Funkcja harmoniczna: Różnice pomiędzy wersjami

Miarę zbioru <math>\mathcal{A}</math> oznaczamy przez <math>|\mathcal{A}|</math>.

 

Funkcję <math>u</math> nazywamy subharmoniczną, gdy <math>\Delta u \ge 0</math> oraz superharmoniczną, gdy <math>\Delta u \le 0</math>.

 

Niech <math>u\in C^2(\Omega), x\in \Omega, r>0, B(x,r) \Subset \Omega</math> oraz <math>u</math> harmoniczna w <math>\Omega</math>. Wówczas:

:<math>u(x) = \frac{1}{|S^{n-1}(x,r)|}\int_{S^{n-1}(x,r)}{u(z)d\sigma(z)}</math>

:<math>u(x) \le \frac{1}{|B^{n-1}(x,r)|}\int_{B^{n-1}(x,r)}{u(z)dz}</math>

 

Niech <math>\Omega\subseteq\mathbb{R}^n</math> będzie otwarty, ograniczony i spójny, <math>u\in C^2(\Omega)</math> oraz u harmoniczna w

<math>\Omega</math>. Przypuśćmy, że funkcja u przyjmuje supremum w punkcie <math>x_0\in\Omega,</math> tj.

dla funkcji superharmonicznych - nie mogą one przyjmować infimum wewnątrz obszaru <math>\Omega</math>.

 

Funkcję <math>u:\mathcal{U}\to\mathbb{R}</math> nazywamy '''subharmoniczną''' gdy dla każdej kuli <math>B\Subset\mathcal{U}</math>

i każdej funkcji harmonicznej <math>h:B\to\mathbb{R}</math> i takiej że <math>h\vert{}_{\partial B} \le u\vert_{\partial B}</math>

równoważne.

 

Rozpatrzmy tzw. '''rozwiązanie podstawowe laplasjanu''':

:<math>

gdzie <math>n</math> oznacza wymiar przestrzeni. Dla <math>x\ne{}y</math> mamy <math>\Delta \Gamma(x-y) = 0</math>.

 

* [[Lawrence C. Evans]], ''Równania różniczkowe cząstkowe'', PWN, [[2002]], Warszawa

* [[Walter Rudin]], ''Analiza rzeczywista i zespolona'', PWN, [[1986]], Łódź

 

* [[nierówność Harnacka]]

* [[równanie Laplace'a]]

[[nl:Harmonische functie]]

[[ja:調和関数]]

[[ru:Гармоническая функция]]