Trochoida

Trochoida (gr. trochós – koło, eídos – kształt) – krzywa płaska zakreślona przez dowolnie obrany punkt $P$ stale związany z kołem $O$ toczącym się wzdłuż wewnętrznej lub zewnętrznej strony stałego (nie poruszającego się) okręgu bez poślizgu. Termin został wprowadzony do matematyki przez Gilles’a de Robervala.

Jeśli punkt $P$ pokrywa się ze środkiem toczącego się koła, wówczas poruszając się zakreśla okrąg. W pozostałych przypadkach tor ruchu $P$ to krzywa (trochoida).

Charakterystyka trochoid

Wyróżnia się 6 typów trochoid, a ich nazwa zależy od dwóch czynników:

1. Odległość punktu $P$ od środka toczącego się koła ($h>r,$ $h=r,$ $h<r$)
2. Wzajemne położenie koła poruszającego się i koła stałego na płaszczyźnie. Istnieją dwie możliwości:
   1. jeśli toczące się koło znajduje się wewnątrz koła stałego, wówczas nazwy trochoid rozpoczynają się przedrostkiem hipo- (gr. hypó – pod, poniżej),
   2. jeśli porusza się ono wzdłuż zewnętrznej strony koła stałego, nazwy mają przedrostek epi- (gr. epí – na, do).

Hipocykloida

Asteroida – szczególny przypadek hipocykloidy, taki że R/r = 4

Cechy charakterystyczne:

• punkt $P$ leży na obwodzie koła $O$ $(h=r),$
• hoło $O$ toczy się wzdłuż wewnętrznej strony koła stałego,
• hipocykloida opisywana jest równaniami parametrycznymi:

$x=(R-r)\cos(t)+r\cos \left({\frac {R-r}{r}}\,t\right)$

$y=(R-r)\sin(t)-r\sin \left({\frac {R-r}{r}}\,t\right).$

Hipotrochoida

Wspólna nazwa hipocykloidy skróconej i hipocykloidy wydłużonej.

Uwaga

niektóre źródła uznają pojęcie hipotrochoida za synonim hipocykloidy skróconej.

Hipocykloida skrócona

Cechy charakterystyczne:

• punkt $P$ leży wewnątrz koła $O$ na jego promieniu $(h<r),$
• koło $O$ toczy się wzdłuż wewnętrznej strony koła stałego,
• hipotrochoidę najłatwiej opisać równaniami parametrycznymi:

$x=(R-r)\cos(t)+h\cos \left({\frac {R-r}{r}}\,t\right)$

$y=(R-r)\sin(t)-h\sin \left({\frac {R-r}{r}}\,t\right).$

Hipocykloida wydłużona

Hipocykloida wydłużona

Cechy charakterystyczne:

• punkt $P$ leży na zewnątrz koła $O$ $(h>r),$
• koło $O$ toczy się wzdłuż wewnętrznej strony koła stałego,
• hipocykloidę wydłużoną opisuje się tymi samymi równaniami parametrycznymi, co hipotrochoidę:

$x=(R-r)\cos(t)+h\cos \left({\frac {R-r}{r}}\,t\right)$

$y=(R-r)\sin(t)-h\sin \left({\frac {R-r}{r}}\,t\right).$

Epicykloida

Epicykloida dla R = 3, r = h = 1

Cechy charakterystyczne:

• punkt $P$ leży na obwodzie koła $O$ $(h=r),$
• koło $O$ toczy się wzdłuż zewnętrznej strony koła stałego,
• epicykloidę opisuje się równaniami parametrycznymi:

$x=(R+r)\cos(t)-r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\,t\right)$

$y=(R+r)\sin(t)-r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\,t\right).$

Epitrochoida

Wspólna nazwa epicykloidy skróconej i epicykloidy wydłużonej.

Uwaga

niektóre źródła uznają pojęcie epitrochoida za synonim epicykloidy skróconej.

Epicykloida skrócona

Epicykloida skrócona dla R = 3, r = 1 oraz h = 1/2

Cechy charakterystyczne:

• punkt $P$ leży wewnątrz koła $O$ na jego promieniu $(h<r),$
• koło $O$ toczy się wzdłuż zewnętrznej strony koła stałego,
• epicykloidę skróconą opisuje się równaniami parametrycznymi:

$x=(R+r)\cos(t)-h\cos \left({\frac {R+r}{r}}\,t\right),$

$y=(R+r)\sin(t)-h\sin \left({\frac {R+r}{r}}\,t\right).$

Epicykloida wydłużona

• punkt $P$ leży na zewnątrz koła $O$ $(h>r),$
• koło $O$ toczy się wzdłuż zewnętrznej strony koła stałego,
• epicykloidę wydłużoną opisuje się równaniami:

$x=(R+r)\cos(t)-h\cos \left({\frac {R+r}{r}}\,t\right)$

$y=(R+r)\sin(t)-h\sin \left({\frac {R+r}{r}}\,t\right).$

Krzywa otwarta

• Jeżeli stosunek ${\tfrac {R}{r}}$ jest liczbą niewymierną, wykreśloną przez punkt $P,$ krzywą nazywamy krzywą otwartą.

Zobacz też

• cykloida
• krzywa cykliczna
• lista krzywych
• spirograf

Bibliografia

• http://www.algorytm.org/index.php?option=com_content&task=view&id=52&Itemid=28
• http://www.wiki.artlink.pl/T/0/39372/TROCHOIDA/
• http://www.swo.pwn.pl/haslo.php?id=28019
• https://web.archive.org/web/20081024151645/http://megabajt.net/n_matematyka/fp01.htm
• hipotrochoida, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2009-05-30] .