Ekstremum funkcji: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięte 6 bajtów ,  11 lat temu
 
; Rozwiązanie 1: Jeśli przez <math>x</math> oznaczyć długość boku wyciętego kwadratu, to objętość <math>V</math> pudełka będzie równa
:: <math>V(x) = x(a-2x)^2\,</math>
: przy czym
:: <math>0 \leqslant x \leqslant \tfrac{1}{2}a</math>
: Zadanie sprowadza się do znalezienia ekstremum funkcji <math>\ V\ </math> w przedziale <math>[0, \tfrac{1}{2}a],</math> przy czym wartości krańcowe reprezentują pudełko odpowiednio bez ścianek oraz bez podstawki, a więc o objętości 0zerowej (minimalnej) objętości.
: Pochodna
:: <math>V^\prime(x) = (a-2x)(a-6x)</math>
: zeruje się na tym przedziale w punktach <math>x_0 := \tfrac{a}{6}</math> &nbsp;oraz&nbsp; <math>x_1 := \tfrac{a}{2}</math> &nbsp;(tuw tym przypadku objętość jest 0zerowa). Ponieważ funkcja objętości jest dodatnia wewnątrz przedziału, 0 na jego końcach, i ma we wnętrzu nie więcej niż jedno ekstremum lokalne, to ma ona dokładnie jedno maksimum, które jest izarazem lokalne i globalne ([[twierdzenie Rolle'a]]); osiągane jest ono w <math>\ x_0</math>.&nbsp; Dlatego największa objętość pudełka wynosi
:: <math>V(x_0) = \frac{2}{27} \cdot a^3</math>
 
; Rozwiązanie 2: Wielkość <math>W(x) := 4\cdot V4V(x) = A\cdot B\cdot CABC,</math> gdzie
:: <math>A := 4\cdot x4x</math> oraz <math>B:=C:=a-2\cdot x2x</math>
: są nieujemne, przyjmuje wartość maksymalną dla tego samego <math>x</math> co <math>V(x)</math>.&nbsp; Ponieważ
:: <math>A+B+C =2\cdot a2a</math>
: jest stałe i dodatnie, więc stała i dodatnia jest też [[średnia arytmetyczna]] nieujemnych liczb <math>A, B, C.</math>
 
: <math>W(x)</math> jest natomiast sześcianem ich [[średnia geometryczna|średniej geometrycznej]]. Wiadomo, że średnia geometryczna liczb nieujemnych jest zawsze mniejsza lub równa od arytmetycznej, przy czym równość między tymi średnimi zajdzie tylko, gdy <math>A=B=C</math> (zob. [[nierówność między średnimi potęgowymi|nierówności między średnimi potęgowymi]]), czyli gdy
:: <math>4\cdot x4x = a - 2\cdot x2x,</math>
: czyli dla
:: <math>x= \frac{a}{6}</math>
: Zatem dla tej właśnie wartości <math>x,</math> <math>V(x)</math> przyjmuje wartość maksymalną:
:: <math>V\left( \frac{a}{6}\right) = \frac{2}{27}\cdot a^3</math>
 
==== Koszt eksploatacji statku ====
Anonimowy użytkownik