Nierówność Höldera
uogólnienie nierówności Cauchy’ego-Buniakowskiego-Schwarza
Nierówność Höldera – fundamentalna nierówność wiążąca przestrzenie Lp. Nazwana nazwiskiem matematyka Otto Höldera, została najpierw sformułowana przez L. J. Rogersa (1888) i ponownie odkryta przez Höldera (1889).
Nierówność Höldera jest używana do wykazania uogólnionej nierówności trójkąta w przestrzeni Lp, nierówności Minkowskiego oraz do ustalenia warunku dualności dla przestrzeni i jeśli oraz
Nierówność Höldera edytuj
Niech będzie przestrzenią z miarą oraz niech będą wykładnikami sprzężonymi, tzn.
Jeżeli oraz to oraz
Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy funkcje i są liniowo zależne.
Najważniejsze przypadki szczególne edytuj
- Gdy to nierówność Höldera znana jest pod nazwą nierówności Schwarza (lub Cauchy’ego-Schwarza, a w przypadku całkowym – Buniakowskiego-Schwarza)[1].
- W przestrzeni euklidesowej (lub ) nierówność Höldera przyjmuje postać:
- Dla elementów
- Niech będzie przestrzenią z miarą. Najogólniejszą wersją nierówności Höldera (której powyższe są szczególnymi przypadkami) jest nierówność
- W szczególności, gdy jest miarą probabilistyczną (tj. jest przestrzenią probabilistyczną), nierówność tę można zapisać w postaci
- gdzie symbol oznacza wartość oczekiwaną.
Uogólnienie edytuj
Metodą indukcji matematycznej można pokazać następujące uogólnienie:
Niech będą takie, że:
Załóżmy, że Wtedy oraz
Zobacz też edytuj
Przypisy edytuj
- ↑ nierówność Höldera, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-10-03] .
Literatura edytuj
- Walter Rudin: Analiza rzeczywista i zespolona. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1998.