Środek odcinka: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
→Podejście aksjomatyczne: drobne merytoryczne, drobne redakcyjne |
m drobne redakcyjne |
||
Linia 1:
{{spis treści}}
'''Środek odcinka''' – [[punkt (geometria)|punkt]] równo oddalony od końców danego [[odcinek|odcinka]]; w [[geometria euklidesowa|geometrii euklidesowej]] jest to zarazem jego [[symetria środkowa|środek symetrii]], który należy do [[prostopadłość|prostopadłej]] do niego [[Symetria osiowa|osi symetrii]] danego odcinka.
==Geometria syntetyczna==
===Konstrukcje===
Pierwsza „szkolna” metoda korzysta z własności [[geometria euklidesowa|geometrii płaszczyzny (przestrzeni) euklidesowej]], kolejne dwie są poprawne również w [[geometria afiniczna|geometrii afinicznej]].
;Sposób I (symetralna)
[[Symetralna#konstrukcja symetralnej|Skonstruować symetralną]] odcinka. Jego środek wyznaczony jest jako punkt przecięcia odcinka i jego symetralnej.
[[Grafika:Center_of_segment1.svg|thumb|right|170px|]]
;Sposób II ([[twierdzenie Talesa]])
Zgodnie z rysunkiem obok:
* zaznaczyć punkt <math>C</math> nienależący do odcinka <math>AB</math>,
* oznaczyć różny od <math>A</math> punkt <math>D</math> będący punktem przecięcia prostej <math>AC</math> i okręgu <math>o(C, AC)</math>,
* nakreślić prostą <math>BD</math> i równoległą do niej prostą przechodzącą przez <math>C</math>,
* oznaczyć punkt przecięcia <math>C'</math> odcinka <math>AB</math> i prostej <math>CC'</math>.
Punkt <math>C'</math> jest szukanym środkiem odcinka <math>AB</math>.
[[Grafika:Center_of_segment2.svg|thumb|right|150px|]]
;Sposób III (przecięcie przekątnych [[równoległobok]]u)
Zgodnie z oznaczeniami na rysunku:
* nakreślić dwie równoległe proste <math>p, q</math> przechodzące odpowiednio przez punkty <math>A, B</math>,
* nakreślić dwie inne równoległe proste <math>p', q'</math> przechodzące odpowiednio przez punkty <math>A, B</math>,
* wyznaczyć różną od <math>AB</math> przekątną powstałego równoległoboku.
Punkt przecięcia przekątnych równoległoboku jest szukanym środkiem odcinka <math>AB</math>.
===Geometrie metryczne===
W tradycyjnym rozumieniu środek odcinka jest pojęciem [[przestrzeń metryczna|metrycznym]], dlatego można go definiować nie tylko w [[geometria euklidesowa|geometrii euklidesowej]], ale także w innych metrycznych geometriach, takich jak geometria [[geometria hiperboliczna|hiperboliczna]] czy [[geometria eliptyczna|eliptyczna]], przy czym w tej drugiej każdy odcinek (rozumiany jako para różnych punktów) ma dwa środki. We wspomnianych trzech geometriach pojęcie to ma ścisły związek z [[symetralna odcinka|symetralną odcinka]].
===Geometria afiniczna===
[[Grafika:Center_of_segment3.svg|thumb|right|170px|]]
Konstrukcje II i III pokazują, że środek odcinka można postrzegać jako pojęcie [[geometria afiniczna|geometrii afinicznej]]. Mimo iż związek środka odcinka z jego symetralną zanika, to każdy odcinek posiada dokładnie jeden środek, ponieważ każda prosta jest przestrzenią metryczną.
W zamian środek ma silny związkiem z równoległobokiem i jego fundamentalną własnością wyrażaną popularnie jako „przekątne równoległoboku połowią się”, a ściśle
;Twierdzenie
Czworobok <math>ABCD</math> jest równoległobokiem (odcinki AB i CD są równoległe i równej długości) wtedy i tylko wtedy, gdy punkty przecięcia odcinka <math>AD</math> i <math>BC</math> pokrywają się.
Powyższa równoważność oznacza, że pojęcie środka można zdefiniować za pomocą pojęcia równoległości i odwrotnie.
==Własności==
Środek odcinka jest niezmiennikiem [[izometria|izometrii]]; w przypadku geometrii euklidesowej prawdziwe jest stwierdzenie ogólniejsze: środek odcinka jest niezmiennikiem [[podobieństwo|podobieństw]]. W pierwszym przypadku oznacza to, że izometria zachowuje środek odcinka (obrazem środka odcinka jest środek odcinka), w drugim, iż podobieństwa zachowują środek odcinka.
Środek odcinka jest niezmiennikiem dowolnego [[przekształcenie afiniczne|przekształcenia afinicznego (powinowactwa)]].
==Geometria analityczna==
[[Grafika:midpoint.svg|thumb]]
Ponieważ [[przestrzeń afiniczna]] nie musi być [[przestrzeń metryczna|przestrzenią metryczną]], ani [[przestrzeń unitarna|przestrzenią unitarną]], to do wprowadzenia pojęcie środka odcinka nie są potrzebne pojęcia [[odległość|odległości]] (metryki) i [[kąt prosty|kąta prostego]] ([[iloczyn skalarny|iloczynu skalarnego]])). Co więcej nie jest wymagane nawet pojęcie wnętrza odcinka, co jest równoważne brakowi [[porządek liniowy|porządku liniowego]] w [[ciało (matematyka)|ciele]] nad którym zbudowana jest [[przestrzeń liniowa]] stowarzyszona z daną przestrzenią afiniczną. Konieczne jest jednak, aby wspomniane ciało było [[charakterystyka (algebra)|charakterystyki]] większej od 2.
Proste w przestrzeni afinicznej dane są jako jednowymiarowe podprzestrzenie afiniczne, czyli [[kombinacja afiniczna|kombinacje afiniczne]] dwóch [[wektor]]ów o współczynnikach z danego ciała. Wówczas dla dowolnych dwóch punktów <math>a, b</math> środkiem wektora <math>\overrightarrow{ab}</math> (odcinka skierowanego) jest punkt <math>a + \tfrac{1}{2}\overrightarrow{ab}</math>.
Wynika stąd, że środkiem odcinka o końcach <math>(x_1, y_1)</math> oraz <math>(x_2, y_2)</math> jest punkt o współrzędnych <math>\left(\tfrac{1}{2}(x_1 + x_2), \tfrac{1}{2}(y_1 + y_2)\right)</math>.
==Aksjomatyzacja==
W dowolnym niepustym zbiorze <math>G</math> pojęcia środka odcinka można można wprowadzić [[aksjomat]]ycznie. '''Operację środka''' definiuje się wtedy jako [[działanie dwuargumentowe]] <math>\oplus\colon G \times G \to G</math> określone [[funkcja "na"|na]] zbiorze <math>G</math> spełniające następujące aksjomaty dla <math>a, b, c, d \in G</math>:
* <math>a \oplus a = a</math>, [[idempotentność]],
* <math>a \oplus b = b \oplus a</math>, [[przemienność]],
* <math>(a \oplus b) \oplus (c \oplus d) = (a \oplus c) \oplus (b \oplus d)</math>, bi-przemienność.
Strukturę <math>(G, \oplus)</math> nazywa się '''algebrą środka'''<ref>{{cytuj książkę | nazwisko = Szmielew | imię = Wanda | tytuł = Od geometrii afinicznej do euklidesowej | seria = BM 55 | wydawnictwo = PWN | miejsce = Warszawa | rok = 1981}}</ref>.
===Własności i uwagi===
Z podanych aksjomatów dla dowolnych <math>a, b, c, x, x^' \in G</math> wynikają następujące własności:
* samorozdzielność,
*: <math>(a \oplus b) \oplus c = (a \oplus c) \oplus (b \oplus c)</math>,
* środkiem punktu (odcinka zdegenerowanego) jest on sam,
* <math>a \oplus b = a \Rightarrow a=b</math>,
* środek odcinka wyznaczony jest jednoznacznie,
* <math>x \oplus a = x^' \oplus a \Rightarrow x = x^'</math>.
Niezmienniczość operacji środka względem [[przekształcenie afiniczne|przekształcenia afinicznego]] <math>f</math> (odpowiednio zdefiniowanego w algebrze środka) ma postać
:<math>f(a \oplus b) = f(a) \oplus f(b)</math>,
co oznacza, że przekształcenia afiniczne są [[automorfizm]]ami przestrzeni afinicznej.
===Relacja===
[[Relacja (matematyka)|Relacja]] określona na <math>G \times G</math> wzorem
:<math>ab \equiv cd \Leftrightarrow a \oplus d = b \oplus c</math>
jest [[relacja równoważności|relacją równoważności]]. [[Relacja równoważności#Klasy abstrakcji|Klasy abstrakcji]] względem tej relacji tworzą [[grupa przemienna|grupę przemienną]], której elementy można traktować jak [[grupa (matematyka)|grupę]] [[wektor|wektorów swobodnych]]. Do tego, aby <math>G</math> była przestrzenią afiniczną brakuje tylko [[mnożenie przez skalar|mnożenia przez skalar]].
==Uogólnienia==
[[Grafika:Center_of_segment4.svg|thumb|right|170px]]
Uogólnienie pojęcia środek odcinka można w pewnym sensie wprowadzić w [[geometria rzutowa|geometrii rzutowej]]. Niech <math>s</math> będzie ustaloną prostą płaszczyzny rzutowej do której nie należą dowolnie wybrane dwa punkty <math>A, B</math>. Wówczas '''<math>s</math>-środek''' <math>X</math> odcinka <math>AB</math> definiuje się jako czwarty [[czwórka harmoniczna|punkt harmoniczny]] spełniający <math>H(X, Y; A, B)</math>, gdzie <math>Y = AB \cap s</math> (zob. [[czworobok zupełny]]).
Tak określony <math>s</math>-środek zachowuje niemal wszystkie własności środka afinicznego. W powyższy sposób wprowadza się geometrię afiniczną na podstawie geometrii rzutowej: wystarczy wybraną prostą <math>s</math> uznać za ''horyzont'', czyli [[punkt w nieskończoności|prostą w nieskończoności]].
<!-- te akapity należy wyklarować...
Powyższa metoda połowienia lub podwajania odcinków względem horyzontu umożliwia perspektywiczne przedstawianie szachownicy lub posadzki Czyli czegoś, co oglądane „z góry” jest układem identycznych kwadratów przylegających do siebie bokami.
Poniższa konstrukcja startuje z początkowych czterech punktów A,B,C,D obrazujących perspektywiczny rzut jakiegoś kwadratu na płaszczyznę (A,B,C,D to kolejne wierzchołki wyznaczające łamaną zamkniętą). Cała reszta została kolejno dokonstruowana za pomocą linijki (bez cyrkla!):
[[Grafika:Chessboard.svg|center]]-->
==Zobacz też==
* [[przegląd zagadnień z zakresu matematyki]].
{{przypisy}}
| |||