Przedział (matematyka)

Przedział – typ podzbioru w zbiorze częściowo uporządkowanym, zdefiniowany odpowiednimi nierównościami; elementy przedziału są zawarte między dwoma ustalonymi elementami, nazywanymi początkiem i końcem przedziału. Podstawowe przykłady to przedziały liczbowe – podzbiory liczb rzeczywistych wyposażonych w standardowy porządek. Wyróżnia się różne typy przedziałów – ograniczone lub nie, a także otwarte, domknięte lub otwarte jednostronnie, zwane też jednostronnie domkniętymi, półotwartymi lub półdomkniętymi.

Przykładowe przedziały liczbowe – spójne podzbiory osi rzeczywistej; kolejno przedział otwarty, domknięty i dwa półotwarte; wszystkie cztery są ograniczone.

Prosta, półprosta i odcinek – jednowymiarowe figury geometryczne odpowiadające niektórym rodzajom przedziałów liczbowych

Całkę Riemanna definiuje się przez podział dziedziny funkcji na przedziały.

Niektóre przedziały liczbowe można utożsamiać z podstawowymi, jednowymiarowymi figurami geometrycznymi:

• zbiór wszystkich liczb rzeczywistych to prosta;
• przedziały nieograniczone domknięte (jednostronnie) to półproste;
• przedziały ograniczone domknięte (obustronnie) to odcinki.

Definicje formalne

Niech $(X,\leqslant )$ będzie zbiorem częściowo uporządkowanym i niech $x,y\in X$ oraz $x\leqslant y.$

Przedziałem wyznaczonym przez $x,y$ jest jeden z następujących zbiorów:

• $(x,y):=\{z\in X:x<z<y\}$ – przedział (obustronnie) otwarty,
• $[x,y):=\{z\in X:x\leqslant z<y\}$ – przedział lewostronnie domknięty (prawostronnie otwarty),
• $[x,y]:=\{z\in X:x\leqslant z\leqslant y\}$ – przedział (obustronnie) domknięty,
• $(x,y]:=\{z\in X:x<z\leqslant y\}$ – przedział prawostronnie domknięty (lewostronnie otwarty).

Ponadto

• $(-\infty ,y):=\{z\in X:z<y\}$ – przedział lewostronnie nieograniczony, prawostronnie otwarty,
• $(-\infty ,y]:=\{z\in X:z\leqslant y\}$ – przedział lewostronnie nieograniczony, prawostronnie domknięty,
• $(x,+\infty ):=\{z\in X:x<z\}$ – przedział prawostronnie nieograniczony, lewostronnie otwarty,
• $[x,+\infty ):=\{z\in X:x\leqslant z\}$ – przedział prawostronnie nieograniczony, lewostronnie domknięty.

Jeśli w zbiorze uporządkowanym $(X,\leqslant )$ istnieje element największy, to definicja przedziału prawostronnie nieograniczonego jest zbędna; jeśli istnieje element najmniejszy, to definicja przedziału lewostronnie nieograniczonego jest zbędna.

Dla pełności należy dodać jeszcze następujące dwie definicje:

• $(\infty ,\infty ):=\{z\in X\}=X$ – przedział obustronnie nieograniczony, czyli cały zbiór $(X,\leqslant ).$
• $\varnothing$ – przedział pusty, czyli przedział niezawierający żadnego elementu; takim przedziałem są np. $(x,x),\;(x,x],\;[x,x).$

Oznaczenia

Niektórzy autorzy używają oznaczeń $(x,y)_{X},$ $[x,y]_{X}$ itp. dla podkreślenia, że rozpatrywane są przedziały w danym porządku.

Często zamiast $[x,y]$ stosuje się oznaczenie $\langle x,y\rangle$ i analogicznie dla przedziałów jednostronnie domkniętych. Należy jednak zwrócić uwagę, że zarówno $(x,y),$ jak i $\langle x,y\rangle$ do oznaczenia przedziałów mogą być pomylone z podobnymi notacjami używanymi do oznaczenia par uporządkowanych.

Norma międzynarodowa ISO31-11 przewiduje zamiast oznaczeń $(x,y],[x,y),(x,y)$ dla przedziałów lewo- i prawo- lub obustronnie otwartych stosowanie następujących oznaczeń $]x,y],\ [x,y[,\ ]x,y[.$

Stosowanie średnika lub przecinka wynika z zastosowanej konwencji dla separatora dziesiętnego.

Przykłady

• Przedziały liczbowe:
  • $(0,1)$ – zbiór wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych mniejszych niż $1,$
  • $[2,e)$ – zbiór liczb rzeczywistych większych lub równych $2,$ ale mniejszych niż $e,$
  • przedział nieskończony $(\pi ,\infty )$ złożony z wszystkich liczb większych niż $\pi ,$
  • $(0,0),\ (7,7],\ [2,2)$ – przedziały puste,
  • $[4,4]$ – przedział jednopunktowy $\{4\}.$

• Przedziały zależą od porządków, w których są rozważane: $(-5,5)_{\mathbb {Z} }$ jest zbiorem skończonym (jest to $\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}$), ale $(-5,5)_{\mathbb {Q} }$ jest zbiorem nieskończonym (jest to zbiór wszystkich liczb wymiernych większych od –5 a mniejszych niż 5). Zwyczajowo, przedział $(a,b]$ pomiędzy liczbami rzeczywistymi $a,b\in \mathbb {R}$ oznacza przedzial w liczbach rzeczywistych, tzn. $(a,b]_{\mathbb {R} },$ podobnie dla innych przedziałów.

• Rozważmy płaszczyznę $\mathbb {R} ^{2}$ z porządkiem częściowym zdefiniowanym przez $\langle x_{1},y_{1}\rangle <\langle x_{2},y_{2}\rangle \iff x_{1}\leqslant x_{2}$ i $y_{1}\leqslant y_{2},$ gdzie relacja $\leqslant$ jest naturalnym porządkiem na prostej $\mathbb {R} .$ Wówczas przedział domknięty ${\big [}\langle 0,0\rangle ,\langle 1,1\rangle {\big ]}_{\mathbb {R} ^{2}}$ jest domkniętym kwadratem o wierzchołkach w $\langle 0,0\rangle ,\langle 0,1\rangle ,\langle 1,0\rangle ,\langle 1,1\rangle ,$ tzn. zbiorem $\left\{\langle x,y\rangle \in \mathbb {R} ^{2}:0\leqslant x\leqslant 1\ \land \ 0\leqslant y\leqslant 1\right\}.$

Własności

Suma mnogościowa dwóch przedziałów może nie być przedziałem.

Suma mnogościowa dwóch przedziałów może również być przedziałem; warunkiem wystarczającym na to jest, by miały niepusty przekrój. Nie jest to jednak warunek konieczny – przedziały liczb nieujemnych oraz ujemnych są rozłączne, jednak ich suma mnogościowa – cała oś rzeczywista – jest przedziałem.

Przekrój (przecięcie) dwóch przedziałów zawsze jest przedziałem. Innymi słowy zbiór wszystkich przedziałów liczbowych z działaniem przekroju tworzy monoid, gdzie elementem neutralnym jest cała oś rzeczywista. Ten typ monoidów – gdzie każdy element jest idempotentny – zalicza się do pasów.

Wprawdzie definicja przedziału jest poprawna dla dowolnego porządku częściowego, to jednak w praktyce matematycznej przedziały najczęściej rozpatruje się w porządkach liniowych.

Niech $(X,\leqslant )$ będzie porządkiem liniowym.

• Część wspólna dwóch przedziałów jest przedziałem.
• Dopełnienie przedziału jest albo przedziałem, albo sumą dwóch przedziałów.
• Suma dwóch przedziałów o niepustej części wspólnej jest przedziałem.
• Otwarte przedziały w $X$ tworzą bazę pewnej topologii na $X$ – ta topologia nazywana jest topologią przedziałową na $X$ albo topologią porządkową na $X$.
• Topologia porządkowa na zbiorze liczb rzeczywistych jest naturalną topologią na $\mathbb {R} .$ Bazę tej topologii tworzą przedziały otwarte o końcach wymiernych.

Każdy przedział liczbowy otwarty jest jednocześnie zbiorem otwartym w sensie topologii; podobnie przedziały domknięte należą do zbiorów domkniętych. Zbiór pusty oraz cała oś rzeczywista można zaliczyć do przedziałów otwartych lub półotwartych i są one zbiorami zbiorami otwarto-domkniętymi. Inne przedziały półotwarte nie są ani zbiorami otwartymi, ani domkniętymi. Przedziały liczbowe są tym samym, co zbiory spójne na osi rzeczywistej.

Rola

Przedziały są używane w różnych działach matematyki i innych naukach:

• za pomocą przedziałów i działania sumy zbiorów można opisać zbiory rozwiązań przynajmniej części równań i nierówności liczbowych, a także dziedziny często używanych funkcji zmiennej rzeczywistej, np. tych elementarnych;
• badanie przebiegu zmienności funkcji polega m.in. na wskazaniu przedziałów o określonym znaku wartości oraz o określonej monotoniczności i wypukłości lub wklęsłości;
• za pomocą przedziałów można zdefiniować pewne pojęcia analizy matematycznej jak własność Darboux czy całka Riemanna;
• przedziały są też jednym z fundamentów topologii; dostarczają podstawowych przykładów różnych typów zbiorów wyróżnianych przez tę naukę – otwartych, domkniętych, otwarto-domkniętych, spójnych, obszarów i continuów;
• zbiory przedziałów tworzą różne struktury algebraiczne, przykładowo z działaniem przekroju zbiorów, a w przypadku przedziałów liczbowych – z dodawaniem Minkowskiego i iloczynem kompleksowym;
• pojęcie przedziału pojawia się też w definicji prawdopodobieństwa jako miary o wartościach w przedziale jednostkowym;
• analiza numeryczna celuje m.in. w znajdowanie przedziałów, w których znajdują się rozwiązania pewnych równań liczbowych;
• przedziały liczb wymiernych pojawiają się też w jednej z definicji konstrukcyjnych liczb rzeczywistych – przez przekroje Dedekinda;
• nauki empiryczne jak fizyka, astronomia i geodezja posługują się przedziałami liczbowymi, ponieważ to one – a nie pojedyncze liczby – są wynikami pomiarów, zawsze ograniczonych niepewnością.

Za pomocą przedziałów liczbowych i iloczynu kartezjańskiego można zdefiniować prostokąt, prostopadłościan i ich uogólnienia zwane przedziałami wielowymiarowymi. W topologii rozważa się też ich odpowiedniki oparte na nieskończonych iloczynach kartezjańskich, znane jako kostki Tichonowa. Inne odpowiedniki przedziałów w wyższych wymiarach to koła i kule – te ostatnie definiuje się w dowolnych przestrzeniach metrycznych.

Zobacz też

• Otoczenie i sąsiedztwo
• zakres (programowanie)
• zbiór borelowski
• analiza przedziałowa

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Interval, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-08-19].
• Interval and segment (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-08-19].