Rozkład Studenta

Rozkład Studenta, rozkład t Studenta, rozkład t – ciągły rozkład prawdopodobieństwa stosowany często w statystyce w procedurach testowania hipotez statystycznych i przy ocenie niepewności pomiaru. Przy opracowaniu wyników pomiarów często powstaje zagadnienie oszacowania przedziału, w którym leży, z określonym prawdopodobieństwem, rzeczywista wartość mierzona, jeśli dysponujemy tylko wynikami n pomiarów, dla których możemy wyznaczyć takie parametry, jak średnia ${\overline {X}}$ i odchylenie standardowe $s$ lub wariancja $s^{2}$ („z próby”), nie znamy natomiast odchylenia standardowego $\sigma$ w populacji. Zagadnienie to rozwiązał w 1908 r. William Sealy Gosset (pseudonim Student) podając funkcję zależną od wyników pomiarów $X_{i},$ a niezależną od $\sigma .$

Rozkład Studenta, rozkład t Studenta

Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Parametry	$\nu >0$ stopni swobody (liczba rzeczywista)
Nośnik	$x\in (-\infty ;+\infty )$
Gęstość prawdopodobieństwa	${\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-({\frac {\nu +1}{2}})}$
Dystrybuanta	${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}+x\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\cdot \\[0.5em]{\frac {\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\end{matrix}}$ gdzie $_{2}F_{1}$ jest funkcją hipergeometryczną
Wartość oczekiwana (średnia)	$0{\text{ dla }}\nu >1,$ w przeciwnym wypadku nieokreślona
Mediana	$0$
Moda	$0$
Wariancja	${\frac {\nu }{\nu -2}}{\text{ dla }}\nu >2,$ w przeciwnym wypadku nieokreślona
Współczynnik skośności	$0{\text{ dla }}\nu >3$
Kurtoza	${\frac {6}{\nu -4}}{\text{ dla }}\nu >4$
Entropia	${\begin{matrix}{\frac {\nu +1}{2}}\left[\psi ({\frac {1+\nu }{2}})-\psi ({\frac {\nu }{2}})\right]\\[0.5em]+\ln {\left[{\sqrt {\nu }}B({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}})\right]}\end{matrix}}$ $\psi {:}$ funkcja digamma $B{:}$ funkcja beta
Funkcja tworząca momenty	(nieokreślona)
Odkrywca	William Sealy Gosset (1908)

Definicja

Rozkład Studenta z $n$ stopniami swobody jest rozkładem zmiennej losowej $T$ postaci:

$T={\frac {U}{\sqrt {Z}}}{\sqrt {n}}$

gdzie:

• $U$ jest zmienną losową mającą standardowy rozkład normalny $N(0,1)$
• $Z$ jest zmienną losową o rozkładzie chi kwadrat o $n$ stopniach swobody
• $U$ i $Z$ są niezależne.

Gęstość prawdopodobieństwa

Zmienna losowa $T$ określona powyżej ma gęstość prawdopodobieństwa opisaną wzorem:

$f(t,n)={\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}}){\sqrt {n\pi }}}}\left(1+{\frac {t^{2}}{n}}\right)^{-{\frac {n+1}{2}}}$

gdzie $\Gamma (x)$ to funkcja gamma.

Dowód. Niech $U$ i $Z$ będą takie jak wyżej. Zmienna $Y={\sqrt {Z}}$ ma rozkład chi o $n$ stopniach swobody, a więc gęstość $Y$ wyraża się wzorem

$f_{Y}(y)={\frac {2^{1-{\frac {n}{2}}}y^{n-1}e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}.$

Rozważmy zmienną

$X={\frac {1}{\sqrt {n}}}Y.$

Wówczas

${\frac {\partial Y}{\partial X}}={\sqrt {n}}$

a zatem całkując przez podstawienie obserwujemy, że

${\begin{aligned}f_{X}(x)&=f_{Y}({\sqrt {n}}x){\Big |}{\frac {\partial Y}{\partial X}}{\Big |}\\&={\frac {2^{1-{\frac {n}{2}}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}({\sqrt {n}}x)^{n-1}e^{-{\frac {({\sqrt {n}}x)^{2}}{2}}}{\sqrt {n}}\\&={\frac {2^{1-{\frac {n}{2}}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}n^{\frac {n}{2}}x^{n-1}e^{-{\frac {n}{2}}x^{2}}.\end{aligned}}$

Zmienna $T$ ma zatem rozkład $U/X.$ Jej gęstość jest więc postaci

${\begin{aligned}f_{T}(t)&=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|x|f_{U}(xt)f_{X}(x)\,\mathrm {d} x=\int \limits _{0}^{\infty }xf_{U}(xt)f_{X}(x)\,\mathrm {d} x\\&=\int \limits _{0}^{\infty }x{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {(xt)^{2}}{2}}}{\frac {2^{1-{\frac {n}{2}}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}n^{\frac {n}{2}}x^{n-1}e^{-{\frac {n}{2}}x^{2}}\,\mathrm {d} x\\&={\frac {n^{\frac {n}{2}}}{\sqrt {2\pi }}}{\frac {2^{1-{\frac {n}{2}}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\int \limits _{0}^{\infty }x^{n}e^{-{\frac {1}{2}}(n+t^{2})x^{2}}\,\mathrm {d} x.\end{aligned}}$

Niech $m=x^{2}.$ Wówczas powyższa całka przyjmuje postać

$\int \limits _{0}^{\infty }x^{n}e^{-{\frac {1}{2}}(n+t^{2})m}{\frac {\mathrm {d} m}{2x}}={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\infty }m^{\frac {n-1}{2}}e^{-{\frac {1}{2}}(n+t^{2})m}\mathrm {d} m\qquad (*).$

Gęstość $f(m;k,\theta )$ rozkładu gamma wyraża się wzorem

$f(m;k,\theta )={\frac {m^{k-1}e^{-{\frac {m}{\theta }}}}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}.$

Oznacza to, że

$k-1={\frac {n-1}{2}}\Rightarrow k^{*}={\frac {n+1}{2}},\qquad {\frac {1}{\theta }}={\frac {1}{2}}(n+t^{2})\Rightarrow \theta ^{*}={\frac {2}{(n+t^{2})}}$

a stąd

$(*)={\frac {1}{2}}(\theta ^{*})^{k^{*}}\Gamma (k^{*})={\frac {1}{2}}{\Big (}{\frac {2}{n+t^{2}}}{\Big )}^{\frac {n+1}{2}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)=2^{\frac {n-1}{2}}n^{-{\frac {n+1}{2}}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\left(1+{\frac {t^{2}}{n}}\right)^{-{\frac {1}{2}}(n+1)}.$

Ostatecznie

$f_{T}(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\frac {2^{1-{\frac {n}{2}}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}n^{\frac {n}{2}}2^{\frac {n-1}{2}}n^{-{\frac {n+1}{2}}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\left(1+{\frac {t^{2}}{n}}\right)^{-{\frac {1}{2}}(n+1)}={\frac {\Gamma [(n+1)/2]}{{\sqrt {n\pi }}\Gamma (n/2)}}\left(1+{\frac {t^{2}}{n}}\right)^{-{\frac {1}{2}}(n+1)}.$

Własności

Powyższy wzór określa całą rodzinę rozkładów prawdopodobieństwa zależną od parametru $n$ – liczby stopni swobody rozkładu Studenta. Rozkłady te są symetryczne, jednomodalne, dla dużych wartości $n$ zmierzają do standardowego rozkładu normalnego $N(0,1).$ Dla małych $n$ różnią się jednak od rozkładu normalnego: rozkład Studenta o $n$ stopniach swobody ma skończone momenty tylko do rzędu $n-1,$ w szczególności dla $n=1$ rozkład Studenta jest identyczny z rozkładem Cauchy’ego i nie posiada żadnych skończonych momentów (nie istnieje nawet wartość średnia).

Własności te ilustruje poniższy wykres przedstawiający gęstości rozkładu Studenta dla kilku wartości liczby stopni swobody $n$ w zestawieniu z gęstością standardowego rozkładu normalnego $N(0,1).$

rozkłady Studenta porównane z rozkładem normalnym

Zastosowania

Zastosowania rozkładu Studenta w metrologii i statystyce opierają się w większości na następujących dwóch twierdzeniach:

1. Niech zmienne losowe $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ mają jednakowy rozkład prawdopodobieństwa, który jest rozkładem normalnym o średniej $m$ i wariancji $\sigma ^{2}$ oraz niech zmienna $t$ będzie określona wzorem:

   $t={\frac {{\overline {X}}-m}{s}}\cdot {\sqrt {n}}$

   gdzie ${\overline {X}}$ jest wartością średnią z próby, zaś $s$ – odchyleniem standardowym z próby.

   Wówczas zmienna $t$ ma rozkład Studenta o $\nu =n-1$ stopniach swobody (niezależny od wartości wariancji w populacji $\sigma ^{2}$).

2. Jeżeli dwie próby o liczebnościach $n_{1}$ oraz $n_{2},$ wartościach średnich ${\overline {X}}_{1}$ oraz ${\overline {X}}_{2}$ i wariancjach wyznaczonych z próby $s_{1}^{2}$ oraz $s_{2}^{2}$ zostały wylosowane z populacji mających taki sam rozkład normalny, to zmienna $t$ określona wzorem:

   $t={\frac {{\overline {X}}_{1}-{\overline {X}}_{2}}{\sqrt {n_{1}s_{1}^{2}+n_{2}s_{2}^{2}}}}{\sqrt {{\frac {n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}(n_{1}+n_{2}-2)}}$

   ma rozkład Studenta o $\nu =n_{1}+n_{2}-2$ stopniach swobody.

Rozkład t jest stosowany w estymacji przedziałowej, w testach parametrycznych, w szczególności dla wartości średnich i dla wariancji oraz w testach istotności parametrów statystycznych – gdy mamy do czynienia z próbami małymi (najczęściej arbitralnie przyjmuje się, że próba jest mała gdy jej liczebność $n\leqslant 30$).

W metrologii rozkład Studenta wykorzystywany jest m.in. przy estymacji odchylenia standardowego (dla pojedynczego pomiaru oraz wartości oczekiwanej). Dla dużych prób (n > 30) praktycznie pokrywa się z rozkładem normalnym, dla mniejszych estymator odchylenia należy pomnożyć przez wartość krytyczną rozkładu Studenta dla liczby stopni swobody $\nu =n-1$ i przyjętego poziomu istotności $\alpha .$

Najczęściej potrzebne są w zastosowaniach kwantyle rozkładu Studenta, to znaczy takie wartości $t_{\alpha },$ że $P(t>t_{\alpha })=\alpha$ lub $P(|t|<t_{\alpha })=\alpha .$ Wartości te podają tablice rozkładu Studenta.

Bibliografia

• Zieliński R., Tablice statystyczne, PWN, Warszawa 1972.

Linki zewnętrzne

• VassarStats. vassarstats.net. [zarchiwizowane z tego adresu (2016-03-04)]. Wykresy gęstości, wartości krytyczne i in. obliczane dla podanej przez użytkownika liczby stopni swobody.
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S). [dostęp 2009-05-27]. (ang.). (O historii terminu „Rozkład Studenta”)
• Distribution Calculator Kalkulator obliczający prawdopodobieństwa i wartości krytyczne dla rozkładu normalnego, Studenta, chi-kwadrat oraz F
• Kalkulator rozkładu – polski kalkulator online szacujący wartość statystyki t Studenta dla zadanej liczby stopni swobody
• Tablice podstawowych rozkładów rachunku prawdopodobieństwa