Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa

Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa umożliwia zamianę całki powierzchniowej na objętościową (potrójną) i na odwrót, w zależności od potrzeb, w której funkcją podcałkową po objętości jest dywergencja pola wektorowego ${\vec {a}}.$

Stosowane jest w elektrodynamice teoretycznej, przede wszystkim w teorii pola, elektronice, telekomunikacji i energetyce.

Teza edytuj

Niech $V\subset \mathbb {R} ^{3}$ będzie obszarem ograniczonym powierzchnią zamkniętą $S,$ a $P(x,y,z),Q(x,y,z)$ i $R(x,y,z)$ będą funkcjami mającymi ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na obszarze $V.$ Prawdziwa jest wówczas następująca zależność:

\iint \limits _{S}(P\;dy\,dz+Q\;dz\,dx+R\;dx\,dy)=\iiint \limits _{V}\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}\right)\;dx\,dy\,dz.

Przy czym całka po lewej stronie liczona jest po zewnętrznej stronie powierzchni $S.$

Dowód edytuj

Niech $V$ oznacza rzut na płaszczyznę $XOY$ oraz dla $D\subseteq V,$ niech

{\bar {V}}=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\,\colon \,(x,y)\in {\bar {D}}\wedge z\in [g_{1}(x,y),g_{2}(x,y)]\}

Podzielmy powierzchnię $S$ na trzy takie części $S_{1},S_{2},S_{3},$ że:

S_{1}=\{(x,y,g_{1}(x,y))\colon (x,y)\in D\}

S_{2}=\{(x,y,z)\colon (x,y)\in \partial D\wedge z\in [g_{1}(x,y),g_{2}(x,y)]\}

S_{3}=\{(x,y,g_{2}(x,y))\colon (x,y)\in D\},

przy czym $\partial D$ oznacza brzeg obszaru $D.$

Dla $S_{2}$ trzecia składowa wektora normalnego wynosi zero, zaś dla $S_{1}$ wektor normalny ma postać

\pm \left[{\frac {\partial g_{1}}{\partial x}},{\frac {\partial g_{1}}{\partial y}},-1\right].

Jednak wiemy, że całka po lewej stronie jest po zewnętrznej stronie powierzchni $S.$ Tak więc wektor normalny powierzchni „dolnej” musi być zwrócony w dół, więc trzecia składowa wektora normalnego wynosi $-1.$ Analogicznie dla powierzchni $S_{3}$ wektor normalny wynosi

\left[-{\frac {\partial g_{2}}{\partial x}},-{\frac {\partial g_{2}}{\partial y}},1\right].

Weźmy składową $R$ pola wektorowego. Tak więc dla lewej strony dowodzonej równości mamy:

\iint \limits _{S}R\,dx\,dy=\iint \limits _{S_{1}}R\,dx\,dy+\iint \limits _{S_{3}}Rdx\,dy

=\iint \limits _{D}R(x,y,g_{2}(x,y))dx\,dy-\iint \limits _{D}R(x,y,g_{1}(x,y))dx\,dy

=\iint \limits _{D}(R(x,y,g_{2}(x,y))-R(x,y,g_{1}(x,y))dx\,dy.

Przekształcając prawą stronę dowodzonej równości:

\iiint \limits _{V}{\frac {\partial R}{\partial z}}(x,y,z)dx\,dy\,dz=\iint \limits _{D}dx\,dy\int \limits _{g_{1}(x,y)}^{g_{2}(x,y)}{\frac {\partial R}{\partial z}}(x,y,z)dz.

Dalej, stosując twierdzenie Newtona-Leibniza, otrzymujemy:

\iiint \limits _{V}{\frac {\partial R}{\partial z}}dx\,dy\,dz=\iint \limits _{D}(R(x,y,g_{2}(x,y))-R(x,y,g_{1}(x,y))dx\,dy.

Dowody dla składowych $P$ i $Q$ są analogiczne.

A więc lewa i prawa strona tezy są równe.

Postać wektorowa edytuj

Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego często zapisujemy w postaci wektorowej.

Niech ${\vec {A}}$ będzie dowolnym polem wektorowym, dla którego istnieje dywergencja na całym zamkniętym obszarze o objętości $V,$ otoczonej powierzchnią $S.$ Wtedy Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego ma postać^[1]:

\int \limits _{S}{\vec {\mathbf {A} }}\cdot d{\vec {\mathbf {S} }}=\int \limits _{V}\left(\nabla \cdot {\vec {\mathbf {A} }}\right)\;dV,

gdzie ${\vec {\mathbf {d} S}}$ jest wektorem powierzchni dla infinitezymalnego elementu powierzchni $dS$ na powierzchni $S,$ a $dV$ jest infinitezymalnym elementem objętości w obszarze $V.$