Elementy najmniejszy i największy: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
definicje najpierw po ludzku, słowami, a dopiero potem formalnie, symbolami |
przykłady istnienia i nieistnienia w analog.porządkach na różnych zbiorach i w różnych porządkach na zbiorze |
||
Linia 12:
Z definicji wynika, że zarówno element największy jak i najmniejszy są porównywalne z każdym elementem zbioru ''P''.
Nie każdy zbiór częściowo uporządkowany ma element najmniejszy i największy. Np. zbiór [[liczby naturalne|liczb naturalnych]] częściowo uporządkowany relacją podzielności – każda liczba jest "większa" od swych dzielników, tzn. ''m'' jest "mniejsze" od ''n'' jeśli jest [[dzielnik]]iem liczby ''n'': <math>m \preccurlyeq n \iff m|n</math> – ma element najmniejszy (jest nim liczba 1, która dzieli każdą liczbę naturalną), ale nie ma największego (nie istnieje liczba naturalna, która dzieliłaby się przez każdą inną).
<br/>Z drugiej strony zbiór liczb <math>G=\{2, 3, 4, 6, 24\}</math> uporządkowany według tej samej reguły nie ma elementu najmniejszego (brak w nim liczby, przez którą dzieliłaby się liczba 2 i liczba 3), za to ma element największy (jest nim liczba 24, która dzieli się przez każdą z pozostałych liczb zbioru ''G'').
Nawet [[porządek liniowy]] nie gwarantuje istnienia elementów najmniejszego i największego, jeśli zbiór jest nieskończony:
* zbiór liczb <math>\{ 1, 2, 3 \}</math> z naturalnym porządkiem <math>\le</math> ma oba te elementy: najmniejszym jest 1, największym 3;
* zbiór [[liczby naturalne|liczb naturalnych]] <math>\mathbb N = \{1, 2, 3, \dots\}</math> ma element najmniejszy (jest nim 1), ale nie ma największego;
* zbiór [[liczby całkowite|liczb całkowitych]] <math>\mathbb Z = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}</math> nie ma ani elementu najmniejszego ani największego;
aczkolwiek nieskończona moc zbioru nie przesądza o braku elementu najmniejszego lub największego:
* zbiór <math>Q_1 = \mathbb Q \cap [0,1]</math> [[liczby wymierne|liczb wymiernych]] w [[przedział (matematyka)|przedziale]] domkniętym <math>[0,1]</math> ma element najmniejszy (zero) i największy (jedność), ale
* zbiory <math>Q_2 = \mathbb Q \cap (0,1)</math> liczb wymiernych w przedziale otwartym o krańcach wymiernych <math>(0,1)</math> oraz
* <math>Q_3 = \mathbb Q \cap \left[\sqrt 2, \pi\right]</math> w przedziale domkniętym o krańcach niewymiernych elementu najmniejszego ani największego nie mają.
==Przykład==
| |||