Twierdzenie Ptolemeusza

Twierdzenie Ptolemeusza – twierdzenie planimetrii wiążące boki i przekątne czworokąta wpisanego w okrąg. Jego pierwsze sformułowanie oraz dowód przypisuje się Klaudiuszowi Ptolemeuszowi; pojawia się ono w jego dziele Almagest .

Twierdzenie

W dowolnym czworokącie $ABCD$ wpisanym w okrąg iloczyn długości przekątnych równy jest sumie iloczynów długości przeciwległych boków:

$|AC|\cdot |BD|=|AB|\cdot |CD|+|BC|\cdot |AD|.$

(1)

Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne do niego:

Jeśli w czworokącie iloczyn długości przekątnych równy jest sumie iloczynów długości przeciwległych boków, to czworokąt ten można wpisać w okrąg.

Dowody

Dowód geometryczny

Niech dany będzie czworokąt $ABCD$ wpisany w okrąg oraz punkt $K$ leżący na przekątnej $AC$ tak, by półprosta $BK$ przecinała przekątną $AC$ przy zachowaniu równości kątów $\sphericalangle ABD=\sphericalangle KBC.$ Wówczas otrzymuje się trójkąty $\triangle ABD$ i $\triangle KBC.$

Z konstrukcji wynika, że $\sphericalangle ABD=\sphericalangle KBC$ oraz $\sphericalangle ADB=\sphericalangle KCB,$ ponieważ kąty te są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku. Trójkąty $\triangle ABD$ i $\triangle KBC$ są więc podobne, dzięki czemu

$|KC|:|AD|=|BC|:|BD|,$

skąd

$|KC|\cdot |BD|=|AD|\cdot |BC|.$

(2)

Trójkąty $\triangle ABK$ i $\triangle DBC$ są podobne, gdyż mają równe kąty $\sphericalangle ABK$ i $\sphericalangle DBC$ oraz kąty $\sphericalangle BAC$ i $\sphericalangle BDC$ (kąty wpisane oparte na tym samym łuku). Odpowiednie boki są więc proporcjonalne:

$|AK|:|DC|=|AB|:|BD|,$

a zatem

$|AK|\cdot |BD|=|AB|\cdot |DC|.$

(3)

Po zsumowaniu stronami równości (2) oraz (3) otrzymuje się

$|AK|\cdot |BD|+|KC|\cdot |BD|=|AB|\cdot |DC|+|AD|\cdot |BC|,$

co w konsekwencji daje

$(|AK|+|KC|)\cdot |BD|=|AB|\cdot |DC|+|AD|\cdot |BC|$

i ostatecznie

$|AC|\cdot |BD|=|AB|\cdot |DC|+|AD|\cdot |BC|,$

co należało wykazać.

Dowód twierdzenia odwrotnego

Dowód twierdzenia odwrotnego przebiega podobnie. Niech w czworokącie $ABCD$ zachodzi (1). Należy znaleźć taki punkt $K,$ który spełnia warunki

$\sphericalangle ABK=\sphericalangle DBC$ oraz $\sphericalangle BAK=\sphericalangle BDC.$

Mając go można wnioskować o podobieństwie trójkątów $\triangle DBC$ oraz $\triangle ABK,$ przy czym

${\frac {|AB|}{|DB|}}={\frac {|BK|}{|BC|}}={\frac {|AK|}{|CD|}}.$

Z drugiej strony, ponieważ $\sphericalangle ABK=\sphericalangle DBC$ oraz

${\frac {|AB|}{|DB|}}={\frac {|BK|}{|BC|}},$

trójkąty $\triangle ABD$ i $\triangle KBC$ są podobne.

Stąd zachodzą (2) oraz (3), dając

$(|AK|+|KC|)\cdot |BD|=|AB|\cdot |DC|+|AD|\cdot |BC|.$

Z założenia wynika jednak, że $(|AK|+|KC|)=|AC|,$ co oznacza, że punkt $K$ leży na odcinku $|AC|.$ Ale wtedy

$\sphericalangle BAK=\sphericalangle BAC=\sphericalangle BDC,$

czyli wierzchołki $A$ i $D$ leżą na tym samym okręgu, co $B$ i $C.$

Dowód trygonometryczny

Dowód wystarczy przeprowadzić, gdy okrąg w twierdzeniu będzie okręgiem jednostkowym. Dowolny inny przypadek można sprowadzić do niego poprzez odpowiednie przekształcenia: przesunięcie równoległe i jednokładność (ogólnie: podobieństwo). Dzięki tej obserwacji możliwe jest przedstawienie każdego z wierzchołków $P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}$ czworokąta jako

$P_{i}=(\cos \alpha _{i},\sin \alpha _{i}),{\text{ gdzie }}\alpha _{i}\in [0,2\pi ),$

przy czym $\alpha _{i}$ oznacza kąt pomiędzy dodatnią półosią OX oraz promieniem wodzącym łączącym początek układu współrzędnych z punktem $P_{i}.$ Można również założyć, że (po ewentualnym przenumerowaniu) wierzchołki ponumerowane są przeciwnie do kierunku wskazówek zegara, tzn. jest

$\alpha _{1}<\alpha _{2}<\alpha _{3}<\alpha _{4}.$

Jeśli dane są dwa punkty na okręgu jednostkowym o współrzędnych $x=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$ i $y=(\cos \beta ,\sin \beta ),$ to ich odległość euklidesowa

$\|x-y\|={\sqrt {2-2\cos(|\alpha -\beta |)}}=2\sin \left({\frac {|\alpha -\beta |}{2}}\right).$

Jeśli $(P_{i},P_{j})$ dla $i<j,$ jest uporządkowaną parą wierzchołków danego czworokąta, to powyższy wzór można przedstawić jako

$|P_{i}P_{j}|=2\sin \left({\frac {\alpha _{j}}{2}}-{\frac {\alpha _{i}}{2}}\right).$

Wzór w tezie twierdzenia Ptolemeusza

$|P_{1}P_{3}|\cdot |P_{2}P_{4}|=|P_{1}P_{2}|\cdot |P_{3}P_{4}|+|P_{1}P_{4}|\cdot |P_{2}P_{3}|$

przyjmie wtedy postać

$\sin \left({\frac {\alpha _{3}}{2}}-{\frac {\alpha _{1}}{2}}\right)\sin \left({\frac {\alpha _{4}}{2}}-{\frac {\alpha _{2}}{2}}\right)=\sin \left({\frac {\alpha _{2}}{2}}-{\frac {\alpha _{1}}{2}}\right)\sin \left({\frac {\alpha _{4}}{2}}-{\frac {\alpha _{3}}{2}}\right)+\sin \left({\frac {\alpha _{4}}{2}}-{\frac {\alpha _{1}}{2}}\right)\sin \left({\frac {\alpha _{3}}{2}}-{\frac {\alpha _{2}}{2}}\right).$

Jego prawdziwość udowodnić można przy użyciu wzoru na iloczyn sinusów

$\sin \alpha \sin \beta ={\tfrac {1}{2}}{\big (}\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta ){\big )}.$

Po jej zastosowaniu do każdej ze stron sześć wyrazów zniesie się parami, co kończy dowód.

Dowód inwersyjny

Podczas inwersji trzech wierzchołków czworokąta wpisanego przez okrąg przechodzący przez pozostały, czwarty wierzchołek, ich obrazy są współliniowe.

Niech dany będzie czworokąt $ABCD$ wpisany w okrąg $O$ . Niech dane będą również punkty $B',C'$ oraz $D'$ będące obrazami inwersyjnymi punktów $B,C,D$ względem nowego okręgu $O_{1}$ o środku w punkcie $A$ i pewnym promieniu $r.$ Ponieważ punkty $B,C,D$ leżą na okręgu $O,$ który przechodzi przez środek okręgu $O_{1},$ to ich obrazy $B',C'$ i $D'$ będą współliniowe. Wynika stąd, że

$|B'C'|+|C'D'|=|B'D'|.$

(4)

Dla każdych dwóch punktów $P$ i $Q,$ przekształcanych przez inwersję względem okręgu o promieniu $r,$ zachodzić będzie

$|P'Q'|={\frac {r^{2}\cdot |PQ|}{|OP|\cdot |OQ|}}.$

Po zastosowaniu tej zależności do odcinków $|B'C'|,$ $|C'D'|$ i $|D'B'|$ otrzymuje się

${\begin{aligned}|B'C'|&={\frac {r^{2}\cdot |BC|}{|AB|\cdot |AC|}},\\|C'D'|&={\frac {r^{2}\cdot |CD|}{|AC|\cdot |AD|}},\\|D'B'|&={\frac {r^{2}\cdot |DB|}{|AD|\cdot |AB|}}.\end{aligned}}$

(5)

Po wstawieniu tych równości do wzoru (4) jest

${\frac {|BC|}{|AB|\cdot |AC|}}+{\frac {|CD|}{|AC|\cdot |AD|}}={\frac {|DB|}{|AD|\cdot |AB|}},$

skąd (po sprowadzeniu do wspólnego mianownika) wynika teza.

Dowód twierdzenia odwrotnego

Powyższe rozumowanie daje niemal natychmiastowy dowód twierdzenia odwrotnego: jeśli założyć, że w czworokącie $ABCD$ zachodzi zależność (1) i zbada inwersję punktów $B,C$ i $D$ względem pewnego okręgu o środku w $A,$ to otrzyma się równość (4), z której wynika, że punkty $B',C'$ i $D'$ są współliniowe. Ale to oznacza, że wyjściowe punkty $B,C$ i $D$ będą leżały na pewnym okręgu przechodzącym przez $A,$ co czyni je współokręgowymi.

Uogólnienia i wnioski

Nierówność Ptolemeusza

Jeśli trzy wierzchołki czworokąta nie będą współokręgowe, ich obrazy względem inwersji przez okrąg przechodzący przez czwarty wierzchołek nie będą współliniowe.

Twierdzenie Ptolemeusza jest szczególnym przypadkiem nierówności zachodzącej w dowolnym czworokącie:

Jeśli $ABCD$ jest czworokątem, to prawdziwa jest nierówność

$|AC|\cdot |BD|\leqslant |AB|\cdot |CD|+|BC|\cdot |AD|,$

(10)

przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg.

Dowód powyższej nierówności opiera się na własnościach inwersji  i jest podobny do analogicznego dowodu twierdzenia Ptolemeusza. Jako że punkty $B,C$ i $D$ nie muszą teraz leżeć na okręgu, ich obrazami będą trzy (niekoniecznie współliniowe) punkty $B',C'$ i $D',$ które spełniają nierówność trójkąta

$|B'C'|+|C'D'|\geqslant |B'D'|.$

Równość pojawia się, gdy wpomniane punkty są współliniowe (w przeciwnym razie utworzą trójkąt). Po ponownym zastosowaniu wzorów (5) i analogicznych przekształceniach dostaje się nierówność (10).

Zarówno wyjściowe twierdzenie, jak i nierówność z nim związana są przypadkami ogólnego wzoru, prawdziwego dla dowolnego czworokąta $ABCD$:

$|AC|^{2}\cdot |BD|^{2}=|AB|^{2}\cdot |CD|^{2}+|BC|^{2}\cdot |AD|^{2}-2|AB|\cdot |CD|\cdot |BC|\cdot |AD|\cos(\sphericalangle A+\sphericalangle C).$

Gdy czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg, suma miar przeciwległych kątów jest równa mierze kąta półpełnego więc:

$|AC|^{2}\cdot |BD|^{2}=|AB|^{2}\cdot |CD|^{2}+|BC|^{2}\cdot |AD|^{2}+2|AB|\cdot |CD|\cdot |BC|\cdot |AD|$

i ostatecznie $|AC|\cdot |BD|=|AB|\cdot |CD|+|BC|\cdot |AD|.$

Innym uogólnieniem twierdzenia Ptolemeusza jest twierdzenie Caseya.

Bibliografia

• O. Bottema: Topics in Elementary Geometry. Springer, 2008.
• H.S.M. Coxeter: Introduction to geometry (Wstęp do geometrii dawnej i nowej). Ryszard Krasnodębski (tłum.). Wyd. II. John Wiley & Sons Inc., 1961.
• H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer: Geometry Revisited. The Mathematical Association of America, 1967.
• Dan Pedoe: Circles: A Mathematical View. The Mathematical Association of America, 1995.
• Klaudiusz Ptolemeusz: Almagest., księga I, rozdział X
• Paul Yiu: Notes on Euclidean Geometry. 1998.

Linki zewnętrzne

Polskojęzyczne

• BartłomiejB. Bzdęga BartłomiejB., Twierdzenie Ptolemeusza, [w:] pismo „Delta”, deltami.edu.pl, marzec 2021, ISSN 0137-3005 [dostęp 2021-09-30]  (pol.).

Obcojęzyczne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Ptolemy's Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-12-03].
• Ptolemeus theorem (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-12-03].
• A. Bogomolny: Ptolemy by Inversion from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles.

Skany i tłumaczenia Almagestu Ptolemeusza:

• Almagest. Uniwersytet Wiedeński. – łacińskie tłumaczenie z 1515 roku
• Des Claudius Ptolemäus Handbuch der astronomie. – niemieckie tłumaczenie 1912 roku