Domknięcie (topologia): Różnice pomiędzy wersjami

[wersja nieprzejrzana][wersja nieprzejrzana]
Usunięta treść Dodana treść
Konradek (dyskusja | edycje)
Lukaszmn (dyskusja | edycje)
→‎Dalsze własności: dodanie własności dotyczącej sumy dowolnej ilości zbiorów
Linia 28:
 
===Dalsze własności===
*# <math>\operatorname{cl}\;X = X</math>,
*# <math>A</math> jest domknięty <math>\iff A = \operatorname{cl}\;A</math>,
*# <math>A \subset B \implies \operatorname{cl}\;A \subset \operatorname{cl} B</math> ([[funkcja monotoniczna|monotoniczność]]),
*#<math>\operatorname{cl}(A \cap B) \subseteq \operatorname{cl}\;A \cap \operatorname{cl}\;B</math>; ta własność uogólnia się do [[zbiór przeliczalny|przeliczalnej]] liczby zbiorów:
**## Ogólniej, jeśli <math>(A_i)_{i\in I}</math> jest przeliczalną rodziną podzbiorów <math>X</math>, to <br/> <math>\quad\operatorname{cl}\;\bigcap_{i \in I}~A_i \subseteq \bigcap_{i \in I}~\operatorname{cl}\;A_i</math>.
::# Jeśli <math>\operatorname{cl}\;\bigcap_(A_i)_{i \in I}~A_i</math> jest rodziną podzbiorów zbioru <math>X</math>, to <br/> <math>\subseteqquad \bigcap_bigcup_{i \in I}~\operatorname{cl}\;A_i \subset \operatorname{cl}\;\bigcup_{i \in I}~A_i</math>.
*# Jeśli <math>(A_i)_{i\in I}</math> jest [[rodzina lokalnie skończona|rodziną lokalnie skończoną]] podzbiorów zbioru <math>X</math>, to <br/> <math>\quad \bigcup_{i \in I}~\operatorname{cl}\;A_i = \operatorname{cl}\;\bigcup_{i \in I}~A_i</math>.
*# Domknięcie zbioru jest [[suma zbiorów|sumą mnogościową]] tego zbioru oraz jego [[brzeg (topologia)|brzegu]].
::<math>\operatorname{cl}\;\bigcup_{i \in I}~A_i = \bigcup_{i \in I}~\operatorname{cl}\;A_i</math>.
*# Jeśli <math>Y</math> jest [[podprzestrzeń (topologia)|podprzestrzenią topologiczną]] <math>X</math>, zawierającą <math>A</math>, to domknięcie <math>A</math> w przestrzeni <math>Y</math> jest równe części wspólnej <math>Y</math> i domknięcia <math>A</math> w przestrzeni <math>X</math>: <math>\operatorname{cl}_Y(A) = Y\cap \operatorname{cl}_X(A)</math>.
*Domknięcie zbioru jest [[suma zbiorów|sumą mnogościową]] tego zbioru oraz jego [[brzeg (topologia)|brzegu]].
*Jeśli <math>Y</math> jest [[podprzestrzeń (topologia)|podprzestrzenią topologiczną]] <math>X</math>, zawierającą <math>A</math>, to domknięcie <math>A</math> w przestrzeni <math>Y</math> jest równe części wspólnej <math>Y</math> i domknięcia <math>A</math> w przestrzeni <math>X</math>: <math>\operatorname{cl}_Y(A) = Y\cap \operatorname{cl}_X(A)</math>.
 
==Przykłady==