Twierdzenie Vitalego o pokryciu

Twierdzenie Vitalego o pokryciu – noszące nazwisko Giuseppe Vitalego jedno z dwóch podstawowych twierdzeń o pokryciu (obok twierdzenia Besicovitcha) pomocne przy badaniu własności miary Lebesgue’a na przestrzeniach euklidesowych; z geometrycznego punktu widzenia daje pokrycie kulami powiększonymi w stosunku do wyjściowych, dzięki czemu jest z nich łatwiejsze w zrozumieniu i zastosowaniu.

Twierdzenie umożliwia mierzenie i teoretyczne „wypełnienie” dowolnego zbioru otwartego przeliczalnie wieloma rozłącznymi kulami domkniętymi o ograniczonym promieniu (z wykorzystaniem miary Lebesgue’a, twierdzenie Besicovitcha umożliwia podobną operację dla ogólniejszych miar Radona); jest także pomocne jako środek dowodowy dla nierówności dla operatora Hardy’ego-Littlewooda.

Sformułowanie „(pod)rodzina kul rozłącznych” oznacza, że rozłączne są dowolne dwie kule w danej (pod)rodzinie; innymi słowy rozpatrywane kule są zbiorami parami rozłącznymi.

Twierdzenie

Na górze: rodzina kul; zielone kule tworzą rozłączną podrodzinę.
Na dole: podrodzina kul o trzykrotnie większych promieniach pokrywa wszystkie kule.

Niech $B=B(x,r)$ oznacza kulę domkniętą w $\mathbb {R} ^{n},$ zaś ${\hat {B}}=B(x,5r)$ oznacza współśrodkową kulę domkniętą o promieniu pięciokrotnie większym od promienia $B.$ Rodzinę ${\mathcal {F}}$ kul domkniętych w $\mathbb {R} ^{n}$ nazywa się pokryciem zbioru $A\subseteq R^{n},$ jeżeli

$A\subseteq \bigcup _{B\in {\mathcal {F}}}B.$

Teza

Niech ${\mathcal {F}}$ oznacza dowolną rodzinę niezdegenerowanych kul domkniętych w $\mathbb {R} ^{n},$ przy czym

$\sup {\big \{}\operatorname {diam} B\colon B\in {\mathcal {F}}{\big \}}<+\infty .$

Wówczas istnieje rodzina przeliczalna ${\mathcal {G}}$ rozłącznych kul w ${\mathcal {F}},$ dla której

$\bigcup _{B\in {\mathcal {F}}}B\subseteq \bigcup _{B\in {\mathcal {G}}}{\hat {B}}.$

Dowód

Oznaczenia

Niech $D:=\sup {\big \{}\operatorname {diam} B\colon B\in {\mathcal {F}}{\big \}}.$ Ponadto

${\mathcal {F}}_{j}:=\left\{B\in {\mathcal {F}}\colon {\tfrac {D}{2^{j}}}<\operatorname {diam} B\leqslant {\tfrac {D}{2^{j-1}}}\right\}\qquad (j=1,2,\dots ).$

Zbiór ${\mathcal {G}}_{j}\subseteq {\mathcal {F}}_{j}$ będzie określony indukcyjnie jak następuje:

• niech ${\mathcal {G}}_{1}$ będzie maksymalną rodziną rozłączną kul w ${\mathcal {F}}_{1};$
• zakładając, że ${\mathcal {G}}_{1},\dots ,{\mathcal {G}}_{k-1}$ są już wskazane, rodzina ${\mathcal {G}}_{k}$ będzie dana jako dowolna maksymalna podrodzina rozłączna

  $\left\{B\in {\mathcal {F}}_{k}\colon B\cap B'=\varnothing \ \ {\text{dla wszystkich}}\ \ B'\in \textstyle \bigcup _{j=1}^{k-1}{\mathcal {G}}_{j}\right\}.$

Wreszcie

${\mathcal {G}}:=\textstyle \bigcup _{j=1}^{\infty }G_{j},$

przy czym jest ona rodziną kul rozłącznych oraz ${\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}.$

Przy podanych definicjach wystarczy wykazać następujące

Stwierdzenie

Dla każdej kuli $B\in {\mathcal {F}}$ istnieje kula $B'\in {\mathcal {F}},$ dla której $B\cap B'=\varnothing$ oraz $B\subseteq {\hat {B'}}.$

Dowód

Niech $B\in {\mathcal {F}}$ będzie ustalony. Istnieje wtedy wskaźnik $j,$ dla którego $B\in {\mathcal {F}}_{j}.$ Z maksymalności ${\mathcal {G}}_{j}$ istnieje kula $B'\in \textstyle \bigcup _{k=1}^{j}{\mathcal {G}}_{k},$ dla której $B\cap B'=\varnothing .$ Jednakże $\operatorname {diam} B'\geqslant {\tfrac {D}{2^{j}}}$ oraz $\operatorname {diam} B\leqslant {\tfrac {D}{2^{j-1}}};$ stąd zaś $\operatorname {diam} B\leqslant 2\operatorname {diam} B'.$ Zatem $B\subseteq {\hat {B'}}.$

Uwagi

• Stała $5$ w definicji ${\hat {B}}$ nie jest optymalna. Jeśli przy definiowaniu ${\mathcal {F}}$ zamiast $2^{-j}$ użyto by $c^{-j},$ dla $c>1,$ to wartość $5$ można by zastąpić przez $1+2c.$ Każda stała ściśle większa od $3$ daje poprawne sformułowanie twierdzenia.
• W najogólniejszym przypadku przestrzeni metrycznych wybór maksymalnej podrodziny rozłącznej wymaga lematu Kuratowskiego-Zorna.
• Nie istnieje systematyczny sposób kontrolowania $\mu ({\hat {B}})$ za pomocą $\mu (B)$ w przypadku, gdy $\mu$ jest ogólną miarą Radona na $\mathbb {R} ^{n}.$ Przez to twierdzenie Vitalego o pokryciu nie jest aż tak pomocne przy badaniu tego rodzaju miar; twierdzenie Besicovitcha jest twierdzeniem o pokryciu, które nie wymaga powiększania kul za cenę ich rozłączności (przy zachowaniu kontroli nad stopniem ich nakładania).
• Założenie o ograniczeniu średnicy (promienia) kuli jest niezbędne: w przypadku rodziny wszystkich kul o środku w początku $\mathbb {R} ^{n}$ dowolna rozłączna podrodzina składa się wyłącznie z jednej kuli $B,$ jednakże ${\hat {B}}$ nie zawiera wszystkich kul tej rodziny.

Literatura

• Giuseppe Vitali. Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali. „Atti dell’Accademia delle Scienze di Torino”. 43, s. 75–92, 1908. (wł.).  („O grupach punktów i o funkcjach zmiennych rzeczywistych”, zawiera pierwszy dowód twierdzenia Vitalego o pokryciu).