Zdanie logiczne: Różnice pomiędzy wersjami

{{DisambigR|terminu w logice matematycznej|[[Zdanie (ujednoznacznienie)|inne znaczenia słowa '''zdanie''']]}}

 

 

'''Zdanie logiczne''' jest zdaniem oznajmującym, któremu można przypisać jedną z [[wartość logiczna|wartości logicznych]]. W logikach dwuwartościowych są nimi [[prawda (logika)|prawda]] albo [[fałsz]]. Ponieważ język logiki i matematyki znacznie różnią się od [[Język (mowa)|języków naturalnych]], możemy modyfikować określenie podane w poprzednim zdaniu tak, aby dopasować je do wymogów [[Język (logika)|języków formalnych]]. I tak możemy określać '''zdanie logiczne''' jako wyrażenie (niekoniecznie o skończonej długości), złożone z symboli danego języka połączonych relacjami [[iloczyn logiczny|iloczynu logicznego]], [[suma logiczna|sumy logicznej]] i [[negacja logiczna|negacji]], któremu można (przynajmniej teoretycznie) podporządkować jedną z wartości logicznych.

 

 

Aby zdefiniować formalnie czym jest zdanie, najpierw ustalamy zbiór '''[[zmienna zdaniowa|zmiennych zdaniowych]]''' (tradycyjnie jest to zbiór liter <math>p,q,r,s</math> z indeksami będącymi liczbami naturalnymi, czyli <math>p_0,p_1,\ldots,s_0,s_1,\ldots, r_0,r_1,\ldots,s_0,s_1,\ldots</math>). Zmienne zdaniowe mają reprezentować proste zdania których wartość logiczną możemy łatwo rozstrzygnąć, ale ta interpretacja nie jest w ogóle potrzebna w rachunku zdań. Zmienne zdaniowe mogą być (i często są) traktowane jako formalne symbole bez specjalnego znaczenia poza budowaną teorią.

 

Elementy zbioru <math>{\mathcal Z}</math> są nazywane '''zdaniami'''.

 

Ustalmy zbiór zmiennych zdaniowych i zbiór spójników logicznych jak zaproponowane powyżej.

* Następujące ciągi symboli są zdaniami naszego rachunku zdań: <math>\big((p_0\wedge p_0)\vee p_0)\big)</math>, <math>\big((p_1\Rightarrow p_2)\Leftrightarrow \neg p_3\big)</math>, <math>\neg p_{889}</math>.

* Zdanie złożone - w których występuje co najmniej jeden [[Spójnik (logika)|spójnik]]

 

W [[Rachunek predykatów pierwszego rzędu|rachunku kwantyfikatorów]] struktura studiowanych wyrażeń jest o wiele bogatsza niż w rachunku zdań i '''zdania''' są tylko specjalnym rodzajem tychżesz wyrażeń.

 

Ustalmy alfabet <math>\tau</math> który jest zbiorem '''stałych''', '''symboli funkcyjnych''' i '''symboli relacyjnych''' ('''predykatów'''). Każdy z symboli ma określoną arność (która jest dodatnią liczbą całkowitą). Ustalamy też listę '''zmiennych''' (zwykle <math>x_0,x_1,\ldots</math>). Najpierw definiujemy '''termy''' języka <math>{\mathcal L}(\tau)</math> jako elementy najmniejszego zbioru <math>{\bold T}</math> takiego, że:

* wszystkie stałe i zmienne należą do <math>{\bold T}</math>,

 

Następnie określamy zbiór '''formuł''' języka <math>{\mathcal L}(\tau)</math> jako najmniejszy zbiór <math>{\bold F}</math> taki, że:

 

W formułach postaci <math>(\exists x_i)(\varphi)</math> i <math>(\forall x_i)(\varphi)</math> mówimy że zmienna <math>x_i</math> znajduje się w zasięgu [[kwantyfikator]]a i jako taka jest '''związana'''.

'''Zdanie''' w języku pierwszego rzędu <math>{\mathcal L}(\tau)</math> to taka formuła, w której każda zmienna jest związana, tj. znajduje się w zasięgu działania jakiegoś kwantyfikatora.

 

* Następujące formuły są '''zdaniami''' (dla odpowiednio dobranego alfabetu <math>\tau</math>): <math>(\forall x_1)(\exists x_2)(x_2=f(x_1))</math>, <math>(\forall x_2)(\exists x_1)(x_2=f(x_1))</math>, [[Aksjomat wyboru|AC]], [[Hipoteza continuum|CH]]

* Następująca formuła nie jest '''zdaniem''' ponieważ zmienna <math>x_1</math> nie jest związana: <math>(\forall x_2)(\exists x_3)(x_1=x_2+x_3)</math>.

* Jeśli stałe, symbole funkcyjne i symbole relacyjne alfabetu <math>\tau</math> zostaną zinterpretowane (czyli gdy zbudujemy [[Struktura matematyczna|model]] dla naszego języka), to o każdym zdaniu możemy rozstrzygnąć czy jest ono spełnione w tym modelu czy też nie.

 

Definicja '''zdania''' sformułowana powyżej dla logiki pierwszego rzędu może być w naturalny sposób przeniesiona na grunt innych logik. W szczególności w bardzo podobny sposób określamy czym jest '''zdanie''' w

 

* [[przegląd zagadnień z zakresu matematyki]],

* [[rachunek predykatów pierwszego rzędu]],