Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym

Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym:

Każde ciągłe odwzorowanie sympleksu $s$ w siebie ma punkt stały.

Przez sympleks rozumie się tu sympleks domknięty, dowolnego, nieujemnego wymiaru (a więc niepusty).

n-wymiarowy sympleks standardowy zdefiniowany jest jako najmniejszy zbiór wypukły w $\mathbb {R} ^{n+1},$ zawierający $n+1$ punktów leżących na dodatnich półosiach współrzędnych, w odległości 1 od początku układu współrzędnych (inaczej: otoczkę wypukłą punktów o współrzędnej 1 ze wszystkich $n+1$ osi). Inne sympleksy są obrazami standardowych przy odwzorowaniach afinicznych. Zresztą twierdzenie zachodzi dla każdej z przestrzeni topologicznych, homeomorficznej z jednym z sympleksów standardowych, np. dla kuli $\mathbb {D} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}.$ Takie przestrzenie nazywamy sympleksami topologicznymi.

Twierdzenie Brouwera pochodzi z 1910 roku i pojawiło się jako wynik rozważań Brouwera o piątym problemie Hilberta. Na początku sformułował je on tylko dla przestrzeni $\mathbb {R} ^{2},$ ale szybko rozszerzył również w wyższe wymiary. Obecnie wiadomo również, że równoważne twierdzenia zostały udowodnione wcześniej przez łotewskiego matematyka Piersa Bohla w 1904 roku oraz francuskiego matematyka Henri Poincarégo w 1886 roku.

Twierdzenie Brouwera wynika z twierdzenia Lefschetza o punkcie stałym oraz jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego twierdzenia Schaudera o punkcie stałym.

Zastosowania

• Jeżeli $\mathbb {D} ^{n+1}$ jest kulą jednostkową w $\mathbb {R} ^{n+1},$ to jej powierzchnia (homeomorficzna ze sferą $\mathbb {S} ^{n}$) nie jest jej retraktem. Istotnie, gdyby istniała retrakcja $r:\mathbb {D} ^{n+1}\to \mathbb {S} ^{n},$ to odwzorowanie $f:\mathbb {D} ^{n+1}\to \mathbb {D} ^{n+1}$ takie, że $f(x)=-r(x)$ nie miałoby punktów stałych wbrew twierdzeniu Brouwera. Jeśli $x\in \mathbb {S} ^{n},$ to $x=r(x),$ a więc $x\neq f(x).$ Zaś gdy $x\in \mathbb {D} ^{n+1}\setminus \mathbb {S} ^{n},$ to $x\neq f(x)$ bo $f(x)\in \mathbb {S} ^{n}$.
• Żadna sfera $\mathbb {S} ^{n}$ nie jest ściągalna. Istotnie, każdy różny od 0 punkt kuli $\mathbb {D} ^{n+1}$ można jednoznacznie przedstawić w postaci $tx$ dla pewnych $x\in \mathbb {S} ^{n}$ oraz $t\in (0,1].$ Gdyby istniała homotopia $h_{t}:\mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {S} ^{n}$ od identyczności ${\mathcal {i}}=h_{0}$ do odwzorowania stałego, to przekształcenie $r:\mathbb {D} ^{n+1}\to \mathbb {D} ^{n+1},tx\mapsto h_{1-t}(x)$ byłoby retrakcją kuli na jej powierzchnię.

Zobacz też

• twierdzenie Lefschetza o punkcie stałym
• twierdzenie Schaudera o punkcie stałym

Linki zewnętrzne

• Brouwer theorem (ang.) Encyclopaedia of Mathematics, SpringerLink
• JarosławJ. Górnicki JarosławJ., Elementarnie o twierdzeniu Brouwera, [w:] pismo „Delta”, deltami.edu.pl, lipiec 2020, ISSN 0137-3005 [dostęp 2023-08-26]  (pol.).