Transformacja Fouriera

Transformacja Fouriera – pewien operator liniowy określany na pewnych przestrzeniach funkcyjnych, elementami których mogą być funkcje $n$ zmiennych rzeczywistych. Opisuje ona rozkład tych funkcji w bazie ortonormalnej funkcji trygonometrycznych – za pomocą iloczynu skalarnego funkcji. Została nazwana na cześć Jeana Baptiste’a Josepha Fouriera. Wynikiem transformacji Fouriera jest funkcja nazywana transformatą Fouriera.

Wykres funkcji rzeczywistej oraz jej transformaty Fouriera

Definicje podstawowe

Transformatę Fouriera można określić dla funkcji $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ (gdzie $L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ jest przestrzenią wektorową funkcji całkowalnych na $\mathbb {R} ^{n}$) wzorem:

${\hat {f}}(\xi )=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\ e^{-2\pi i(x,\xi )}\,dx,$

gdzie $i$ – jednostka urojona $(i^{2}=-1),$ a $(x,\xi )$ jest iloczynem skalarnym wektorów $x,\xi \in \mathbb {R} ^{n}.$ Transformacja Fouriera jest też oznaczana przez ${\mathcal {F}},$ wówczas transformata ${\hat {f}}(\xi )$ jest oznaczana przez ${\mathcal {F}}\left[f(x)\right](\xi ).$

Transformata ${\hat {f}}(\xi )$ jest funkcją istotnie ograniczoną: ${\hat {f}}\in L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ (wynika to z twierdzenia Riemanna-Lebesgue’a).

W przypadku gdy funkcja $f$ jest ponadto całkowalna z kwadratem (czyli $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$), transformata ${\hat {f}}(\xi )$ jest również całkowalna z kwadratem. Innymi słowy, transformacja Fouriera jest odwzorowaniem przestrzeni:

${\mathcal {F}}:L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n}).$

Twierdzenie Plancherela wówczas mówi, że odwzorowanie to przedłuża się do izometrii przestrzeni $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ na siebie. W wielu praktycznych zastosowaniach w przypadku jednowymiarowym przedłużenie to jest równoważne obliczeniu wartości głównej całki niewłaściwej zbieżnej:

${\hat {f}}(\xi )=\lim _{T\to +\infty }\int \limits _{-T}^{T}f(x)\ e^{-2\pi ix\xi }\,dx.$

Często przestrzeń $L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ ogranicza się do przestrzeni funkcji szybko malejących w nieskończoności ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ – przestrzeni funkcji nieskończenie razy różniczkowalnych, dla których iloczyn dowolnej pochodnej cząstkowej i dowolnego wielomianu jest funkcją ograniczoną na $\mathbb {R} ^{n}.$ Ograniczona w ten sposób transformacja Fouriera jest również izometrią przestrzeni ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ na siebie.

W praktyce, często zmienna $x$ oznacza czas (w sekundach), a argument transformaty $\xi$ częstotliwość (w Hz=1/s). Funkcja $f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{1})$ może być zrekonstruowana z ${\hat {f}}(\xi )$ poprzez transformację odwrotną:

$f(x)=\lim _{T\to +\infty }\int \limits _{-T}^{T}{\hat {f}}(\xi )\ e^{2\pi ix\xi }\,d\xi .$

Alternatywne definicje

Stosowane są także inne definicje transformacji Fouriera.

1. Transformacja z dziedziny czasu $t$ w dziedzinę pulsacji (częstości kołowej) $\omega {:}$

${\hat {f}}(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt$

i transformacja odwrotna:

$f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega )e^{i\omega t}d\omega ,$

gdzie:

$f(t)$ – funkcja (oryginał) w dziedzinie czasu,

${\hat {f}}(\omega )$ transformata (widmo Fouriera) w dziedzinie pulsacji,

$\omega ={\frac {2\pi }{T}}={2\pi }\nu$ – pulsacją proporcjonalną do częstotliwości oscylacji $\nu .$

2. Unitarna transformacja z dziedziny czasu $t$ w dziedzinę pulsacji (częstości kołowej) $\omega {:}$

${\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt$

i transformacja odwrotna:

$f(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega )e^{i\omega t}d\omega .$

Komentarz

• Czynnik ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$ przed transformacją i transformacją odwrotną występuje umownie – zamiast takiej postaci może występować czynnik ${\frac {1}{2\pi }}$ przed transformacją prostą, albo (częściej) przed transformacją odwrotną.
• Jeżeli jednak czynnik wynosi ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},$ wtedy transformacja i transformacja odwrotna są izometriami przestrzeni $L^{2}(\mathbb {R} ).$
• Pierwsza z dwu powyższych definicji jest popularniejsza, nie posiada jednak własności unitarności.

Interpretacja i związek z transformatą Laplace’a

W analizie Fouriera, krzywe harmoniczne sinus i cosinus (z wzoru Eulera mamy bowiem $e^{ix}=\cos x+i\sin x,$ zob. też szereg Fouriera) mnożone są przez sygnał i wynikowe całkowanie dostarcza wskazówki na temat sygnału obecnego dla danej częstotliwości (na przykład energii sygnału dla danego punktu w dziedzinie częstotliwości, zob. też widmo sygnału).

Podobne działanie, ale o bardziej ogólnym charakterze wykonuje transformacja ‘s’ (powszechnie określana mianem transformacji Laplace’a). Funkcja rzeczywista czasu może być przetransformowana na płaszczyznę S poprzez scałkowanie iloczynu takiej funkcji z wyrażaniem $e^{-st}$ w granicach od $-\infty$ do $\infty ,$ gdzie $s$ jest liczbą zespoloną.

$\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt.$

Wyrażenie $e^{-st}$ ujmuje nie tylko częstotliwości, ale również rzeczywiste efekty $e^{-t}.$ Transformacja ‘s’ uwzględnia więc nie tylko przebiegi częstotliwościowe, ale także efekty o charakterze zaniku. Na przykład krzywa sinusoidalna tłumiona może być odpowiednio zamodelowana za pomocą transformacji ‘s’. Transformata Laplace’a stanowi więc uogólnienie transformacji Fouriera. Ściślej przekształcenie Fouriera stanowi szczególny przypadek przekształcenia Laplace’a dla $s=i\omega .$ Podobnie transformata Z stanowi uogólnienie dyskretnej transformaty Fouriera.

Własności transformaty Fouriera

• W przypadku jednowymiarowym funkcja $f$ jest klasy $L^{1},$ czyli jest całkowalna w przedziale $(-\infty ,\infty ).$
• ${\hat {f}}$ jest funkcją ciągłą. Nie musi natomiast być całkowalna w $\mathbb {R} ^{n}.$
• Jeśli $g(x)=f(x-\alpha ),$ to ${\hat {g}}(\xi )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }g(x)\ e^{-2\pi ix\xi }\,dx=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x-\alpha )\ e^{-2\pi i(x-\alpha )\xi }e^{-2\pi i\alpha \xi }\,dx=e^{-2\pi i\alpha \xi }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\ e^{-2\pi it\xi }\,dt=e^{-2\pi i\alpha \xi }{\hat {f}}(\xi ).$
• Jeśli $\alpha \neq 0$ i $g(t)=f\left({\frac {t}{\alpha }}\right),$ to ${\hat {g}}(\xi )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }g(x)\ e^{-2\pi ix\xi }\,dx=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f\left({\frac {x}{\alpha }}\right)\ e^{-2\pi i{\frac {x}{\alpha }}(\alpha \xi )}\alpha \,d\left({\frac {x}{\alpha }}\right)=\alpha \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\ e^{-2\pi it(\alpha \xi )}\,dt=\alpha {\hat {f}}(\alpha \xi ).$
• ${\widehat {f*g}}={\sqrt {2\pi }}{\hat {f}}{\hat {g}},$ gdzie operacja $*$ oznacza splot funkcji f i g
• Jeśli pochodna funkcji $f$ należy do $L^{1}$ i funkcja zeruje się poza pewnym przedziałem skończonym, to z całkowania przez części wynika, że: ${\hat {f'}}(\xi )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f'(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx=f(x)e^{-2\pi ix\xi }{\Big |}_{-\infty }^{\infty }+2\pi i\xi \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx=2\pi i\xi {\hat {f}}(\xi ).$

Właściwości transformat

	Funkcja	Transformata Fouriera unitarna, częstotliwość	Transformata Fouriera unitarna, pulsacja (częstość kołowa)	Transformata Fouriera pulsacja (częstość kołowa)	Uwagi
	$f(x)$	${\hat {f}}(\xi )=$ $\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx$	${\hat {f}}(\omega )=$${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx$	${\hat {f}}(\nu )=$ $\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\nu x}\,dx$
101	$a\cdot f(x)+b\cdot g(x)$	$a\cdot {\hat {f}}(\xi )+b\cdot {\hat {g}}(\xi )$	$a\cdot {\hat {f}}(\omega )+b\cdot {\hat {g}}(\omega )$	$a\cdot {\hat {f}}(\nu )+b\cdot {\hat {g}}(\nu )$	Liniowość
102	$f(x-a)$	$e^{-2\pi ia\xi }{\hat {f}}(\xi )$	$e^{-ia\omega }{\hat {f}}(\omega )$	$e^{-ia\nu }{\hat {f}}(\nu )$	Przesunięcie oryginału w dziedzinie „czasu”
103	$e^{2\pi iax}f(x)$	${\hat {f}}\left(\xi -a\right)$	${\hat {f}}(\omega -2\pi a)$	${\hat {f}}(\nu -2\pi a)$	Przesunięcie widma w dziedzinie częstotliwości, dualne względem 102
104	$f(ax)$	${\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\xi }{a}}\right)$	${\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)$	${\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\nu }{a}}\right)$	Dla dużych wartości $|a|,$ $f(ax)$ zawęża się wokół zera, a ${\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)$ poszerza się i spłaszcza.
105
106	${\frac {d^{n}f(x)}{dx^{n}}}$	$(2\pi i\xi )^{n}{\hat {f}}(\xi )$	$(i\omega )^{n}{\hat {f}}(\omega )$	$(i\nu )^{n}{\hat {f}}(\nu )$	Transformata pochodnej
107	$x^{n}f(x)$	$\left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}{\frac {d^{n}{\hat {f}}(\xi )}{d\xi ^{n}}}$	$i^{n}{\frac {d^{n}{\hat {f}}(\omega )}{d\omega ^{n}}}$	$i^{n}{\frac {d^{n}{\hat {f}}(\nu )}{d\nu ^{n}}}$	Ta właściwość jest dualna względem 106
108	$(f*g)(x)$	${\hat {f}}(\xi ){\hat {g}}(\xi )$	${\sqrt {2\pi }}{\hat {f}}(\omega ){\hat {g}}(\omega )$	${\hat {f}}(\nu ){\hat {g}}(\nu )$	Notacja $f*g$ oznacza splot funkcji $f$ i $g$ – tę właściwość określamy jako twierdzenie o splocie
109	$f(x)g(x)$	$({\hat {f}}*{\hat {g}})(\xi )$	${\frac {({\hat {f}}*{\hat {g}})(\omega )}{\sqrt {2\pi }}}$	${\frac {1}{2\pi }}({\hat {f}}*{\hat {g}})(\nu )$	Właściwość dualna względem 108
110	Dla funkcji $f(x)$ rzeczywistej i parzystej	${\hat {f}}(\omega ),$ ${\hat {f}}(\xi )$ oraz ${\hat {f}}(\nu )$ są funkcjami rzeczywistymi i parzystymi.
111	Dla funkcji $f(x)$ rzeczywistej i nieparzystej	${\hat {f}}(\omega ),$ ${\hat {f}}(\xi )$ oraz ${\hat {f}}(\nu )$ są funkcjami urojonymi i nieparzystymi.

Najprzydatniejsze pary transformat

W przestrzeniach funkcji dobrze określonych, takich jak $L^{2}(\mathbb {R} )$ lub przestrzeń funkcji szybko malejących w nieskończoności ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} )$ transformacja Fouriera przyporządkowuje wzajemnie jednoznacznie funkcji (oryginałowi) jej transformatę. Oryginał i jego transformata określana są wtedy jako para fourierowska.

Funkcje całkowalne z kwadratem

W tabeli zestawiony jest oryginał oraz jego transformaty w dziedzinie częstotliwości i pulsacji.

	Funkcja	Transformata Fouriera unitarna, częstotliwość	Transformata Fouriera unitarna, pulsacja (częstość kołowa)	Transformata Fouriera pulsacja (częstość kołowa)	Uwagi
	$f(x)$	${\hat {f}}(\xi )=$ $\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx$	${\hat {f}}(\omega )=$ ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx$	${\hat {f}}(\nu )=$ $\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\nu x}\,dx$
201	$\operatorname {rect} (ax)$	${\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} \left({\frac {\xi }{a}}\right)$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\cdot \operatorname {sinc} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	${\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} \left({\frac {\nu }{2\pi a}}\right)$	Funkcja prostokątna i normalizowana funkcja sinc, definiowana jako $\operatorname {sinc} (x)=sin(\pi x)/(\pi x)$
202	$\operatorname {sinc} (ax)$	${\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {rect} \left({\frac {\xi }{a}}\right)$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\cdot \operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	${\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {rect} \left({\frac {\nu }{2\pi a}}\right)$	Relacja dualna do 201. funkcja prostokątna jest filtrem dolnoprzepustowym, a funkcja sinc jest odpowiedzią impulsową dla takiego filtra.
203	$\operatorname {sinc} ^{2}(ax)$	${\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {tri} \left({\frac {\xi }{a}}\right)$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\cdot \operatorname {tri} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	${\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {tri} \left({\frac {\nu }{2\pi a}}\right)$	Funkcja $\operatorname {tri} (x)=\lambda (x)$ jest funkcją trójkątną
204	$\operatorname {tri} (ax)$	${\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\xi }{a}}\right)$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\cdot \operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	${\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\nu }{2\pi a}}\right)$	Związek dualny względem 203.
205	$e^{-ax}H(x)$	${\frac {1}{a+2\pi i\xi }}$	${\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}(a+i\omega )}}$	${\frac {1}{a+i\nu }}$	$H(x)$ jest funkcją skoku Heaviside’a, $a>0.$
206	$e^{-\alpha x^{2}}$	${\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}\cdot e^{-{\frac {(\pi \xi )^{2}}{\alpha }}}$	${\frac {1}{\sqrt {2\alpha }}}\cdot e^{-{\frac {\omega ^{2}}{4\alpha }}}$	${\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}\cdot e^{-{\frac {\nu ^{2}}{4\alpha }}}$	Funkcja Gaussa $\exp(-\alpha x^{2})$ jest funkcją własną przekształcenia Fouriera dla odpowiednio dobranego $\alpha .$ Funkcja jest całkowalna dla $\mathrm {Re} (\alpha )>0.$
207	$\operatorname {e} ^{-a|x|}$	${\frac {2a}{a^{2}+4\pi ^{2}\xi ^{2}}}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cdot {\frac {a}{a^{2}+\omega ^{2}}}$	${\frac {2a}{a^{2}+\nu ^{2}}}$	Dla $a>0.$
208	${\frac {J_{n}(x)}{x}}$	${\frac {2i}{n}}(-i)^{n}\cdot U_{n-1}(2\pi \xi )$   $\cdot \ {\sqrt {1-4\pi ^{2}\xi ^{2}}}\operatorname {rect} (\pi \xi )$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {i}{n}}(-i)^{n}\cdot U_{n-1}(\omega )$   $\cdot \ {\sqrt {1-\omega ^{2}}}\operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2}}\right)$	${\frac {2i}{n}}(-i)^{n}\cdot U_{n-1}(\nu )$   $\cdot \ {\sqrt {1-\nu ^{2}}}\operatorname {rect} \left({\frac {\nu }{2}}\right)$	$J_{n}(x)$ oznacza funkcję Bessela $n$-tego rzędu, pierwszego rodzaju. $U_{n}(x)$ to wielomiany Czebyszewa drugiego rodzaju. (patrz punkty 315 i 316 poniżej).
209	$\operatorname {sech} (ax)$	${\frac {\pi }{a}}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi ^{2}}{a}}\xi \right)$	${\frac {1}{a}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2a}}\omega \right)$	${\frac {\pi }{a}}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2a}}\nu \right)$	Secans hiperboliczny jest funkcją własną transformcji Fouriera

Dystrybucje

Dystrybucje, określane też jako funkcje uogólnione nie posiadają transformat w sensie określonym przez powyższe definicje. Możliwe jest jednak uogólnienie pojęcia transformaty i przyjęcie, że uzyskujemy w wyniku przejścia do granicy ciągu transformat lub wychodząc od szeregu Fouriera funkcji okresowej.

	Funkcja	Transformata Fouriera unitarna, częstotliwość	Transformata Fouriera unitarna, pulsacja (częstość kołowa)	Transformata Fouriera pulsacja (częstość kołowa)	Uwagi
	$f(x)$	${\hat {f}}(\xi )=$ $\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx$	${\hat {f}}(\omega )=$ ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx$	${\hat {f}}(\nu )=$ $\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\nu x}\,dx$
301	$1$	$\delta (\xi )$	${\sqrt {2\pi }}\cdot \delta (\omega )$	$2\pi \delta (\nu )$	$\delta (\xi )$ oznacza deltę Diraca.
302	$\delta (x)$	$1$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$	$1$	Co wynika z zasady 301.
303	$e^{iax}$	$\delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)$	${\sqrt {2\pi }}\cdot \delta (\omega -a)$	$2\pi \delta (\nu -a)$	Co wynika z własności 103 i 301.
304	$\cos(ax)$	${\frac {\displaystyle \delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)+\delta \left(\xi +{\frac {a}{2\pi }}\right)}{2}}$	${\sqrt {2\pi }}\cdot {\frac {\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)}{2}}$	$\pi \left(\delta (\nu -a)+\delta (\nu +a)\right)$	Co wynika ze 101 i 303 przy zastosowaniu wzoru Eulera: $\cos(ax)=(e^{iax}+e^{-iax})/2.$
305	$\sin(ax)$	${\frac {\displaystyle \delta \left(\xi +{\frac {a}{2\pi }}\right)-\delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)}{2i}}$	${\sqrt {2\pi }}\cdot {\frac {\delta (\omega +a)-\delta (\omega -a)}{2i}}$	$-i\pi \left(\delta (\nu +a)-\delta (\nu -a)\right)$	Co wynika ze 101 i 303, przy zastosowaniu $\sin(ax)=(e^{iax}-e^{-iax})/(2i).$
306	$\cos(ax^{2})$	${\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\cos \left({\frac {\pi ^{2}\xi ^{2}}{a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)$	${\frac {1}{\sqrt {2a}}}\cos \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)$	${\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\cos \left({\frac {\nu ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)$
307	$\sin(ax^{2})$	$-{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\sin \left({\frac {\pi ^{2}\xi ^{2}}{a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)$	${\frac {-1}{\sqrt {2a}}}\sin \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)$	$-{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\sin \left({\frac {\nu ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)$
308	$x^{n}$	$\left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}\delta ^{(n)}(\xi )$	$i^{n}{\sqrt {2\pi }}\delta ^{(n)}(\omega )$	$2\pi i^{n}\delta ^{(n)}(\nu )$	Gdzie $n$ jest liczbą naturalną a $\delta ^{(n)}(\xi )$ jest $n$-tą pochodną delty Diraca. Wynika to ze 107 i 301. Stosując tę formułę z 101, można transformować dowolne wielomiany.
309	${\frac {1}{x}}$	$-i\pi \operatorname {sgn}(\xi )$	$-i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sgn}(\omega )$	$-i\pi \operatorname {sgn}(\nu )$	Gdzie $\operatorname {sgn}(\xi )$ to funkcja znaku. Zauważmy, że $1/x$ nie jest dystrybucją. Własność przydatna w odniesieniu do transformaty Hilberta.
310	${\frac {1}{x^{n}}}$	$-i\pi {\frac {(-2\pi i\xi )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\xi )$	$-i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\omega )$	$-i\pi {\frac {(-i\nu )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\nu )$	Uogólnienie 309.
311	${\frac {1}{\sqrt {|x|}}}$	${\frac {1}{\sqrt {|\xi |}}}$	${\frac {1}{\sqrt {|\omega |}}}$	${\frac {\sqrt {2\pi }}{\sqrt {|\nu |}}}$
312	$\operatorname {sgn}(x)$	${\frac {1}{i\pi \xi }}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cdot {\frac {1}{i\omega }}$	${\frac {2}{i\nu }}$	Dualne do 309.
313	$H(x)$	${\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{i\pi \xi }}+\delta (\xi )\right)$	${\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {1}{i\pi \omega }}+\delta (\omega )\right)$	$\pi \left({\frac {1}{i\pi \nu }}+\delta (\nu )\right)$	Funkcja $H(x)$ jest funkcją Heaviside’a; to wynika ze 101, 301 i 312.
314	$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)$	${\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\xi -{\frac {k}{T}}\right)$	${\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{T}}\right)$	${\frac {2\pi }{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\nu -{\frac {2\pi k}{T}}\right)$	Funkcja grzebieniowa. Do wyznaczenia z 302 i 102, wraz z faktem, że $\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{inx}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (x+2\pi k)$ jako dystrybucje.
315	$J_{0}(x)$	${\frac {2\,\operatorname {rect} (\pi \xi )}{\sqrt {1-4\pi ^{2}\xi ^{2}}}}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cdot {\frac {\operatorname {rect} \left(\displaystyle {\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}$	${\frac {2\,\operatorname {rect} \left(\displaystyle {\frac {\nu }{2}}\right)}{\sqrt {1-\nu ^{2}}}}$	$J_{0}(x)$ funkcją Bessela pierwszego rodzaju, rzędu zerowego.
316	$J_{n}(x)$	${\frac {2(-i)^{n}T_{n}(2\pi \xi )\operatorname {rect} (\pi \xi )}{\sqrt {1-4\pi ^{2}\xi ^{2}}}}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {(-i)^{n}T_{n}(\omega )\operatorname {rect} \left(\displaystyle {\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}$	${\frac {2(-i)^{n}T_{n}(\nu )\operatorname {rect} \left(\displaystyle {\frac {\nu }{2}}\right)}{\sqrt {1-\nu ^{2}}}}$	Uogólnienie 315. Funkcja $J_{n}(x)$ jest funkcją Bessela $n$-tego rzędu, pierwszego rodzaju. Funkcja $T_{n}(x)$ jest wielomianem Czebyszewa pierwszego rodzaju.

Zastosowanie dla potrzeb przetwarzania sygnałów

Zależność określającą transmitancję widmową $H(j\omega )$ można wyznaczyć:

• przechodząc z transmitancji operatorowej przez podstawienie $s=j\omega ,$
• uzyskując odpowiedź układu dynamicznego na dowolny sygnał wejściowy reprezentowany przez złożenie harmonicznych składowych sinusoidalnych (zob. też charakterystyka sinusoidalna, charakterystyka częstotliwościowa),
• za pomocą transformaty Fouriera.

Pojedyncza zespolona składowa harmoniczna o amplitudzie $A_{we},$ pulsacji $\omega$ i fazie $p_{we}$

$x(t)=A_{we}e^{j(\omega t+p_{we})},$

(gdzie $j$ oznacza jednostkę urojoną), generuje odpowiedź na wyjściu układu w postaci sygnału sinusoidalnego o amplitudzie $A_{wy}$ i fazie $p_{wy}{:}$

$y(t)=A_{wy}e^{j(\omega t+p_{wy})}.$

Warto zwrócić uwagę na fakt, że częstotliwość $\omega$ pozostała taka sama, jedynie amplituda i faza sygnału uległy zmianie w układzie. Transmitancja $H(j\omega )$ opisuje charakter tych zmian w całym spektrum częstotliwości (tj. dla każdej częstotliwości $\omega$). Moduł transmitancji opisuje wzmocnienie układu:

${\frac {A_{wy}}{A_{we}}}=|H(j\omega )|,$

a argument tej transmitancji opisuje przesunięcie fazowe wprowadzane przez układ:

$p_{wy}-p_{we}=\arg(H(j\omega )).$

Transmitancja $H(j\omega )$

Dla przypadku układów dyskretnych wyrażenie

${\frac {y(i)}{u(i)}}=z^{-k}{\frac {B(z^{-1})}{A(z^{-1})}}|_{z=e^{j\omega T_{p}}}=K(e^{-j\omega T_{p}})$

definiuje dyskretną transmitancję widmową.

Zobacz też

• dyskretna transformata Fouriera
• funkcja charakterystyczna
• procesor Fouriera
• szereg Fouriera
• transformata Hilberta
• transformata Laplace’a

Linki zewnętrzne

Polskojęzyczne

• Materiały dydaktyczne DSP AGH. dsp.agh.edu.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2013-12-17)].

Anglojęzyczne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Fourier Transform, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Interaktywne wprowadzenie do transformacji Fouriera [Angielski z animacjami]
• Grant Sanderson, But what is the Fourier Transform? A visual introduction, kanał 3blue1brown, YouTube, 26 stycznia 2018 [dostęp 2021-03-15].
• Aled Walker, F is for Fourier Transform (ang.), Oxford University Mathematical Institute, maths.ox.ac.uk, 19 sierpnia 2022 [dostęp 2023-05-29].