Wielokąt gwiaździsty

Wielokąt gwiaździsty – mówiąc nieściśle, jest to linia łamana zamknięta, przecinająca samą siebie, przypominająca z wyglądu gwiazdę. Wielokąt gwiaździsty foremny to linia łamana zamknięta lub kilka takich nałożonych na siebie, utworzonych z tych wszystkich przekątnych wielokąta foremnego, które mają tę samą długość.

Wielokąty gwiaździste foremne

Na przykład, pięciokąt gwiaździsty foremny (pentagram) otrzymujemy w następujący sposób z pięciokąta foremnego: kreślimy odcinek z pierwszego wierzchołka do trzeciego, potem odcinek z trzeciego do piątego, z piątego do drugiego, z drugiego do czwartego i z czwartego do pierwszego. Proces ten możemy opisać używając dodawania modulo n pewnej wartości x (gdzie n jest liczbą wierzchołków rozważanego wielokąta a liczba całkowita x spełnia $1<x<n-1$). Używając symbolu Schläfliego otrzymany wielokąt gwiaździsty jest opisywany przez $\{n/x\}$

Jeśli obie liczby symbolu Schläfliego są względnie pierwsze, to taki wielokąt gwiaździsty nazywa się właściwym.

Wielokąty utworzone z co najmniej dwóch łamanych zamkniętych nazywa się niewłaściwymi.

Jak widać na rysunku przedstawiającym wielokąty gwiaździste foremne:

• nie istnieje trójkąt gwiaździsty foremny
• nie istnieje czworokąt gwiaździsty foremny
• jedyny pięciokąt gwiaździsty foremny ({5/2} pentagram) jest właściwy
• jedyny sześciokąt gwiaździsty foremny ({6/2} heksagram) jest niewłaściwy: utworzony jest z dwóch łamanych zamkniętych (z dwóch trójkątów równobocznych).
• oba siedmiokąty gwiaździste foremne (heptagramy {7/3} i {7/2}) są właściwe
• istnieją dwa ośmiokąty gwiaździste foremne (oktogramy), w tym jeden ({8/3}) jest właściwy a drugi ({8/2}) niewłaściwy, utworzony przez dwie łamane zamknięte (dwa kwadraty)

Zobacz też

• stellacja
• pentagramma mirificum

Linki zewnętrzne

• Grzegorz Nadolski: Wielokąty. [w:] Rozważania o matematyce [on-line]. [dostęp 2014-12-07]. [zarchiwizowane z tego adresu (2014-12-09)].