Ortogonalność

Ortogonalność (z gr. ortho – prosto, prosty, gonia – kąt) – uogólnienie pojęcia prostopadłości znanego z geometrii euklidesowej na abstrakcyjne przestrzenie z określonym iloczynem skalarnym, jak np. przestrzenie unitarne (w tym przestrzenie Hilberta) czy przestrzenie ortogonalne. Pojęcie ortogonalności bywa uogólnianie również na przestrzenie unormowane w których nie ma naturalnej struktury iloczynu skalarnego (ortogonalność w sensie Pitagorasa, ortogonalność w sensie Jamesa, ortogonalność w sensie Birkhoffa, T-ortogonalność).

Definicja

Elementy $x$ i $y$ przestrzeni unitarnej $X$ z iloczynem skalarnym $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ nazywa się ortogonalnymi, gdy

$\langle x,y\rangle =0.$

Relację $\langle x,y\rangle =0$ zapisuje się symbolicznie $x\perp y.$ Podzbiór $A$ przestrzeni unitarnej $X$ nazywa się układem ortogonalnym, gdy każde dwa różne jego elementy są ortogonalne.

Ortogonalność wektorów w przestrzeni trójwymiarowej

Długość wektora $a=[a_{x},a_{y},a_{z}]$ w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej wyraża się wzorem

$|a|={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}.$

Jeżeli $a=[a_{x},a_{y},a_{z}]$ i $b=[b_{x},b_{y},b_{z}]$ są wektorami z przestrzeni trójwymiarowej, to długość wektora $c=b-a$ wynosi

$|c|=|b-a|={\sqrt {(b_{x}-a_{x})^{2}+(b_{y}-a_{y})^{2}+(b_{z}-a_{z})^{2}}}.$

Liczby $|a|,|b|,|c|$ są długościami boków trójkąta $oab,$ gdzie $o=(0,0,0).$

Trójkąt prostokątny o bokach $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} .$

Wektory $a,b$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąt $oab$ jest prostokątny, a to jest równoważne na mocy prostego i odwrotnego twierdzenia Pitagorasa zależności:

$|c|^{2}=|a|^{2}+|b|^{2},$

tzn.

$(b_{x}-a_{x})^{2}+(b_{y}-a_{y})^{2}+(b_{z}-a_{z})^{2}=a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}+b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}.$

Zastosowanie wzoru na kwadrat różnicy do powyższej równości implikuje równość

$-2a_{x}b_{x}-2a_{y}b_{y}-2a_{z}b_{z}=0,$

która upraszcza się do wyrażenia

$a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}=0.$

Lewa strona powyższej równości pokrywa się ze wzorem na iloczyn skalarny wektorów $a$ i $b$ w przestrzeni trójwymiarowej.

Przykłady

Przestrzenie euklidesowe

Wektory $[-1,3]$ i $[3,1]$ na płaszczyźnie są ortogonalne (prostopadłe), ponieważ

$[-1,3]\cdot {\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}}=-1\cdot 3+3\cdot 1=0.$

Wektor zerowy jest ortogonalny do każdego wektora.

Przestrzenie funkcyjne

Ortogonalność pojawia się również w kontekście przestrzeni funkcyjnych, w których określony jest pewien iloczyn skalarny. Z tego powodu mówi się często o funkcjach ortogonalnych, czy wielomianach ortogonalnych. Klasycznym przykładem jest przestrzeń $L^{2}[a,b]$, tj. przestrzeń wszystkich funkcji, określonych na przedziale $[a,b]$ o wartościach zespolonych, całkowalnych w drugiej potędze. Iloczyn skalarny elementów $f$ i $g$ tej przestrzeni definiuje się wzorem

$\langle f,g\rangle =\int \limits _{a}^{b}f(t){\overline {g(t)}}\mathrm {d} t.$

W przypadku, gdy $[a,b]=[-\pi ,\pi ],$ to rodzina funkcji

$\left\{{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},{\frac {\sin nx}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\cos nx}{\sqrt {\pi }}}:n\in \mathbb {N} \right\}$

jest przykładem układu ortogonalnego. Inne przykłady ortogonalnych układów funkcji to np. wielomiany Legendre’a czy wielomiany Czebyszewa.

Zobacz też

• macierz ortogonalna