Środek odcinka: Różnice pomiędzy wersjami

[wersja nieprzejrzana][wersja nieprzejrzana]
Usunięta treść Dodana treść
m →‎Środek odcinka w różnych geometriach: drobne redakcyjne, poprawa linków
→‎Podejście aksjomatyczne: drobne merytoryczne, drobne redakcyjne
Linia 93:
==Podejście aksjomatyczne==
 
Rozważa się także aksjomatyczne podejście do pojęcia środka odcinka w geometrii afinicznej. Mianowicie definiuje się operację (dwuargumentową funkcję) <math> \oplus : G \times G \rightarrow G </math> brania środka z dwóch punktów spełniającą następujące 4 warunkiaksjomaty:
 
# <math>a \oplus a = a \quad, </math> (idempotentność)
Linia 100:
# <math>\forall ab \exists x: x \oplus a=b </math>
 
Strukturę
Powyższą strukturę nazywa się algebrą środka <ref>W. Szmielew - Od geometrii afinicznej do euklidesowej BM 55 PWN Warszawa 1981</ref>
<math>( G, \oplus ) </math>
Powyższą strukturę nazywa się algebrą środka <ref>W. Szmielew - Od geometrii afinicznej do euklidesowej BM 55 PWN Warszawa 1981</ref>
 
Na podstawie tych aksjomatów można m.in. wykazać:
Linia 112 ⟶ 114:
:<math>ab \equiv cd \Leftrightarrow a \oplus d=b \oplus c</math>
 
to aksjomaty środka pozwalają dowieść, że ta relacja jest równoważnością. AZ kolei w zbiorze <math>G \times G</math> pozwalają z klas abstrakcji (wględem tej relacji) uczynić grupę przemienną. ByłabyMożna to więctraktować grupajak grupę wektorów swobodnych (do tego, aby była to przestrzeń liniowa, brakuje mnożenia przez skalar). W efekcie aksjomaty środka pozwalają wprowadzić geometrię afiniczną.
 
Na koniec warto zauważyć, że niezmienniczość operacji środka względem przekształcenia afinicznego (jakkolwiek zdefiniowanego w algebrze środka) przybierze tutaj postać: