Twierdzenie Stokesa: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
→Najogólniejsza wersja twierdzenia Stokesa: drobne redakcyjne, drobne redakcyjne |
|||
Linia 25:
Twierdzenie Stokesa można uogólnić na powierzchnie orientowalne w przestrzeni <math>\mathbb{R}^N</math>. Dokładniej:
Załóżmy, że <math>H\subseteq \mathbb{R}^N</math> jest orientowalną powierzchnią gładką, <math>K\subseteq H</math> jest [[przestrzeń zwarta|zbiorem zwartym]] oraz <math>K=\mbox{cl Int}K</math> oraz, że brzeg <math>\mbox{Fr}K</math> jest (''M''-1)-wymiarową powierzchnią gładką. Jeżeli <math>W\subseteq \mathbb{R}^N</math> jest [[zbiór otwarty|zbiorem otwarym]] zawierającym powierzchnię <math>H</math>, <math>\Omega\colon W S^{M-1}(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})</math> jest [[k-forma|formą]] klasy <math>C^1</math>, a <math>\sigma</math> jest orientacją powierzchni <math>H</math>, to
:<math>\int\limits_{[K]_\sigma}d\Omega = \int\limits_{[\scriptstyle{\rm{Fr}}K]_{\sigma^{\scriptstyle{\rm{Fr}}}}}\Omega</math>,
gdzie orientacja <math>\sigma^{\rm{Fr}}</math> powierzchni <math>\mbox{Fr}K</math> dana jest wzorem
Linia 47:
====Wzór Greena-Riemanna====
{{
Załóżmy, że <math>W\subseteq \mathbb{R}^2</math> jest zbiorem otwartym, <math>K\subset W</math> jest zbiorem zwartym takim, że <math>K=\mbox{cl Int}K</math> oraz brzeg <math>\mbox{Fr}K</math> jest krzywą gładką (to znaczy powierzchnią gładką 1-wymiarową), a ponadto
:<math>s\colon \mbox{Fr}K\to \mathbb{R}^2</math>
| |||