Wikipedia

Funkcja addytywna (algebra): Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja nieprzejrzana][wersja nieprzejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
→‎σ-addytywność: dopracować/usunąć: co to za dziwny OR???
eliminacja OR; rozbudowa o mtematykę; część tematu do osobnego hasła
Linia 1:
{{disambigR|matematykiwłasności funkcji o argumentach liczbowych|[[funkcja addytywna zbioru|addytywność]] funkcji zbioru oraz [[addytywność (fizyka)|addytywność]] w fizyce}}
'''Funkcja addytywna''' – [[funkcja (matematyka)|funkcja]] przypisującaktóra jest [[homomorfizm]]em struktury addytywnej rozważanych obiektów ([[obiektPierścień matematyczny(matematyka)|obiektompierścieni]], matematycznym[[Ciało (matematyka)|ciał]] wartościczy liczboweteż tak,[[Przestrzeń byliniowa|przestrzeni wartośćliniowych]]). przypisanaW obiektowi[[Teoria byłaliczb|teorii równaliczb]] sumiejednak wartościrozważa przypisanychsię przezcałkowicie funkcjęinną elementomwłasność składowymfunkcji określaną tym samym terminem.
 
== Definicje ==
W zależności od [[moc zbioru|liczby elementów]] wyróżnia się '''addytywność [[zbiór skończony|skończoną]]''' lub '''[[zbiór przeliczalny|przeliczalną]]'''.
=== Addytywność w algebrze i analizie ===
Niech <math>(K,+)</math> oraz <math>(L,+)</math> będą [[Grupa przemienna|grupami abelowymi]].
 
*Powiemy, że funkcja <math>f:K\longrightarrow L</math> jest '''addytywna''' jeśli
==Funkcje liczbowe==
::<math>f(x+y)=f(x)+f(y)</math> dla wszystkich <math>x,y\in K</math>.
Dla funkcji określonych na [[liczba|zbiorach liczbowych]] funkcję <math>f: X \to Y</math> nazywa się '''addytywną''', gdy spełnia warunek
:O addytywnych funkcjach rzeczywistych <math>f:{\mathbb R}\longrightarrow {\mathbb R}</math> mówimy też, że '''spełniają równanie funkcyjne Cauchy'ego'''.
:<math>\forall_{x, y \in X}\; f(x + y) = f(x) \oplus f(y)</math>.▼
 
*Jeśli grupa <math>(L,+)</math> jest [[Grupa liniowo uporządkowana|grupą liniowo uporządkowaną]] przez [[relacja (matematyka)|relację]] <math>\leq</math> to funkcję <math>f:K\longrightarrow L</math> nazwiemy '''podaddytywną''' jeśli
O działaniach <math>+</math> oraz <math>\oplus</math> zakładamy, iż są [[łączność (matematyka)|łączne]], zaś w <math>Y</math> istnieje relacja [[równość (matematyka)|równości]].
::<math>f(x+y)\leq f(x)+f(y)</math> dla wszystkich <math>x,y\in K</math>.
:Powyższe pojęcie jest rozważane głównie gdy <math>(L,+)</math> jest grupą addytywną [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] (z naturalnym porządkiem).
 
=== Addytywność w teorii liczb ===
Definicja poprawna jest już wówczas, gdy zbiory <math>X, Y</math> posiadają strukturę [[grupa (matematyka)|grupy]], taką funkcję nazywa się wówczas [[morfizmy grup#Homomorfizm|homomorfizmem grup]], choć większego znaczenia powyższa definicja nabiera w bardziej skomplikowanych strukturach takich jak [[pierścień (matematyka)|pierścienie]], czy [[ciało (matematyka)|ciała]].
[[Teoria liczb]] posiada własną definicją addytywności. Funkcja <math>f: \mathbb N \to \mathbb N</math> jest '''funkcją addytywną''', gdy dla wszystkich [[liczby względnie pierwsze|względnie pierwszych liczb]] <math>m, n \in \mathbb N</math> zachodzi▼
▲:<math>\forall_{x, y \in X}\; f(x + ymn) = f(xm) \oplus+ f(yn)</math>.
 
Jeżeli powyższy związek zachodzi dla dowolnych liczb <math>m</math> oraz <math>n</math>, to funkcję nazywa się '''całkowicie addytywną'''.▼
===Skończona addytywność===
Z zasady [[indukcja matematyczna|indukcji matematycznej]] można wnioskować, iż dla każdej addytywnej funkcji <math>f</math> zachodzi▼
 
== Własności ==
:<math>\forall_{n \in N}\; \forall_{x_1, \dots, x_n \in X}\; f\left(\sum_{i=1}^n~x_i\right) = \sum_{i=1}^n f(x_i)</math>.
Poniżej, mówiąc o funkcjach addytywnych myślimy o addytywności w sensie homomorfizmów grup addytywnych.
▲* Z zasady [[indukcja matematyczna|indukcji matematycznej]] można wnioskować, iż dla każdej addytywnej funkcji <math>f:K\longrightarrow L</math> zachodzi
:<math> f\left(\sum_{i=1}^n~x_i\right) = \sum_{i=1}^n f(x_i)</math> dla wszystkich <math>x_1, \ldots, x_n \in K</math>, <math>n \in {\mathbb N}</math>.
PowyższąStąd też, powyższą własność nazywa się '''skończoną addytywnością''', zaśa funkcjęfunkcje oaddytywne posiadającąnazywamy tą własność, iż jestteż '''funkcjami skończenie addytywnaaddytywnymi'''.▼
 
* Załóżmy, że funkcja addytywna <math>f:{\mathbb R}\longrightarrow {\mathbb R}</math> spełnia jeden z następujących warunków:
▲Powyższą własność nazywa się '''skończoną addytywnością''', zaś funkcję o posiadającą tą własność, iż jest '''skończenie addytywna'''.
::(a) ''f'' jest [[funkcja ciągła|ciągła]] w przynajmniej jednym punkcie, lub
::(b) ''f'' jest [[funkcja monotoniczna|monotoniczna]] na pewnym przedziale, lub
::(c) ''f'' jest [[funkcja ograniczona|ograniczona]] na pewnym przedziale.
:Wówczas <math>f(x)=f(1)\cdot x</math> dla wszystkich <math>x\in {\mathbb R}</math>.
 
Pierwszy wynik powyższej postaci był uzyskany przez [[Augustin Louis Cauchy|Augustina Cauchy'ego]]<ref>{{cytuj książkę|autor= Augustin Cauchy|tytuł=Cours d’analyse de l’Ecole Polytechnique , 1. Analyse alg´ebrique, V.|miejsce=Paris|rok=1821}}</ref>.
===Podaddytywność===
'''Funkcją podaddytywną (subaddytywną)''' nazywa się funkcję spełniającą warunek
:<math>\forall_{x, y \in X}\; f(x + y) \leqslant f(x) \oplus f(y)</math>,
dla funkcji <math>f\colon X \to Y</math> określonej jak wyżej. Istotnym warunkiem jest oczywiście obecność [[porządek liniowy|porządku liniowego]] w zbiorze <math>Y</math>.
 
*W 1905, [[Georg Hamel]]<ref>{{cytuj pismo|imię=Georg|nazwisko=Hamel|tytuł=Eine Basis al ler Zahlen und die unstetigen Lösungen der Funktionalgleichung <math>f (x + y) = f (x) + f (y)</math>|czasopismo=Math. Ann. |numer=60|rok=1905|strony=459-462}}</ref> udowodnił, że jeśli założymy [[Aksjomat wyboru|AC]], to istnieją funkcje addytywne <math>f:{\mathbb R}\longrightarrow {\mathbb R}</math> które nie są ciągłe.
===σ-addytywność===
{{main|Przestrzeń mierzalna}}
{{dopracować|sekcja|patrz dyskusja}}
Funkcja <math>f</math> dana jak wyżej jest '''przeliczalnie addytywna (σ-addytywna)''', jeżeli spełnia warunek
:<math>\forall_{x_1, x_2, \dots \in X}\; f\left(\sum_{i=1}^\infty~x_i\right) = \sum_{i=1}^\infty~f(x_i)</math>.
 
{{przypisy}}
Zastąpienie warunku skończonej addytywności powyższym, silniejszym warunkiem przeliczalnej addytywności pozwoliło na rozwój takich dziedzin matematyki jak [[teoria miary]] czy [[teoria całki]].
 
Jeżeli założymy, że <math>Y</math> jest zbiorem [[porządek liniowy|liniowo uporządkowanym]], to podobnie definiuje się '''przeliczalną podaddytywność (σ-addytywność) '''
:<math>\forall_{x_1, x_2, \dots \in X}\; f\left(\sum_{i=1}^\infty~x_i\right) \leqslant \sum_{i=1}^\infty~f(x_i)</math>.
 
Ogólniej, jeśli <math>\kappa</math> jest nieskończoną [[liczba kardynalna|liczbą kardynalną]], zbiory <math>X,Y</math> są mocy co najmniej <math>\kappa</math>, to mówimy że funkcja <math>f\colon X \to Y</math> jest <math>\kappa</math>-addytywna, jeśli dla każdego podzbioru <math>D \subseteq X</math> mocy <math>\kappa</math>
:<math>f(\sum_{x \in D}~x) = \sum_{x\in D}~f(x)</math>.
 
====Prawdopodobieństwo====
W ujęciu [[Andriej Kołmogorow|Kołmogorowa]] [[Prawdopodobieństwo#Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa (Kołmogorowa)|prawdopodobieństwo]] jest [[Miara unormowana|miarą probabilistyczną]], którą definiuje się jako przeliczalnie addytywną funkcję [[zbiory rozłączne|zbiorów rozłącznych]]. Niech <math>\mathbb P</math> będzie taką miarą.
 
Jeśli <math>\{A_i\}_{i \in \mathbb N}</math> są [[zbiory rozłączne|rozłącznymi parami zbiorami]], zaś <math>\mathbb P(A_i)</math> jest [[prawdopodobieństwo|prawdopodobieństwem]] [[zdarzenie elementarne|zdarzenia]] określonego przez <math>A_i</math>, to mamy
:<math>\mathbb P\left(\bigcup_{n \in \mathbb N}~A_n\right) = \sum_{n \in \mathbb N}~\mathbb P(A_n)</math>.
 
Dla zbiorów <math>B_i</math> niekoniecznie rozłącznych, prawdziwe jest jedynie stwierdzenie przeliczalnej podaddytywności:
:<math>\mathbb P\left(\bigcup_{n \in \mathbb N}~B_n\right) \leqslant \sum_{n \in \mathbb N}~\mathbb P(B_n)</math>.
 
====Teoria całki====
Innym przykładem, tym razem zaczerpniętym z [[teoria całki|teorii całki]] jest współcześnie rozumiana [[długość (rozmiar)|długość]], [[pole powierzchni]] i [[objętość (matematyka)|objętość]] [[figura geometryczna|figur geometrycznych]], przede wszystkim w ujęciu [[Henri Lebesgue|Lebesgue'a]] i [[całka Lebesgue'a|jego całki]]. Wówczas przykładowo pole powierzchni figury <math>F</math> można przedstawić jako sumę pól powierzchni figur, na które można [[rozbicie zbioru|rozbić figurę]] <math>F</math>.
 
====Inne zastosowania====
{{main|Addytywność (fizyka)}}
Addytywność w matematyce definiowana jest jako własność określona dla obiektów matematycznych. Jednakże pojęcie to używane jest również w [[nauki przyrodnicze|naukach przyrodniczych]] w odniesieniu do [[ciało (fizyka)|obiektów fizycznych]], chemicznych itp. oraz funkcji przypisujących im odpowiednie własności.
 
==Teoria liczb==
▲[[Teoria liczb]] posiada własną definicją addytywności. Funkcja <math>f: \mathbb N \to \mathbb N</math> jest '''funkcją addytywną''', gdy dla wszystkich [[liczby względnie pierwsze|względnie pierwszych liczb]] <math>m, n \in \mathbb N</math> zachodzi
:<math>f(mn) = f(m) + f(n)</math>.
 
▲Jeżeli powyższy związek zachodzi dla dowolnych liczb <math>m</math> oraz <math>n</math>, to funkcję nazywa się '''całkowicie addytywną'''.
 
==Zobacz też==
* [[przegląd zagadnień z zakresu matematyki]],
* [[funkcja multiplikatywna]].
* [[twierdzenie Hahna-Banacha]].
* [[ścisła addytywność|ścisła addytywność rodziny miar wektorowych]].
 
[[Kategoria:Funkcje matematyczne|Addytywna, funkcja]]
[[Kategoria:Analiza funkcjonalna]]
 
 
[[de:Additivität]]
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_addytywna_(algebra)”