności poprzez algorytm Sierpińskiego w trzech wymiarach usuwania w każdym kroku rekurencji dowolnej liczby kostek N w skali 1/3 z większych kostek z poprzedniego kroku w ten sam sposób można stwarzać wielką liczbę figur granicznych w tym fraktalnych. Używając wzoru na potęgę dwumianu $(1+1)^{27}$ jako wyrażającego też sumę wszystkich możliwych liczby kombinacji usuwania dowolnej liczby kostek możemy policzyć, że jest w ogólności $\mathbb {S} =2^{27}=134217728$ obiektów asymptotycznych, jeśli traktuje się, że każda kostka jest inną (ponumerowaną bez symetrii) niezależnie od rodzaju granicy i operacji oraz uważając, że włączana jest do zbioru stała kostka pełna i zbiór pusty. Większość z brył skonstruowanych w ten sposób jest również niestandardowymi geometrycznie fraktalami w trzech wymiarach, mającymi ogólny wymiar Hausdorffa: $d_{H}=\log _{3}(27-N)=\ln(27-N)/\ln 3,$ który w większości dla brył fraktalnych nie jest w trzech wymiarach liczbą całkowitą. Jedną z wariacji jest gęstsza wersja Mosely snowflake, kiedy zostawiamy kostkę centralną. W tak uzyskanym fraktalu nie widać wtedy dziur i odpowiada on bardziej mokremu śniegowi.

• 
  Cięższa wariacja płatka Mosely kiedy w rekurencji zostawia się też kostkę centralną o większym wymiarze Hausdorffa $d_{H}=\log _{3}(27-8)\approx 2{,}680143$
• 
  Wariacja zbiegająca do bryły podobnej do drzewa liściastego poprzez usuwanie 8 kostek wierzchołkowych, 6 w środkach ścian bocznych i jednej centralnej (tzn. razem 15 kostek) w wymiarze Hausdorffa $\log _{3}(27-15)\approx 2{,}261859$
• 
  Podobna bryła przypominająca w granicy nieskończonej drzewo iglaste poprzez usuwanie 12 kostek na krawędziach o wymiarze fraktalnym $\log _{3}(27-12)\approx 2{,}464973.$ Możliwa jest także jej lżejsza wariacja widoczna jedynie w przekroju kiedy usuwana jest też kostka centralna.

Bibliografia

• Jerry Slocum: The Mosely snowflake sponge: construction guide. California: USC Libraries, 2011.brak strony w książce