Paradoks zbioru wszystkich zbiorów
Paradoks zbioru wszystkich zbiorów – paradoks tzw. „naiwnej” teorii mnogości odkryty w 1899 przez Cantora. Przykład antynomii logicznej (syntaktycznej), tzn. antynomii wynikającej z nie dość precyzyjnego używania pojęć teorii.
Paradoks jest efektem następującego rozumowania:
- Przypuśćmy, że jest zbiorem wszystkich zbiorów i niech oznacza zbiór potęgowy zbioru
- Z jednej strony, zbiór jako zbiór wszystkich zbiorów zawiera w sobie także tzn.
Stąd moc zbioru jest nie większa od mocy zbioru - Z drugiej strony, na mocy twierdzenia Cantora zbiór ma moc istotnie większą od mocy zbioru
- Z jednej strony, zbiór jako zbiór wszystkich zbiorów zawiera w sobie także tzn.
Źródłem tego paradoksu była praktyka naiwnej teorii mnogości polegająca na definiowaniu zbiorów z użyciem formuł logicznych bez zatroszczenia się o istnienie „dziedziny” tej formuły, czyli zbioru, z którego wybieramy elementy spełniające tę formułę. Np. definicja Z={X:1=1} pozornie określa zbiór wszystkiego, w rzeczywistości określa ona klasę właściwą, a nie zbiór.
Podobnie intuicyjna i prawdziwa dla wszystkich zbiorów formuła (wynikająca zresztą z aksjomatu regularności) pozwala w naiwnej teorii mnogości zdefiniować zbiór Jednak stwierdzenie, czy jakiś obiekt należy do tego zbioru, prowadzi wprost do paradoksu Russella.
O ile w naiwnej teorii mnogości powyższe rozumowanie prowadzi do niewytłumaczalnej sprzeczności (stąd określenie paradoks), o tyle w aksjomatycznej teorii mnogości jest ścisłym dowodem na nieistnienie zbioru wszystkich zbiorów.
Zobacz też edytuj
Bibliografia edytuj
- Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977, s. 67–68, seria: Biblioteka Matematyczna.
- Witold Marciszewski: Logika formalna. Zarys encyklopedyczny. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987, s. 175. ISBN 83-01-04998-7.