Topologia porządkowa

Topologia porządkowa – topologia wyznaczona przez porządek liniowy w pewnym zbiorze. Naturalnym przykładem topologii porządkowej jest prosta rzeczywista z topologią generowaną przez przedziały otwarte.

Konstrukcja

Niech $(X,\leqslant )$ będzie zbiorem co najmniej dwuelementowym liniowo uporządkowanym. Dla $a,b\in X\,a<b$ określamy zbiory

• $(a,b)=\{x\in X\colon \,a<x<b\},$
• $(\leftarrow ,a)=\{x\in X\colon \,x<a\},$
• $(a,\rightarrow )=\{x\in X\colon \,a<x\},$

które będziemy nazywać przedziałami. Rodzina wszystkich zbiorów tej postaci, spełnia warunki B1-B2, a więc wyznacza bazę pewnej topologii. Topologię tę nazywa się topologią przedziałową bądź topologią wyznaczoną przez rodzinę przedziałów.

Topologie porządkowe dolne i górne

Oczywiście rodziny $\{(\leftarrow ,a)\colon \,a\in X\},$ $\{(a,\rightarrow )\colon \,a\in X\}$ również spełniają warunki B1-B2, ale wyznaczają inne topologie. Topologie te nazywamy topologiami porządkowymi, odpowiednio, dolną i górną.

Własności

• Jeżeli zbiór liniowo uporządkowany w sposób gęsty zawiera przeliczalny podzbiór gęsty $D$ oraz wprowadzimy w tym zbiorze topologię porządkową, to ma ona ciężar przeliczalny. Istotnie, poniższa rodzina przedziałów jest przeliczalną bazą tej topologii:

${\mathcal {B}}=\{\{(a,b)\colon \;a,b\in D\}\cup \{(\leftarrow ,a)\colon \;a\in D\}\cup \{(a,\rightarrow )\colon \;a\in D\}\}.$

• Każda przestrzeń topologiczna z topologią porządkową jest przestrzenią typu T₁.

Zobacz też

• miara Dieudonnégo