Podprzestrzeń liniowa

Podprzestrzeń liniowa a. wektorowa – podzbiór przestrzeni liniowej, który sam jest przestrzenią liniową z działaniami dziedziczonymi z wyjściowej przestrzeni. Równoważnie, podzbiór $U$ przestrzeni liniowej $V$ nad ciałem $K$ jest podprzestrzenią liniową wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich wektorów $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in U$ i skalarów $a\in K$ spełnione są warunki:

$0\in U,$

$a\mathbf {u} \in U,$

$\mathbf {u} +\mathbf {v} \in U$.

Innymi słowy, podprzestrzeń liniowa danej przestrzeni liniowej to podzbiór $U$ zamknięty ze względu na mnożenie przez skalar i ze względu na dodawanie wektorów, oba działania w podprzestrzeni są więc dobrze określone a spełnianie przez nie aksjomatów przestrzeni liniowej wynika z tego, że $U$ jest podzbiorem $V.$

Powyższą charakteryzację można wyrazić również następująco: podprzestrzeń liniowa to taki podzbiór przestrzeni liniowej, do którego należy każda kombinacja liniowa jego dwóch elementów; z zasady indukcji matematycznej wynika, że jest to równoważne temu, by należała do niego dowolna kombinacja liniowa każdej skończonej liczby jego elementów.

Przykłady

Na szaro, zielono i żółto zaznaczono dwuwymiarowe podprzestrzenie (płaszczyzny) trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej; na niebiesko zaznaczono podprzestrzeń jednowymiarową (prostą). Dobór układu współrzędnych nie jest istotny.

• W każdej przestrzeni liniowej $V$ zbiory $\{\mathbf {0} \}$ oraz cała przestrzeń $V$ są podprzestrzeniami; pierwsza z nich nazywana jest trywialną, druga – niewłaściwą.
• W przestrzeni współrzędnych $\mathbb {R} ^{2}$ podzbiór złożony z wektorów postaci $[t,3t]$ dla $t\in \mathbb {R}$ jest podprzestrzenią (jednowymiarową), którą geometrycznie można interpretować jako prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych i punkt $(1,3).$
• Podobnie w przestrzeni $\mathbb {R} ^{3}$ podzbiór złożony z wektorów postaci $[t,3t,s],$ gdzie $t,s$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, jest (dwuwymiarową) podprzestrzenią, którą można interpretować geometrycznie jako płaszczyznę przechodzącą przez początek układu współrzędnych oraz punkty $(0,0,1)$ i $(1,3,0).$
• W przestrzeni liniowej $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ wszystkich ciągów o wartościach rzeczywistych następujące zbiory są podprzestrzeniami liniowymi:
  • zbiór ciągów stałych,
  • zbiór ciągów zbieżnych,
  • zbiór ciągów zbieżnych do 0 (zob. przestrzeń c₀),
  • zbiór ciągów ograniczonych.
• Jeżeli $V$ jest przestrzenią unitarną, to dopełnienie ortogonalne jego dowolnej podprzestrzeni jest podprzestrzenią przestrzeni V.

Działania na podprzestrzeniach

Niech $V$ będzie przestrzenią liniową.

• Część wspólna dowolnie wielu podprzestrzeni liniowych przestrzeni $V$ jest podprzestrzenią liniową. Istotnie, każda kombinacja liniowa elementów części wspólnej rodziny podprzestrzeni liniowych należy do tej części wspólnej, jako że należy ona do każdej z podprzestrzeni, których część wspólną się rozważa.

• Dla rodziny $U_{1},\dots ,U_{n}$ podprzestrzeni liniowych przestrzeni $V$ definiuje się ich sumę algebraiczną

$U_{1}+\ldots +U_{n}:=\{\mathbf {u} _{1}+\ldots \mathbf {u} _{n}\colon \mathbf {u} _{1}\in U_{1},\dots ,\mathbf {u} _{n}\in U_{n}\}.$

Suma algebraiczna $U_{1}+\ldots +U_{n}$ podprzestrzeni liniowych jest podprzestrzenią liniową przestrzeni $V$.

Dowód

Niech

$\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in U_{1}+\ldots +U_{n}.$

Wówczas

$\mathbf {x} =\mathbf {x} _{1}+\ldots +\mathbf {x} _{n},\;\mathbf {y} =\mathbf {y} _{1}+\ldots +\mathbf {y} _{n}$

dla pewnych $\mathbf {x} _{i},\mathbf {y} _{i}\in U_{i}.$ Oznacza to, że

$\mathbf {x} +\mathbf {y} =\mathbf {x} _{1}+\ldots +\mathbf {x} _{n}+\mathbf {y} _{1}+\ldots +\mathbf {y} _{n}=\underbrace {\mathbf {x} _{1}+\mathbf {y} _{1}} _{\in U_{1}}+\ldots +\underbrace {\mathbf {x} _{n}+\mathbf {y} _{n}} _{\in U_{n}}\in U_{1}+\ldots +U_{n}.$

Niech $\mathbf {x} \in U+W,$ zaś $c$ będzie skalarem. Korzystając z tego samego przedstawienia wektora $\mathbf {x}$ co wyżej uzyskuje się

$c\mathbf {x} =c(\mathbf {x} _{1}+\ldots +\mathbf {x} _{n})=\underbrace {c\mathbf {x} _{1}} _{\in U_{1}}+\ldots +\underbrace {c\mathbf {x} _{n}} _{\in U_{n}}\in U_{1}+\ldots +U_{n}.$

Powyższa konstrukcja przenosi się na dowolną rodzinę $\{U_{i}\colon i\in I\}$ podprzestrzeni liniowych $V.$ Ich sumę algebraiczną definiuje się jako

$\sum _{i\in I}U_{i}={\Big \{}\mathbf {x} _{1}+\ldots +\mathbf {x} _{n}\colon \mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n}\in \bigcup _{i\in I}U_{i}{\Big \}}.$

Podobnie jak w skończonym przypadku, suma algebraicznej dowolnej rodziny podprzestrzeni liniowych jest podprzestrzenią liniową.

Sumę algebraiczną $U_{1}+\ldots +U_{n}$ nazywa się prostą, gdy $U_{i}\cap U_{j}=\{0\}$ dla $i\neq j;$ stosuje się wówczas oznaczenie $U_{1}\oplus \ldots \oplus U_{n}.$

Rodzina wszystkich podprzestrzeni liniowych przestrzeni $V$ wraz z działaniami $+$ i $\cap$ tworzy kratę zupełną, w której infimum dowolnej rodziny podprzestrzeni jest ich część wspólna natomiast supremum dowolnej rodziny podprzestrzeni jest ich (możliwie nieskończona) suma algebraiczna.

Wymiar i kowymiar

Niech $V$ będzie przestrzenią liniową. Ponieważ każda podprzestrzeń liniowa przestrzeni $V$ sama jest przestrzenią liniową można mówić o jej wymiarze (oznaczanym symbolem $\dim$), tj. mocy (dowolnej) bazy tej przestrzeni.

Niech $U$ i $W$ będą podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni $V.$ Między wymiarami przestrzeni $U+W$ i $U\cap W$ zachodzi związek

$\dim(U+W)+\dim(U\cap W)=\dim U+\dim W.$

W szczególności

$\dim(U\oplus W)=\dim U+\dim W.$

Przeciwne twierdzenie również zachodzi, tj. jeżeli $U_{1},\dots ,U_{n}$ są takimi podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni $V,$ że

$\dim V=\dim U_{1}+\ldots +\dim U_{n},$

to

$V=U_{1}\oplus \ldots \oplus U_{n}.$

Niech $U$ oraz $W$ będą podprzestrzeniami $V.$ Kowymiarem podprzestrzeni $U$ w $V,$ oznaczanym $\mathrm {codim} \;U$ nazywa się wymiar przestrzeni ilorazowej $V/U.$ Jeżeli $V$ jest przestrzenią skończenie wymiarową, to

$\dim V/U=\dim V-\dim U.$

Podprzestrzeń liniowa generowana przez zbiór wektorów

Niech $V$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $K.$ Dla każdego (niekoniecznie skończonego) podzbioru $A$ przestrzeni liniowej $V$ definiuje się podprzestrzeń generowaną przez zbiór $A,$ $\mathrm {lin} \,A$ (inne symbole: $\mathrm {span} \,A,\;\langle A\rangle$), jako zbiór wszystkich kombinacji liniowych elementów zbioru $A,$ tj.

$\mathrm {lin} \,A={\big \{}c_{1}\mathbf {v} _{1}+\ldots +c_{k}\mathbf {v} _{k}\colon c_{i}\in K,\;\mathbf {v} _{i}\in A,i\leqslant k,\;k\in \mathbb {N} \}.$

Zbiór $\mathrm {lin} \,A$ jest podprzestrzenią liniową przestrzeni $V;$ jest to najmniejsza (w sensie zawierania) podprzestrzeń liniowa przestrzeni $V,$ która zawiera zbiór $A$. Zbiór $A$ nazywany jest zbiorem generującym albo zbiorem rozpinającym podprzestrzeń $\mathrm {lin} \,A,$ a przestrzeń $\mathrm {lin} \,A$ podprzestrzenią generowaną albo rozpiętą przez zbiór $A$ bądź także otoczką liniową albo powłoką liniową zbioru $A.$

Jeżeli zbiór $A$ generuje przestrzeń $V,$ to nie musi być on jej bazą – np. przestrzeń $V$ jest generowana przez samą siebie. Dla zbioru $A\neq \{0\}$ generującego przestrzeń $V$ następujące warunki są równoważne

1. zbiór $A$ jest bazą przestrzeni $V,$
2. zbiór $A$ jest liniowo niezależny,
3. każdy wektor przestrzeni $V$ można przedstawić w sposób jednoznaczny w postaci kombinacji liniowej elementów zbioru $A$.

Przykłady

• Jeżeli $A$ i $B$ są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni $V,$ to

$\mathrm {lin} \,A=A$ oraz $\mathrm {lin} \,(A\cup B)=A+B.$

• Podprzestrzeń przestrzeni $\mathbb {R} ^{2}$ generowana przez zbiór $\{[1,3]\}$ opisana jest w drugim z przykładów.

Bibliografia

• Sheldon Axler: Linear Algebra Done Right. Wyd. 2. Heidelberg-New York-Dordrecht-London: Springer, 1997.
• Jerzy Rutkowski: Algebra abstrakcyjna w zadaniach. Wyd. 5. PWN, 2006. ISBN 83-01-14388-6.
• Steven Roman: Advanced Linear Algebra. Wyd. 2. Berlin, New York: Springer-Verlag, 2005, seria: Graduate Texts in Mathematics 135. ISBN 978-0-387-24766-3. (ang.).

Literatura dodatkowa

• Aleksiej I. Kostrikin: Wstęp do algebry. Cz. 2: Algebra liniowa. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2004. ISBN 83-01-14267-7.